Toori Bilangan (modul 03) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab iii kongruensi

BAB III
KONGRUENSI

3.1 Pengertian
Jika kita berbicara konsep kongruensi sebenarnya hal ini secara
tidak langsung sudah didapatkan pada pelajaran matematika Sekolah
Dasar, hanya saja istilah yang digunakan sedikit berbeda yaitu bilangan
jam atau bilangan bersisa. Cara yang dilakukan biasanya diperagakan
dengan menggunakan jam sebagi media dalam operasi yang berlaku, baik
jumlah

maupun

pengurangan.

Dalam

bilangan

jam

enaman,

jika

dioperasikan dengan menggunakan jam maka bilangan bulat yang
digunakan adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Sedangkan bilangan bulat lainnya
dapat direduksi yaitu dengan cara membagi bilanmgan tersebut dengan
6 dan bilangan yang digunakan adalah sisa dari pembagian tersebut.
Contoh:
14 dalam jam enaman dapat direduksi menjadi 2, karena 14 jika dibagi 6
bersisa 2.
21 dalam jam enaman dapat direduksi menjadi 3, karena 21 jika dibagi 6
bersisa 3.
61 dalam jam enaman dapat direduksi menjadi 1, karena 61 jika dibagi 6
bersisa 1.
dan seterusnya.
Berdasarkan proses reduksi dan operasi yang ada pada bilangan jam,
selanjutnya dikembangkan konsep kongruensi sebagai berikut.

Teori Bilangan- 72

14

 2 karena jika 14 dibagi 6 bersisa 2

21

 3 karena jika 21 dibagi 6 bersisa 3

61

 1 karena jika 61 dibagi 6 bersisa 1

Pernyataan di atas dapat pula dinyatakan dengan
14

 2 karena 14 – 2 = 12 dan 12 habis dibagi 6

21

 3 karena 21 – 3 = 18 dan 18 habis dibagi 6

61

 1 karena 61 – 1 = 60 dan 60 habis dibagi 6.
Berdasarkan contoh di atas terlihat bahwa sesungguhnya konsep

kongruensi

adalah

pengkajian

secara

lebih

mendalam

tentang

keterbagian pada bilangan bulat dan sifat-sifatnya yang telah dipelajari
pada bab II, atau dapat pula dikatakan bahwa kongruensi adalah cara lain
untuk mengkaji keterbagian dalam bilangan bulat. Untuk jelasnya
perhatikan definisi dan teorema di bawah ini.

Definisi 3.1
Misal a, b, m



Z dan m

0, maka a disebut kongruen dengan b modulo

m jika a-b habis dibagi oleh m, yaitu m│a – b. Pernyataan ini dinotasikan a

 b (mod m).
Jika m ┼ (a-b) maka dinotasikan dengan a

∕

b (mod m).

Contoh:
7

 2 ( mod 5), karena 5│(7-2)

34

 4 ( mod 10), karena 10│(34-4)

17

 1 ( mod 4), karena 4│(17-1)

6

∕

1 (mod 4), karena 4 ┼ (6-1)

Teori Bilangan- 73

11

∕

4 (mod 9), karena 9 ┼ (11-4)

Dengan demikian sebenarnya istilah kongruensi sering muncul dalam
kehidupan di sekitar kita. Misalnya kerja kalender yang kita gunakan
dalam tahun Masehi menggunakan bilangan bulat modulo 7 karena dalam
satu minggu terdapat 7 hari, kerja arloji menggunakan bilangan bulat
modulo 12 karena waktu yang ada dalam jam yaitu jam 01.00 – 12.00.
Banyaknya bulan dalam satu tahun menggunakan bilangan bulat modulo
12, pasaran hari dalam satu minggu menggunakan bilangan bulat modulo
5 karena terdapat pasaran hari pon, wage, kliwon, legi, pahing dan masih
banyak lagi contoh-contoh penggunaan kongruensi yang secara tidak

langsung ada disekitar kita.

Dalil 3.1
Misal a,b,c,



Z, dan m



N, maka berlaku sifat-sifat simetris, refleksif,

dan transitip.
a. Refleksif
a

 a (mod m)

b. Simetris

Jika a

 b (mod m) maka b  a.(mod m)

c. Transitif
Jika a

 b (mod m) maka b  c (mod m)m, maka a  c (mod m)

Bukti
a. Misal m

0, maka m│0.

m│0 berarti m │(a-a)

Teori Bilangan- 74

Karena m │(a-a), hal ini menurut definisi a
bilangan

bulat a dan m

 a (mod m), untuk setiap

0.

