Persamaan Differensial (Modul 03) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab 3 pd linear1

BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR

3.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear dikategorikan sebagai persamaan differensial tingkat satu derajat satu, sehingga bentuk umum persamaan

differensial linear dapat dinyatakan dengan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0.

Dalam hal yang lebih khusus persamaan differensial linear tingkat satu dinyatakan dalam bentuk umum

p1(x) dx dy

+ po(x) y = q(x)

dimana p1(x)



0, po(x), q(x) adalah fungsi x yang tidak bergantung

kepada y.

Jika masing-masing bagian pada persamaan differensial linear di atas

diballgi dengan p1(x) maka diperoleh bentuk:

dx dy

+ ₍( ₎) 1 x p

x p_o

y = (₍ )₎ 1 x p

x q

 dx

dy _{+ P(x) y = Q(x), dimana P(x) =}

) (

) (

1 x p

x

p_{o dan Q(x) =}

) (

) (

1 x p

x q

P(x) dan Q(x) kontinu dalam suatu interval I



Real.

Contoh

1. 

dx dy

2xy = 4x, P(x) = 2x, Q(x) = 4x

2.  dx dy

3. x3 _

dx dy

(2-3x2_{)y = x}3

(2 3₃ ) 1

3

 

 y

x x dx

dy _{, P(x) =}

3 2

3 2

x x



, Q(x) = 1 4. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

 0

ln ln

 



y y

y x dy dx

 _dydx _ylnx _y _yln_lny_{y, P(y) =}

y yln

1

, Q(y) = 1_y

5. sin x 

dx dy

(cos x) y = x2 _{sin x}

 _{ycotx x}2

dx dy



 , P(x) = cot x, Q(x) = x2

Contoh persamaan 1-5 di atas adalah persamaan differensial linear (tingkat 1). Selanjutnya perhatikan persamaan differensial tingkat satu derajat satu di bawah ini.

6. 

dx dy

3xy2 _{= sin x, karena ada y}2

7.  dx dy

(sin x) y3 _{= e}x _{+ 1, karena ada y}3

8. dx dy

- y = xy2_{, karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y}2

9. dx dy

+ y = x2_{y, karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y.}

10.x dy + y2_{x dx = 0.}

Contoh 6-10 di atas bukan persamaan differensial linear karena Q(x) bukan fungsi x yang tidak bergantung pada y sebagaimana syarat yang

disebutkan dalam bentuk umum dan tidak sesuai dengan bentuk

dx dy

+ P(x) y = Q(x).

3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Liner

Persamaan differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x) dapat ditentukan selesaian umumnya dengan beberapa cara. Masing-masing cara menggunakan pendekatan yang berbeda, walaupun pada akhirnya diperoleh bentuk umum selesaian yang sama. Cara tersebut adalah: 1) faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah menjadi PD eksak, dan 4) persamaan Bernoulli.

1. Cara Faktor Intregral Misal selesaian

dx dy

+ P(x) y = Q(x) adalah y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x sehingga y’ = u’v + uv’. Dengan

mensubstitusikan y dan y’ ke persamaan

dx dy

+ P(x) y = Q(x).

 (u’v + uv’) + P(x) uv = Q(x)

 v(u’ + P(x)u) + uv’ = Q(x)

Jika dimisalkan u’ + P(x)u = 0 maka uv’ = Q(x), Akibatnya untuk u’ +

P(x) u = 0 diperoleh

dx du

= - P(x)u



u



_

u

du _{= -}



P(x) dx

 Ln u = -

_

P(x) dx

 u = P x dx

e ( )

Substitusikan u ke uv’ = Q(x), sehingga didapatkan v’ =

u x

Q( )



dx dv ₌

u x

Q( )

 dv = dx

u x

Q( )

 v =

_

dx

u x

Q( )

= dx

u x Q( )



+ C

=

_

dx

e x Q

x P

  ( )

) (

v =

_

Q(x) P x dx

e ( ) dx + C

Karena selesaiannya y = uv, maka selesaian umum (primitif) persamaan differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x) adalah y = P x dx

e ( ) (



Q(x) eP(x)dx dx + C )

 y P x dx

e ( ) =



Q(x) eP(x)dx dx + C selanjutnya P x dx

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan differensial liner di bawah ini 1.

dx

dy y = (2+2x)

