Persamaan Differensial (Modul 01) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab i revisi1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Fungsi

Salah satu konsep dasar dalam matematika yang harus dipahami untuk mempelajari persamaan differensial adalah fungsi. Ditinjau dari cara penulisannya, fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang secara umum dituliskan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah suatu fungsi yang secara umum dituliskan dalam bentuk f(x,y) = 0.

Berdasarkan cara penulisan fungsi sebagaimana disebutkan di atas, maka dapat dibuat beberapa contoh fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit, maupun implisit.

1. y = x2 _{+ 5x – 4}

2. y = cos (x+5)

3. y = cosh x + sinh x 4. y = x x x

5. x2 _{+ y}2 _{= 25}

6. x2_{y + xy}2 _{– 2 = 0}

7. x2 _{+ y}2 _{– 2x – y = -1}

Fungsi pada contoh 1,2,3, dan 4 di atas adalah bentuk ekplisit dan masing-masing dapat diubah menjadi bentuk implisit. sedangkan fungsi pada contoh 5,6, dan 7 di atas adalah bentuk implisit. Tidak semua fungsi dalam contoh 5,6, dan 7 dapat diubah menjadi bentuk eksplisit.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah menjadi bentuk implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Fungsi pada contoh 6 adalah bentuk implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Untuk pengembangan lebih lanjut pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya kedalam bentuk eksplisit atau implisit. Disamping itu dapat pula membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsip bentuk eksplisit y = f(x), x dinamakan peubah bebas (independen), sedangkan y disebut peubah tak bebas (dependen). Bentuk f(x,y) = 0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit, x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

1.2 Turunan dan Antiturunan

Andaikan y = f(x) adalah suatu fungsi eksplisit, maka turunan (derevative) pertamanya dinyatakan dengan y’ = f’(x). Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan pertama suatu fungsi y = f(x)

adalah Dx[f(x)] atau

dx dy

atau dx

x df( )

. Selanjutnya turunan fungsi banyak

Berikut ini diberikan beberapa formula dasar tentang turunan fungsi.

Misal u,v, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x dan mempunyai turunan (differensiable), c sebarang bilangan real, maka:

1. dx

d

(c) = 0

2. dx

d

(x) = 1

3. dx

d

(xn_{) = nx}n-1

4. dx

d

(un_{) = nu}n-1

dx d (u) 5. dx d

( u + v) = dx d (u) + dx d (v) 6. dx d

(u - v) = dx d (u) - dx d (v) 7. dx d

( u v  w  ... ) = dx

d

(u)  dx

d

(v)  dx

d

(w)  ...

8. dx

d

(cu) = c dx d (u) 9. dx d

(uv) = u dx

d

(v) + v dx d (u) 10. dx d

(uvw) = uv dx

d

(w) + uw dx

d

(v) + vw dx d (u) 11. dx d ( v u ) = 2 v dx dv u dx du v  12. dx d

13.

dx d

(cos x) = -sin x

14.

dx d

(tan x) = sec2_x

15.

dx d

(cot x) = -csc2_x

16.

dx d

(sec x) = sec x tan x

17.

dx d

(csc x) = -csc x cot x

Formula di atas berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit, sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit f(x,y) = 0, turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah differensial, yaitu dengan cara mendifferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Tentukan dx dy

dari x2 _{+ y}2 _{– 4 = 0}

Jawab

Dengan aturan differensial masing-masing variabel diperoleh  d(x2 _{) + d(y}2 _{) – d(4) = d(0)}

 d(x2 _{) + d(y}2 _{) – d(4) = d(0)}

 2x dx + 2y dy = 0

 dx dy

2. Tentukan dx dy

dari x2_{y + xy}2 _{– 2 = 0}

 d(x2_{y) + d(xy}2 _{) – d(2) = d(0)}

 (x2_{dy + 2xydx) + (2xydy + y}2_{dx) = 0}

 (2xy + y2_{) dx + (2xy +x}2_{) dy = 0}

 dx dy

= - 2

2

2 2

x xy

y xy

 

3. Tentukan dx dy

dari y = x x x

Untuk menentukan dx dy

dari fungsi di atas, maka bentuknya diubah

menjadi bentuk implisit, dan diperoleh: y = x x x

 y8 _{– x}7 _{= 0}

 d(y8_{) – d(x}7_{) = d(0)}

 8y7 _{dy – 7x}6 _{dx = 0}

 dx dy

= - 7 6

8 7

y x

Latihan soal

Tentukan dx dy

dari fungsi berikut ini

1. y = ₂

1 4

x x



3. y =

x

sin 2 1

4. y – cos2_(2x1)

5. y = 1 +

1 2



x 6. y = sec 2

3

) 1 ( x

7. cos (xy) – 2x + 3y2 _{= 0}

8. y = x

x



1

9. yx + x2 _{– 3y +1 = 0}

10. y = sin 4_1x

Selain turunan fungsi, hal mendasar lain yang perlu dipahami untuk mendalami persamaan differensial adalah antiturunan. Antiturunan fungsi disebut juga integral fungsi.