Cara lain
a
b. a

 a (mod m), sebab a-a = 0 dan m│0.
b

(mod m), menurut definisi berarti m│a-b, sedangkan menurut

definisi keterbagian m│a-b, dapat dinyatakan sebagai (a-b) = tm,
untuk t



Z.

(a-b) = tm  -(a-b) = -tm

 (b-a) = (-t)m, -t  Z.
 m │(b-a) atau b
c. a
b

 a (mod m)

 b (mod m) berarti m │(b-a)
 c (mod m) berarti m │(b-c)

Menurut dalil keterbagian
m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m
m │(b-c) dapat dinyatakan dengan b-c = t2m
---------------- +
(a-c) = (t1+t2)m, untuk t1,t2



Z

Jadi m │(a-c) atau a ≡ c(mod m)

Teorema 3.1
Misal a,b,c,d
1. Jika a



Z dan m



N, maka

 b (mod m) maka ac  bc (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(a-b)

Teori Bilangan- 75

Menurut definisi keterbagian bilangan bulat berlaku
(a-b) = tm, t

 Z.

 (a-b)c = (tm)c.
 ac – bc = (tc)m
 ac – bc = xm, x  Z.
Karena ac-bc = xm, berarti m │ (ac-bc) atau ac = bc (mod m)
2. Jika a

 b (mod m) maka a+c  b+c (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(a-b)

Menurut definisi keterbagian bilangan bulat berlaku
(a-b) = tm, t

 Z.

 (a-b) + 0 = (tm)
 (a-b) + (c-c) = (tm)
 (a+c) – (b+c) = (tm)
Karena (a+c) – (b+c) = tm, berarti m │ (a+c) – (b-c) atau a+c = b+c
(mod m)
3. Jika a

 b (mod m) dan

c

 d (mod m) maka a+c  b+d (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(b-a)

c

 d (mod m) berarti m │(c-d)

Menurut dalil keterbagian
m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m
m │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2m
---------------- +

Teori Bilangan- 76

(a+c) - (b+d) = (t1+t2)m, untuk t1,t2



Z

Jadi m │(a+c) - (b+d) atau a+c ≡ b+d (mod m)
4. Jika a

 b (mod m) dan

c

 d (mod m) maka a-c  b-c (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(b-a)

c

 d (mod m) berarti m │(c-d)

Menurut dalil keterbagian
m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m
m │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2m
---------------- (a-c) - (b-d) = (t1-t2)m, untuk t1,t2



Z

Jadi m │(a-c) - (b-d) atau a-c ≡ b-d (mod m)
5. Jika a

 b (mod m) dan d │m, d > 0, maka

a

 b (mod d)

Bukti
Karena a

 b (mod m)

maka m │m-b

Jika m │a-b dan d │m, berarti d │a-b , d > 0.
Karena d │a-b berati a
6. Jika a

 b (mod d)

 b (mod m) dan

c

 d (mod m) maka

ax + by = bx + dy (mod m), untuk x,y



Z.

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(a-b)

c

 d (mod m) berarti m │(c-d)

Menurut dalil keterbagian
m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m

Teori Bilangan- 77

m │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2m

 (a-b)x = (t1m)x, x  Z
 (c-d)y = (t2m)y, y  Z
---------------------------- +
(a-b)x + (c-d)y = {(t1m)x+ (t2m)y}, x,y

Z

atau (ax +cy) – (bx+dy) = {(t1x)+ (t2y)}m, {(t1x)+ (t2y)}

Z

atau m │(ax +cy) – (bx+dy) = atau (ax +cy) ≡ (bx+dy) (mod m)
7. Jika a

 b (mod m) dan

c

 d (mod m) maka ac = bd (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(a-b)

c

 d (mod m) berarti m │(c-d)

Menurut dalil keterbagian
m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m
m │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2m

 (a-b)c = (t1m)c, c  Z atau (ac – bc) = (t1m)c, c  Z
 (c-d)b = (t2m)b, b  Z atau (cb – db) = (t2m)b, b  Z
----------------------------------------------------------------- +
(ac-bd) = (t1m)c + (t2m)b, a,b

 Z.

 (ac-bd) = (t1c + t2b)m, (t1c + t2b)  Z.
atau m │(ac – bd ) atau (ac) ≡ (bd) (mod m)
8. Jika a

 b (mod m) maka a

n

= bn (mod m)

Bukti
a

 b (mod m) berarti m │(a-b)

Menurut dalil keterbagian

Teori Bilangan- 78

m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = tm
Selanjutnya kita mengetahui bahwa
an – bn = (a-b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ..... + bn-1)
Karena a-b │ a-b , maka
a-b │ an – bn , atau
a-b │(a-b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ..... + bn-1)
Menurut dalil keterbagian:
Jika m │a-b dan a-b │ an – bn , maka a-b │ an – bn
Jadi a-b │ an – bn

atau an

b

n

(mod m)

Dalil 3.2
Andaikan f adalah suatu polinomial dengan koefisien-koefisien
bilangan bulat, Jika Jika a

 b (mod m), maka f(a)  f(b)

(mod m).