Jawab

P(x) = 1 dan Q(x) = (2+2x) Faktor integralnya I = dx

e 1 = ex

Sehingga selesaian umumnya persamaan 

dx dy

y = (2+2x) adalah yex ₌

_

_{(22x) e}x_dx

y = _ex



2ex _{dx + e}x



2ex_{x dx}

= _ex _{( 2e}x _{+C) + 2e}x _(xex_{- e}x_+C) = 2 + Cex+ 2x – 2 + Ce x

= 2x + 2ce x = 2x + ce x

2. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0 Jawab

y ln y dx + (x-ln y) dy = 0 

dy dx

+ _yln1 _y x = 1_y

Faktor integral eP(y)dy _{= e} y y

dy

ln = eLn(lny)= Ln y Selesaian umumnya

xeP(y)dy ₌



Q(y)eP(y)dy dy

x Ln y = Ln

y



1 y dy =

_

ln_{y d(ln y)} = ½ ln2 y _{+ c}

Persamaan linear y ln y dx + (x-lny) dy = 0 mempunyai selesaian umum

2x Ln y = Ln2 y _{+ c}

3. x3 _

dx dy

(2-3x2_{) y = x}3 Jawab

Persamaan di atas dibagi dengan x3 _{diperoleh persamaan linear}

baru

dx dy

+ (

x x

3 2

3  ) y = 1

P(x) = (

x x

3 2

3  ) dan Q(y) = 1

Sehingga faktor integralnya eP(x)dx _{= e}  dx x x )

3 2

( _{3 = e} 3

2

1 _Lnx

x 

Selesaian umumnya yeP(x)dx =

=

_

1.e 3 2 1

Lnx x  dx

=

_

e 3 1

x e

3 Lnx dx

y e 3

2 1

Lnx

x  = (1/2 e 2

1

x

 _{+ c)}

Persamaan differensial linear x3 _

dx dy

(2-3x2 _{) y = x}3 _mempunyai

selesaian

y e 3

2

1 _Lnx

x  = (1/2 e 2

1

x

 _{+ c)}

2. Cara LAGRANGE

Menyelesaikan persamaan differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x) dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau C(x).

Perhatikan kembali persamaan

dx dy

+ P(x) y = Q(x)

 y’ + P(x)y = Q(x)

Ambil y’ + P(x)y = 0, maka



dx

dy _{= -P(x)y}



_

dy_y =

_

-P(x) dx

 ln y =

_

-P(x) dx

 y = eP(x)dx

 y = eP(x)dxC1(x)

 y = eC1(x).eP(x)dx

 y = c(x) eP(x)dx

Selanjutnya akan dicari fungsi c(x) dari persamaan y = c(x) eP(x)dx_,

maka

Ln y = ln (c(x) eP(x)dx₎

 ln y = ln c(x) + Ln eP(x)dx

 ln y = ln c(x) -

_

P(x)dx

Jika persamaan di atas didefferensialkan terhadap x, diperoleh: dx

dy y 1

= ( ) ( )

) (

1

x P dx

x dc x

c 

 

dx

dy _{y (} ( ) _{( )} )

( 1

x P dx

x dc x

c  )



dx dy

= P x y

dx x dc x c

y

) ( ) ( )

( 

Dari persamaan y = c(x) eP(x)dxC1(x) diperoleh:



dx dy

P(x) y =

dx x dc x

c e x

c P xdx ( )

) ( )

(  ( )

 Q(x) = eP(x)dx dx

x dc( )



dx x dc( )

= Q(x) eP(x)dx

 c(x) =

_

Q(x) eP(x)dx _dx

Dengan mensubtitusikannya ke dalam y = c(x) eP(x)dxC1(x) maka diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange y = eP(x)dx ₍

_

_{Q(x) e}P(x)dx _{dx )}

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan 1.

dx dy

+ y Cotgn x = 5eCosx

Jawab

P(x) = cotgn x dan Q(x) = 5ecos x

Sehingga faktor integralnya ecotgnxdx= eln sin x = sin x.