Misal y = f(x) adalah sebuah fungsi, antiturunannya dinotasikan

dengan Ax(f(x)). Dalam hal yang lain dinyatakan dengan



f(x) dx. f(x)

disebut integran.

Misal y = f(x) dan antiturunannya F(x), maka

_

f(x) dx = F(x) + c, c



Real.

Jika y = f(x) yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut dikatakan terintegralkan (integrable).

Beberapa rumus dasar dalam pengintegralan fungsi. 1.

_

dx = x + c, c



Real

2.

_

f(x) dx = F(x) + c, c



Real

3.

_

xn _{dx =}

1 1

 n x

n+1 _{+ c, c}



_{Real, n}

_

_-1

4.

_

(u+v) dx =

_

u dx +

_

v dx 5.

_

a u dx = a

_

u dx

6.

_

x

1

dx = ln | x | + c = e _{log │x│+ c, c}



_Real

7.

_

au _{du =}

a a

ln + c, c



Real

8.

_

(f(n)n_{) f’(x) dx =}

1 )

( 1





n x f n

+ c, c



Real

9.

_

eu _{du = e}u _{+ c, c}



_Real

10.

_

sin x dx = - cos x + c, c



Real 11.

_

cos x dx = sin x + c, c



Real 12.

_

tan x dx = ln | sec x | + c, c



Real

13.

_

sec x dx = ln | sec x + tan x | + c, c



Real 14.

_

cot x dx = ln | sin x | + c, c



Real

15.

_

csc x dx = ln | csc x – cot x | + c, c



Real 16.

_

sec2_{x dx = tgn x + c, c}

_

_Real

17.

_

csc2_{x dx = - cot x + c, c}

_

_Real

18.



sec x tan x dx = sec x + c, c



Real 19.



csc x ctgn x dx = -csc x + c, c



Real

20.

_

cosm _{x dx =}

n n n

x x

n _{sin 1}

cos 1 _





21.

_

sinm _{x dx =} n n n x x

n _{cos 1}

sin 1 _

 





sin m-2 _{x dx}

22.

_

u dv = uv -

_

v du

23.

_

_x2 _a2

dx

 = 2a

1

ln _xx_ _aa + c, c



Real

24.

_

_{2 2}

x a

dx

 = 2a

1

ln x_x_aa + c, c



Real

25.

_

_a2 _x2

dx

 = arc sin a

x

+ C

26.

_

_{2 2}

a x

dx

 = a

1

arc tan a

x

+ C

27.

_

_{2 2}

a x x

dx

 = a

1

arc sec a

x

+ C

28.

_

_x2_a2 dx = 2 1

u _x2_a2 + 2 1

a2 _{Ln ( u + x}2_u2 ) + C

29.

_

_x2_{ a}2 dx = 2 1

u _x2 _{ a}2 - 2 1

a2 _{Ln ( u + x}2_{ u}2 ) + C

30.

_

_x2 _a2

 dx =

2 1

u _x2 _a2

 +

2 1

a2 _{Ln ( u + x}2 _u2

 ) + C

30.

_

 2

2 _a

x dx

= arc Sinh a

x

+ Cm

31.

_

 2

2 _a

x dx

= arc Cosh a x

+ C

32.

_

_um_eau

du = m au _

_

_um _eau a m e u a 1 1 du

1.3 Persamaan Differensial (PD)

Perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini: 1. 2x dx – 3 dy = 0

2. dx dy

= 3 – 2x

3. dx dy

+ 2xy = 4x

4. 2₂ dx

y d _-

dx dy

- 2y = 0

5. 3₃ dx

y d

2 2

dx y d

- 4 dx dy

+ 4y = 0 (tingkat-3, derajat-1)

6. (y’’)2 _{+ (y’)}3 _{+ 3y = x}2 _{(tingkat-2, derajat-2)}

7. y” = (y’)3 _{+ y’ (tingkat-2, derajat-1)}

8. 