Bukti
Misal f(x) = tnxn + tn-1xn-1 + tn-2xn-2 + tn-3xn-3 + ..... + t1x + to
Dengan tn, tn-1, tn-2, tn-3, t1x, to  Z.
Jika x = a maka f(a) = tnan + tn-1an-1 + tn-2an-2 + tn-3an-3 + ..... + t1a + to
Jika x = b maka f(b) = tnbn + tn-1bn-1 + tn-2bn-2 + tn-3bn-3 + ..... + t1b + to
--------------------------------------------------------------------------------------------------- -

f(a) – f(b) = tn(an - bn ) + tn-1(an-1 - bn-1 ) + tn-2(an-3 –bn-3) + .....
+ t1(a-b)
Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh
a
a2

 b (mod m) atau m │a-b sehingga m │t (a-b)
1

b

2

(mod m) atau m │a2-b2 sehingga m │t2(a2-b2)

Teori Bilangan- 79

a3

b

3

(mod m) atau m │a3-b3 sehingga m │t3(a2-b2)

a4

b

4

(mod m) atau m │a4-b4 sehingga m │t4(a4-b4)

.............................................................................
an

b

n

(mod m) atau m │an-bn sehingga m │tn(an-bn)

Dengan menggunakan definisi keterbagian pada bilangan bulat maka:
m │tn(an-bn) + tn-1(an-1-bn-1) + tn-2(an-2-bn-2) + tn-3(an-3-bn-3) + ..... + t1(a1-b1),
hal ini berarti
m │f(a) – f(b) atau f(a)

 f(b) (mod m)

Perhatikan beberapa contoh berikut ini!
Perhatikan beberapa contoh berikut ini!

1

1. 41

(mod 8) hal ini berarti 8 │ (41-1) atau 8 │40. Dengan kasus

yang sama maka 8│ (1- 41) atau 8 │ - 40, sehingga 1

41 (mod 8).

2. Karena 0 habis dibagi oleh sebarang bilangan bulat m, dan 0 dapat
diperoleh dari hasil pengurangan sebarang dua bilangan yang sama,
maka dapat ditentukan
-

3│0

 3 │5-5  5

 5 (mod 3)

-

7│0

 7 │9-9  7

 7 (mod 9)

-

11│0

3. 25
99
4. 26

 11 │20  20

 20 (mod 9)

 11 (mod 7), karena 7 │25-11 atau 7 │14.
 1 (mod 44), karena 44 │99-1 atau 44 │98
 1 (mod 5), karena 5 │26-1 atau 5│25

5 │25

 5 │3.25  5 │10.25  5 │11.25  5 │100.25

Apakah 7 │2(30-2)
Apakah 7 │10(30-2)

Teori Bilangan- 80

Apakah 2.30

 2.2 (mod 7)

Apakah 10.30

 10.2 (mod 7)

5. 26

 1 (mod 5), karena 5 │26-1 atau 5│25

36

 1 (mod 5), karena 5 │36-1 atau 5│35

Apakah 5 │26+36 atau 5│1+1
Apakah 5 │(26+36) – (1+1) atau apakah 5 │62 –2

 3 (mod 5), karena 5 │13 –3

6. 13
7

 2 (mod 5), karena 5 │7–2, Apakah 91  6 (mod 5)

Jika kita perhatikan contoh di atas nampak bahwa dalam kongruensi
berlaku sifat-sifat yang sama dalam pembagian bilangan bulat

3.2 Sistem Residu
Untuk membahas pengertian sistem residu, perlu diingat kembali
tentang algoritma pembagian.

Menurut teorema algoritma pembagian

terdapat bilangan bulat q dan r sehingga untuk setiap bilangan bulat a
dan m berlaku hubungan a = qm +r, dengan 0 ≤ 0 < r.

Selanjutnya

persamaan a = qm + r dapat dinyatakan dalm bentuk kongruensi a

q

(mod m) Akibatnya, setiap bilangan bulat a kongruen modulo m dengan
salah satu bilangan bulat berikut: 0, 1, 2, 3, ..... , m-1. Dengan demikian
jelaslah bahwa tidak ada sepasangpun dari bilangan-bilangan 0, 1, 2,
3, ..... , m-1 yang kongruen satu sama lain. Maka m buah bilangan
tersebut dapat membentuk suatu sistem residu lengkap modulo m.
Definisi 3.3
1. Jika x

 y (mod m) maka y disebut residu dari x modulo m.