Selesaian umum persamaan yang dicari adalah: yeP(x)dx ₌



Q(x)eP(x)dx dx  y sin x =

_

_5ecosx _{sin x dx}

 y sin x =

_

x

ecos

5 _{d(-cos x)}

 y sin x = 5(-ecosx_{) + C}

2. (x-2)

dx dy

= y + 2(x-2)3 Jawab

dx dy

- _{( 2)} 

x y

= 2(x-2)2 P(x) = ₍ 1₂₎

 

x dan Q(x) = 2(x-2)2

Faktor integral eP(x)dx _{= e}

 

dx x 2) (

1

= eLn(x2) ₌

) 2 (

1 

x

Selesaian umum persamaan diperoleh

dx dy

+ y Cotgn x = 5eCosx

yeP(x)dx ₌



Q(x)eP(x)dx dx  y

2 1 

x =





2

) 2 ( 2 x

) 2 (

1 

x dx

 2 

x y

= 2

_

(x 2)_dx

2 )

2 1 )( 2 (

2 _{x x}2 _x

y   



3. Cara Mengubah menjadi Persamaan Differensial Eksak.

Karena

dx dy

+ P(x) y = Q(x) atau (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 belum

merupakan persamaan differensial eksak untuk P(x)



0, maka perlu

mencari faktor integralnya. Misal u(x) faktor integral, maka u(x)[ (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 ]

 [u(x)P(x)y – u(x)Q(x)] dx + u(x) dy = 0 merupakan persamaan

differensial eksak.

y y x M

  ( , )

= u(x)P(x) dan

x y x N

  ( , )

=

dx x du( )

sehingga

dx x du( )

= u(x)P(x)

 ) (x u

du _{= P(x) dx}



_

) (x u

du

=

_

P(x) dx

 ln u(x) =

_

P(x) dx

 u(x) = eP(x)dx

Selanjutnya jika nilai u(x) dikalikan dengan

dx dy

+ P(x) y = Q(x), diperoleh u(x)

dx dy

+ u(x) P(x) y = u(x) Q(x) Karena

dx x du( )

= u(x) P(x), maka u(x)

dx dy

+ (x)

dx du

= u(x) Q(x)



dx

d _{(u(x)y) = u(x)Q(x)}

Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh



_dxd (u(x)y) =



u(x)Q(x) dx

 u(x) y =

_

u(x)Q(x)dx  y = u(x)1



u(x)Q(x)dx

 y = eP(x)dx

_

u(x)Q(x)dx _{adalah selesaian umumnya.}

y = eP(x)dx



Q(x)_eP(x)dx_dx

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan 1.

dx dy x

1

- 2

2

x y

= x cos x Jawab

Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat

dx dy

-

x y

2

= x2_{cos x}

P(x) =

x

2 

dan Q(x) = x2 _{cos x}

u(x) = e dx x

2

= e2Lnx = 2

1

x

Jika persamaan

dx dy

-

x y

2

= x2_{cos x dikalikan dengan u(x) =}

2

1

x

diperoleh x2

dx dy

- 2yx3 _{= cos x}  (_x 2_y)

dx

d  _{= cos x}

 x2y =

_

_Cosx dx  y = x2_{sin x + cx}2

2. y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0} Jawab

y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}  _dydx + 3_yx = 2

1

y

P(y) = 3_y Q(y) = 2

1

y

u(x) = edy y 3

= y3

Selesaian umum persamaan di atas xeP(y)dy ₌



Q(x)eP(y)dy dy xy3 ₌

_

2

1

y y3 dy

xy3 _{= ½ y}2 _{+ c}

4. Persamaan BERNOULLI

Persamaan differensial linear disebut persamaan Bernoulli jika bentuk umumnya

dx dy

+ P(x) y = yn _Q(x),

 yn

dx dy

+ P(x) y1n _{= Q(x)}

Untuk menentukan selesaian umumnya misalkan y1n_{= v.}

Dengan menurunkan terhadap variabel x, diperoleh (1-n) _yn

dx dy

=

dx dv

 yn

dx dy

=

n

 1

1

dx dv

Substitusikan y1n _{= v dan y}n

dx dy

=

n

 1

1

dx dv

ke persamaan yn

dx dy

+ P(x) y1n _{= Q(x) diperoleh}

n

 1

1

dx

dv _{+ P(x)v = Q(x)}



dx

dv _{+ (1-n)P(x) v = (1-n)Q(x)}

Bentuk terakhir adalah persamaan differensial linear yang selesaian umum dapat dicari dengan metode faktor integral atau metode Lagrange atau metode Pengubahan persamaan differensial eksak.