 

x z

z + x __yz = 0

9. 2₂ x

z

 

+ 2 2

y z

 

= x2 _{+ y (tingkat-2, derajat-1)}

10. x x z

 

+ y __yz = z

Setiap persamaan pada contoh di atas, memuat tanda turunan atau differensial. Oleh karenanya masing-masing persamaan disebut persamaan differensial.

Definisi:

Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit satu turunan atau differensial dari suatu fungsi yang belum diketahui.

Jika dalam suatu persamaan differensial, turunan yang muncul

adalah turunan biasa dx dy

maka persamaannya dinamakan persamaan

differensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan

parsial x z

 

dan __yz , maka persamaannya dinamakan persamaan

differensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan differensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan differensial parsial.

Selain jenis persamaan differensial biasa dan parsial, dalam persamaan differensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan differensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan yang diberikan.

Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.

1. 2x dx – 3 dy = 0. Persamaan differensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertingginya adalah turunan tingkat satu dan berpangkat satu. Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.

2. dx dy

= 3 – 2x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

3. dx dy

4. 2₂ dx

y d _-

dx dy

- 2y = 0, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

5. 3₃ dx

y d

2 2

dx y d

- 4 dx dy

+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)

6. (y’’)2 _{+ (y’)}3 _{+ 3y = x}2_{, persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)}

7. y” = (y’)3 _{+ y’, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)}

8. 

 

x z

z + x __yz = 0, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

9. 2₂ x

z

 

+ 2 2

y z

 

= x2 _{+ y, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)}

10. x

x z

 

+ y __yz = z, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

1.4 Primitif suatu Persamaan Differensial

Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan differensial, bahwa suatu persamaan differensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan differensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan differensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.

Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan differensial, maka yang perlu diperhatkan adalah koefisein dari masing-masing differensial apakah sudah sejenis. Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

1. dx dy

= 2 – x

 (2-x) dx – dy = 0



_

(2 x)dx

_

_{dy = 0}

 2x –

2 1

x2 _{– y = C, C}



_R

 4x – x2 _{– 2y = C}

Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari

persamaan dx dy

= 2 – x, adalah 4x – x2 _{– 2y = C.}

Untuk selanjutnya 4x – x2 _{– 2y = 0 dinamakan selesaian umum}

(primitif). Selesaian umum persamaan differensial juga disebut sebagai persamaan keluarga kurva.

2. (xy-x) dx + (xy + y) dy = 0  x(y-1) dx + y(x+1) dy = 0



1



x x

dx + _yy_{ 1}dy = 0



_

1



x x

dx +

_

_yy_{ 1}dy = C



_

1 _-

1 1



x dx +



1 + 1 1



y dy = C



_

dx _-

_

1 1



x dx +



dy +



1 1



y dy = C

 x - Ln │x+1 │+ y + Ln │y - 1│= C

 e(x+y)_(x+1)-1_{(y-1) = C}

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan differensial

(xy-x) dx + (xy + y) dy = 0 adalah e(x+y)_(x+1)-1_{(y-1) = C.}

Kasus lain yang muncul adalah menentukan persamaan differensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat konstanta sebarang sebanyak n-buah. Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial) dan sangat menentukan bentuk persamaan differensialnya.

Contoh

1. x2 _{+ y}2 _{= c adalah primitif dengan satu angka penting}

2. y = c1ex + c2e3x adalah primitif dengan dua angka penting

3. y = A sin ax + B cox bx adalah primitif dengan dua angka penting 4. (x-c)2 _{+ y}2 _{= r}2 _{adalah primitif dengan dua angka penting.}

Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan differensialnya mengikuti langkah penting, langkah tersebut adalah: 1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang (angka penting) primitif

yang diketahui.

2. Misal angka pentingnya sebanyak n, maka turunkan primitif tersebut sampai turunan ke-n. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

dapat digunakan kaidah differensial pada masing-masing variabelnya.

3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan (n+1) persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan ke-n.

4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam persamaan differensial yang dicari.

5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan differensial tidak terdapat konstanta sebarang.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

Tentukan persamaan differensial dari primitif di bawah ini: 1. x2 _{+ 2y}2 _{= C}

Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga  d(x2_{) + d(2y}2_{) = d(C)}

 2x dx + 4y dy = 0

 dx dy

= - ₂x_y

Persamaan differensial primitif x2 _{+ 2y}2 _{= C adalah}

dx dy

= - ₂x_y

2. y = A cos ax + B sin ax

 dx dy

= -Aa sin ax + Ba cos ax

 2₂ dx

y d

= -Aa2 _{cos ax – Ba}2 _{sin ax}

= -a2 _{(A cos ax + B sin ax)}

= -a2_y

Sehingga persamaan differensial primitif di atas adalah 2 0 2

2

  a y dx

y d

3. y = cx2 _{+ c}2

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga  y’ = 2cx + 0

 y’’ = 2c

 c =

2 ''

y

Substitusikan ke persamaan y = cx2 _{+ c}2

Didapat y = (y”/2)x2 _{+ (y’’/2)}2

4. y = c1e2x + c2ex

Primitif mempunyai 2 angka penting  y’ = 2c1e2x + c2ex

 y” = 4c1e2x + c2ex

Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka dengan menggunakan cara substitusi diperoleh persamaan.  y” – 3y’ + 2y = 0.