Teori Bilangan- 81

2. Misal A = { x1, x2, x3, ..... , xm }, disebut suatu sistem residu modulo m
yanglengkap jika dan hanya jika untuk setiap y (0 y 0.

Teorema 3
Kongruensi linear ax

 b (mod m), dengan a,b,m 

Z,a

0, dan m > 0.

dapat diselesaikan jika d = (a,m) membagi b. Pada kasus ini memiliki
selesaian. Jika (a,m) = 1, maka kongruensi linear ax

 b (mod m) hanya

mempunyai satu selesaian.
Bukti.
Kongruensi linear ax

 b (mod m) mempunyai selesaian, berarti m │ax –

b.
Andaikan d ┼b.
d = (a,b) → d │a → d │ax.
d │ax. dan d ┼b → d ┼ ax – b.
d= (a,m) → d │m.
d │m dan d ┼b → m ┼ ax – b.
m ┼ ax – b bertentangan dengan m │ax – b, Jadi d │b.
Diketahui d │b dan d = (a,m) → d │a → d │m.
d │a , d │m, dan d │b →
ax

a m
b
,
, dan
d
d
d



Z.

 b (mod m) → m │ax – b.

m │ax – b dan

a m b
m ax
b
,
,
│
│
d
d
d
d
d
d

Teori Bilangan- 92

m ax
b
ax
│
→
d
d
d
d



b
m
(mod
).
d
d

Misal selesaian kongruensi

ax
d



b
m
(mod
) adalah x
d
d

maka sebarang selesaiannya berbentuk x = xo + k.
x = xo + k.

m
,k
d



x;
o

xo <

m
,
d

Z, yaitu:

( d  1) m
m
2m
3m
, x = xo + k.
, x = xo + k.
, ..... , x = xo + k.
.
d
d
d
d

dimana seluruhnya memenuhi kongruensi dan seluruhnya mempunyai d
selesaian.
Jika (a,d) = 1, maka selesaiannya didapat x = x o yang memenuhi
kongruensi dan mempunyai satu selesaian.

Contoh:
1. 7x

 3 (mod 12)

Jawab
Karena (7,12) = 1, atau 7 dan 12 relatif prima dan 1 │ 3 maka 7x

3

(mod 12)
Hanya mempunyai 1 selesaian yaitu x

2. 6x

 9 (mod 12)

 9 (mod 15)

Jawab
Karena (6,15) = 3 atau 6 dan 15 tidak relatif prima dan 3│ 9, maka
kongruensi di atas mempunyai 3 selesaian (tidak tunggal).
Selesaian kongruensi linear 6x

 9 (mod 15) adalah

Teori Bilangan- 93

x

 9 (mod 15),

3. 12x

x

 9 (mod 15), dan x  14 (mod 15).

 2 (mod 18)

Jawab

2

Karena (18,12) = 4 dan 4 ┼ 2, maka kongruensi 12x

(mod 18)

tidak mempunyai selesaian.
4. 144x

 216 (mod 360)

Jawab
Karena (144,360) = 72 dan 72│ 216, maka kongruensi 144x

 216

(mod 360) mempunyai 72 selesaian.
Selesaian tersebut adalah x

 4 (mod 360), x  14 (mod 360), .... , x

 359 (mod 360).
5. Bila kongruensi 144x



216 (mod 360) disederhanakan dengan

menghilangkan faktor d, maka kongruensi menjadi 2x
Kongruensi 2x

3

(mod 5).

 3 (mod 5) hanya mempunyai satu selesaian yaitu x 

4 (mod 5).

Pada kongruensi ax



b (mod m) jika nilai a,b, dan m besar, akan

memerlukan penyelesaian yang panjang, sehingga perlu disederhanakan
penyelesaian tersebut.
ax

 b (mod m) ↔ m│ (ax –b) ↔ (ax-b) = my, y  Z.

ax – b = my

↔ my + b = ax ↔ my

-

b (mod a) dan mempunyai

selesaian yo.
Sehingga dari bentuk my + b = ax dapat ditentukan bahwa my o + b
adalah kelipatan dari.