Misal (1-n)P(x) = p(x) dan (1-n)Q(x) = q(x)

Maka selesaian umumnya adalah v = ep(x)dx ₍

_

_{q(x) e}p(x)dx _{dx )}

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan 1.

dx dy

- y = xy3 Jawab

dx dy

- y = xy3 

dx dy y3

1

- y2 = x Misal y2 = v maka -2y

dx dy

3

 ₌

dx dv



dx dy y3

1

= -

dx dv

2 1

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-dx dv

2 1

- v = x 

dx dv

+ 2v = -2x

dimana p(x) = 2 , q(x) = -2x dan faktor integral (I) = ep(x)dx_{= e}2x selesaian umumnya

vep(x)dx ₌

_

_q(x)ep(x)dx _dx

ve2x ₌

_

_(2x)e2x

dx 2

2

y e x

= -xe2x _{+ ½ e}2x _{+ c}

2.

dx dy

+ y = y2 _{(Cos x - Sin x)} Jawab

2

1

y dx dy

+ y1 _{= (cos x - sin x)} 

dx dy y2

1

+ y1 _{= (cos x - sin x)} Misal y1 = v maka -y

dx dy

2

 ₌

dx dv



dx dy y2

1

= -

dx dv

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-dx dv



dx dv

- v = -(cos x - sin x)

dimana p(x) = -1 , q(x) = (sin x - cos x) dan factor integral ep(x)dx₌

e x

selesaian umumnya

vep(x)dx ₌

_

_q(x)ep(x)dx _dx

ve x₌



_{(sinx cosx)e}x _dx

e_yx = -ex_{sin x + C adalah selesaian umumnya.}

3.3 Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan differensial tingkat satu derajat satu dibawah ini termasuk persamaan differensial linear.

1.

dx dy

- 2y = 3 – 3x

2. x dy – 2y dx = (1+x)ex _dx 3. y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,  (xyx 3y)0

dy dx y

x y_y x

dy

dx 

 

 3 _{, P(y) = 1, Q(y) = 3 -}

y x

, y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

 (   3 ) 0

dx dy y x xy y

4. x dy – y dx = x _x2_{ y}2 dy

6. (2xy5 y) dx + 2x dy = 0

7.

dx dy

+ 2xy = 5x2_y3

8. (x2₊₁₎

dx dy

+ xy = x 9.

dx dy

- y = y3_x 10. xy’ = 2y + x3_ex

B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan menggunakan cara yang sesuai.

1.

dx dy

+ 3xy = 2 2.

dx dy

=

x y

+ 2x + 1 Jawab

dx dy

=

x y

+ 2x + 1   (2x1)

x y dx dy

Didapat P(x) =

x

1

 _{, Q(x) = (2x+1)}

Faktor integral (I) = eP(x)dx

= e dx x 1

= eln x

=

x

Primitif dari

dx dy

=

x y

+ 2x + 1 adalah Iy = Q(x)Idx

 y = x_

_

 dx_ x x 1).1 2

(

 y = x

_



_

dx x dx 1

2

 y = x(2x +ln x C)

 y2x2xlnxCx

y’ = 4x + (ln x _{+1) +C}

3.

dx dy

+ 2xy = 5y3

4.

dx dy

+ 3y = 3x2_e 3x

5. Cos  dr + ( r sin  - cos4 _{ ) d = 0} 6. y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}

7. r dt – 2t dr = (r-2)er _dr 8.

dx dy

- 6y = 10 sin 2x

P(x) = -6, Q(x) = 10 sin 2x I = e6x

Primitifnya Iy =

_

Q(x)I _dx

y = e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x – 15e6x



_sin2xe6x_dx

25_e6x



_sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x _e6x

_

_sin2x(e6x_{)dx =}

25 1

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C) Didapatkan primitif

Y =

25 10

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

9. dy + (2y cos x + sin 2x) dx = 0 10. (1+y2_{) dx = ( arc tan y – x) dy}

C. Tentukan selesaian masalah nilai awal 1.

dx dy

-

x y

= xex _{dengan y(1) =}

e

1

2. 

dx dy

4y - e x = 0 dengan y(0) =

3 4

3. 

dt dx

xy = sin 2t dengan x(0) = 0 4.

dx dy

+ y tan x = cos2_{x dengan y(}

4 

) 1 5. sin x

dx dy

+ y cos x = x sin x dengan y(

2 

 yn dx dy

=

n

 1

1

dx dv

Substitusikan y1n _{= v dan y}n dx dy

=

n

 1

1

dx dv

ke persamaan yn

dx dy

+ P(x) y1n _{= Q(x) diperoleh}

n

 1

1

dx

dv _{+ P(x)v = Q(x)}



dx

dv _{+ (1-n)P(x) v = (1-n)Q(x)}

Bentuk terakhir adalah persamaan differensial linear yang selesaian umum dapat dicari dengan metode faktor integral atau metode Lagrange atau metode Pengubahan persamaan differensial eksak.