5. Tentukan persamaan differensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.

Jawab

Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x adalah (x-c)2 _{+ y}2 _{= r}2_.

 2(x-c) + 2y dx dy

= 0

 2 + 2( y 2₂ dx

y d

+ dx dy

) = 0

 y 2₂ dx

y d ₊

dx dy

+ 1 = 0 adalah persamaan differensial yang

diminta.

6. Tentukan persamaan differensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x. Jawab

Persamaan bola yang diminta adalah y2 _{= 4c(c+x)}

Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh 2y y’ = 4c + 0

 y y’ = 2c  c = ½ y y’

Substitusikan ke persamaan semula y2 _{= 2(y y’) (1/2 y y’ + x)}

 2y2 _{– 2yy’(yy’ +x) = 0}

1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas

Setiap persamaan differensial yang diberikan akan menimbulkan pertanyaan, apakah persamaan differesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal.

Setiap selesaian persamaan differensial , banyak persoalan yang dapat dicantumkan jika diketahui n nilai-nilai y(xo), y’(xo), .... y(n-1)(xo).

Contoh

Persamaan differensial dx dy

= 2x mempunyai selesaian y = x2 _{+ C, C}

_

Real.

Karena C



Real maka:

1. y = x2 _{+ 3 memenuhi selesaian persamaan}

dx dy

= 2x

2. y = x2 _{– ½ memenuhi selesaian persamaan}

dx dy

= 2x

3. y = x2 _{– 100 juga memenuhi selesaian}

dx dy

= 2x, dan seterusnya.

Bentuk y = x2 _{+ C dinamakan selesaian umum persamaan differensial}

dx dy

= 2x, sedangkan y = x2 _{+ 3, y = x}2 _{– ½ dan y = x}2 _{– 100 dinamakan}

selesaian khusus (particular solution). Nilai C sebagai konstanta real dapat ditentukan, jika dalam persamaan differensial yang diketahui

diberikan syarat awalnya. Persamaaan differensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems).

Definisi

Masalah nilai awal adalah persamaan differensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama.

Dalam bentuk yang lain definisi diatas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai berikut:

Masalah nilai awal untuk persamaan differensial order n f(x,y,y’, y’’, ... , y(n)_{) = 0 yaitu menentukan selesaian persamaan differensial pada}

interval I dan memenuhi n syarat awal di xo



I subset dari bilangan

real.

Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan: f(x,y,y’,y’’, ... ,y(n-1)_{) = 0}

dengan

y(xo) = yo, y’(xo) = y1, ... , y(n)(xo) =yn-1

Atau                    1 ) ( 2 1 ) ( ) ( ... .. ... ) ( ' ' ) ( ' ) ( 0 ) ,... " , ' , , ( n o n o o o o n y x y y x y y x y y x y

d e ng an

y y y y x f

dimana yo, y1, y2, ... yn-1 adalah kontanta yang diberikan

Dengan demikian berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan differensial memuat konstanta C, sedangkan pada

persamaan differensial dengan n syarat awal konstanta C tersebut diganti dengan bilangan real (R) yang memenuhi syarat awal.

Contoh

Tentukan selesaian masalah nilai awal

1.

















,1

)

0

(

'

y

dengan

e

y

x

Jawab

y’ = e-x

_

_{y =}



_ex_dx

_

_{y = -e}-x _{+ c (selesaian umum)}

Karena y(0) = 1 maka 1 = -e-0 _{+ c dan didapat c = 2}

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = -e-x _{+ 2}

2.