Misal (1-n)P(x) = p(x) dan (1-n)Q(x) = q(x)

Maka selesaian umumnya adalah v = ep(x)dx ₍

_

_{q(x) e}p(x)dx _{dx )}

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan 1.

dx dy

- y = xy3

Jawab

dx dy

- y = xy3



dx dy y3

1

- y2 = x

Misal y2 = v maka -2y

dx dy

3

 ₌

dx dv



dx dy y3

1

= -

dx dv

2 1

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-dx dv

2 1

- v = x 

dx dv

+ 2v = -2x

dimana p(x) = 2 , q(x) = -2x dan faktor integral (I) = ep(x)dx_{= e}2x selesaian umumnya

vep(x)dx ₌

_

_q(x)ep(x)dx _dx

ve2x ₌

_

_(2x)e2x

dx 2

2

y e x

= -xe2x _{+ ½ e}2x _{+ c}

2.

dx dy

+ y = y2 _{(Cos x - Sin x)}

Jawab 2

1

y dx

dy

+ y1 _{= (cos x - sin x)}



dx dy y2

1

+ y1 _{= (cos x - sin x)}

Misal y1 = v maka -y

dx dy

2

 ₌

dx dv



dx dy y2

1

= -

dx dv

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-dx dv



dx dv

- v = -(cos x - sin x)

dimana p(x) = -1 , q(x) = (sin x - cos x) dan factor integral ep(x)dx₌

e x

selesaian umumnya

vep(x)dx ₌

_

_q(x)ep(x)dx _dx

ve x₌



_{(sinx cosx)e}x _dx

e_yx = -ex_{sin x + C adalah selesaian umumnya.}

3.3 Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan differensial tingkat satu derajat satu dibawah ini termasuk persamaan differensial linear.

1.

dx dy

- 2y = 3 – 3x

2. x dy – 2y dx = (1+x)ex _dx 3. y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,  (xyx 3y)0

dy dx y

x y_y x

dy

dx 

 

 3 _{, P(y) = 1, Q(y) = 3 -}

y x

, y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

 (   3 ) 0

dx dy y x xy y

4. x dy – y dx = x _x2_{ y}2 dy

6. (2xy5 y) dx + 2x dy = 0

7.

dx dy

+ 2xy = 5x2_y3

8. (x2₊₁₎

dx dy

+ xy = x 9.

dx dy

- y = y3_x

10. xy’ = 2y + x3_ex

B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan menggunakan cara yang sesuai.

1.

dx dy

+ 3xy = 2 2.

dx dy

=

x y

+ 2x + 1 Jawab

dx dy

=

x y

+ 2x + 1   (2x1)

x y dx dy

Didapat P(x) =

x

1

 _{, Q(x) = (2x+1)}

Faktor integral (I) = eP(x)dx

= e dx x

1

= eln x

=

x

Primitif dari

dx dy

=

x y

+ 2x + 1 adalah Iy = Q(x)Idx

 y = x_

_

 dx_ x x 1).1 2

(

 y = x

_



_

dx x

dx 1

2

 y = x(2x +ln x C)

 y2x2xlnxCx

y’ = 4x + (ln x _{+1) +C}

3.

dx dy

+ 2xy = 5y3

4.

dx dy

+ 3y = 3x2_e 3x

5. Cos  dr + ( r sin  - cos4 _{ ) d = 0}

6. y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}

7. r dt – 2t dr = (r-2)er _dr 8.

dx dy

- 6y = 10 sin 2x

P(x) = -6, Q(x) = 10 sin 2x I = e6x

Primitifnya Iy =

_

Q(x)I _dx

y = e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x – 15e6x



_sin2xe6x_dx

25_e6x



_sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x _e6x

_

_sin2x(e6x_{)dx =}

25 1

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C) Didapatkan primitif

Y =

25 10

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

9. dy + (2y cos x + sin 2x) dx = 0 10. (1+y2_{) dx = ( arc tan y – x) dy}

C. Tentukan selesaian masalah nilai awal 1.

dx dy

-

x y

= xex _{dengan y(1) =}

e

1

2. 

dx dy

4y - e x = 0 dengan y(0) =

3 4

3. 

dt dx

xy = sin 2t dengan x(0) = 0 4.

dx dy

+ y tan x = cos2_{x dengan y(}

4 

) 1 5. sin x

dx dy

+ y cos x = x sin x dengan y(

2 