      

  

1 ) 1 (

1

y dengan

x dx dy

Jawab

dx dy

Karena y(1) = 1 maka 1 =

2 1

(1)2 _{+ 1 + c dan diperoleh c =}

-2 1

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = ½ x2 _{+ x – ½}

Atau x2 _{+ 2x – 2y -1 = 0}

3. x dx dy

+ y = 1 dengan y(1) = 1

Jawab

x dx dy

= 1

 x dy – dx = 0

 

x dx

y dy

= 0



_



x dx



dy_y = c

 Ln │ x_y │= c

Karena y(1) = 1 maka selesaian khususnya adalah x = yc

1.6 Soal-soal

1. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan differensial di bawah ini a) dy + (xy-cos x) dx = 0

b) y”’ + xy” + 2y(y’)2 _{+ xy = 0} c) y’ + x = (xy-y’)-3

d) ( ₂

3

dv w d ₎2 _{– (}

2 2

dv w

d ₎2 _{+ vw = 0}

e) ₂

2

dx y d ₌

41 ( )2

dx dy

 f) y'y _{= sin x}

g) sin (y”) + _ey'_{= 1}

2. Tentukan persamaan differensial dari : a) y = A sin x

b) y = sin (x + A) c) y = Aex _{+ B}

d) x2_{y + xy – 2y}2 _{= C} e) (y-c)2 _{= cx}

f) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut.

g) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik itu.

3. Tentukan antiturunan dari a) f(x) = sin x cos x

b) f(x) = e2x _{Cos x} c) f(x) = 2 Sin4_x

4. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan differensial

dx dy

=

x y

mempunyai selesaian umum y = cx.

5. Diberikan persamaaan differensial y’ = 2x

b. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan

y = 2x + 3.

d. Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat

_

1

0

diberikan syarat awalnya. Persamaaan differensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems).

Definisi

Masalah nilai awal adalah persamaan differensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama.

Dalam bentuk yang lain definisi diatas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai berikut:

Masalah nilai awal untuk persamaan differensial order n f(x,y,y’, y’’, ... , y(n)_{) = 0 yaitu menentukan selesaian persamaan differensial pada} interval I dan memenuhi n syarat awal di xo



I subset dari bilangan real.

Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan: f(x,y,y’,y’’, ... ,y(n-1)_{) = 0}

dengan

y(xo) = yo, y’(xo) = y1, ... , y(n)(xo) =yn-1 Atau                    1 ) ( 2 1 ) ( ) ( ... .. ... ) ( ' ' ) ( ' ) ( 0 ) ,... " , ' , , ( n o n o o o o n y x y y x y y x y y x y

d e ng an

y y y y x f

dimana yo, y1, y2, ... yn-1 adalah kontanta yang diberikan

Dengan demikian berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan differensial memuat konstanta C, sedangkan pada

persamaan differensial dengan n syarat awal konstanta C tersebut diganti dengan bilangan real (R) yang memenuhi syarat awal.

Contoh

Tentukan selesaian masalah nilai awal

1.

















,1

)

0

(

'

y

dengan

e

y

x

Jawab

y’ = e-x

_

_{y =}



_ex_dx

_

_{y = -e}-x _{+ c (selesaian umum)} Karena y(0) = 1 maka 1 = -e-0 _{+ c dan didapat c = 2}

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = -e-x _{+ 2}

2.

      

  

1 ) 1 (

1

y dengan

x dx dy

Jawab

dx dy

Karena y(1) = 1 maka 1 =

2 1

(1)2 _{+ 1 + c dan diperoleh c =}

-2 1

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = ½ x2 _{+ x – ½}

Atau x2 _{+ 2x – 2y -1 = 0}

3. x

dx dy

+ y = 1 dengan y(1) = 1 Jawab

x

dx dy

= 1

 x dy – dx = 0  

x dx

y dy

= 0



_

 x dx



dy_y = c  Ln │ x_y │= c

Karena y(1) = 1 maka selesaian khususnya adalah x = yc

1.6 Soal-soal

1. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan differensial di bawah ini a) dy + (xy-cos x) dx = 0

d) ( ₂

3

dv w d ₎2 _{– (}

2 2

dv w

d ₎2 _{+ vw = 0}

e) ₂

2

dx y d ₌

41 ( )2 dx dy



f) y'y _{= sin x}

g) sin (y”) + _ey'_{= 1}

2. Tentukan persamaan differensial dari : a) y = A sin x

b) y = sin (x + A) c) y = Aex _{+ B}

d) x2_{y + xy – 2y}2 _{= C}

e) (y-c)2 _{= cx}

f) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut.

g) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik itu.

3. Tentukan antiturunan dari a) f(x) = sin x cos x

b) f(x) = e2x _{Cos x}

c) f(x) = 2 Sin4_x

4. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan differensial

dx dy

=

x y

mempunyai selesaian umum y = cx.

5. Diberikan persamaaan differensial y’ = 2x

b. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan

y = 2x + 3.

d. Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat

_

1

0