Teori Bilangan- 94

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk:
myo + b = ax ↔ xo =

my  b
a
o

Contoh.
1. Selesaikan kongruensi 7x

 4 (mod 25)

Jawab
7x

 4 (mod 25)

25y

 -4 (mod 7)

4y

 -4 (mod 7)

y

 -1(mod 7)

yo = -1 sehingga xo =

25(  1)  4
= -3
7

Selesaian kongruensi linear di atas adalah
x

 -3 (mod 25)

x

 22 (mod 25)

2. Selesaikan kongruensi 4x

 3 (mod 49)

Jawab
4x

 3 (mod 49)

49y

 -3 (mod 4)

4y
y

 -3 (mod 4)
 -3 (mod 7)

yo = -3 sehingga xo =

49( 3)  3
= -36
4

Teori Bilangan- 95

Selesaian kongruensi linear di atas adalah
x

 -36 (mod 49)

x

 13 (mod 25)

Cara di atas dapat diperluas untuk menentukan selesaian kongruensi
linear dengan
Menentukan yo dengan mencari zo
Menentukan wo dengan mencari wo
Menentukan vo dengan mencari wo, dan seterusnya.

Contoh
1. Selesaikan kongruensi 82x

 19 (mod 625)

Jawab
82x

 19 (mod 625)

---------------------------625y

 -19 (mod 82)

51y

 -19 (mod 82)

----------------------------82z

 19 (mod 51)

31z

 19 (mod 82)

-----------------------------

51v

 -19 (mod 31)

20v

 -19 (mod 31)

Teori Bilangan- 96

-----------------------------

 19 (mod 20)

31w
11w

 19 (mod 20)

----------------------------20r

 -19 (mod 11)

9r

 -19 (mod 11)

9r



3 (mod 11)

----------------------------11s
2s

 -3 (mod 9)
 -3 (mod 9)

----------------------------9t
t

 3 (mod 2)
 3 (mod 2)

----------------------------Jadi to = 3, sehingga:
so = (9to-3)/2 = (27-3)/2 = 12
ro = (11so+3)/9 = (132+3)/9 = 15
wo = (20ro+19)/11 = (300+19)/11 = 29
vo = (31wo-19)/20 = (899-19)/20 = 44
zo = (51vo+19)/31 = (2244 +19)/31 = 73
yo = (82zo-19)/51 = (5986-19)/51 = 117
xo = (625yo+19)/82 = (73126+19)/82 = 892
Selesaian kongruensi di atas adalah
x

 892 ( mod 625) atau x  267 ( mod 625)

Teori Bilangan- 97

Teorema
Jika (a,m) = 1 maka kongruensi linear ax



b (mod m) mempunyai

selesaian x = a  (m)-1b, dimana  (m) adalah banyaknya residu didalam
sistem residu modulo m tereduksi.
Bukti.
Menurut teorem Euler jika (a,m) = 1 maka a  (m)-1 = 1.
ax

 b (mod m)

a. a  (m)-1 .x
a  (m)

 b a

 b a

x

 b a

x

 a

 b a
(m)-1

(m)-1

(mod m)

(mod m)

 1 (mod m)

Karena a  (m)
Maka 1.x

(m)-1

(m)-1

(m)-1

dan a  (m) x

 b a

(m)-1

(mod m)

(mod m)

(mod m)

b (mod m)

Contoh
1. Selesaikan 5x

 3 (mod 13)

Jawab
Karena (5,13) = 1
Maka kongruensi linear 5x
x

 3.5 
 3.5


(13) –1

12 –1

 3 (mod 13) mempunyai selesaian

(mod 13)

(mod 13)

3.(52 )5.5 (mod 13)

Teori Bilangan- 98



3.(-1)5 5 (mod 13), karena 52



11 (mod 13)

 -1 (mod 13)

4.4 Kongruensi Simultan
Sering kita dituntut secara simultan untuk menentukan selesaian
yang memenuhi sejumlah kongruensi. Hal ini berarti dari beberapa
kongruensi linear yang akan ditentukan selesaiannya dan memenuhi
masing-masing kongruensi linear pembentuknya.

Contoh
1. Diberikan dua kongruensi (kongruensi simultan)
x

 3 (mod 8)

x

 7 (mod 10)

Karena x

 3 (mod 8), maka

x = 3 + 8t (t  Z).

Selanjutnya x = 3 + 8t disubstitusikan ke x

 7 (mod 10), maka

diperoleh
3 + 8t

 7 (mod 10) dan didapat

8t

 7-3 (mod 10)

8t

 4 (mod 10)

Karena (8,10) = 2 dan 2 │4 atau 2 │7-3, maka kongruensi 8t

 4 (mod

10) mempunyai dua selesaian bilangan bulat modulo 10 yaitu

Teori Bilangan- 99

8t

 4 (mod 10)

4t

 2 (mod 5)

t

 3 (mod 5)

Jadi t

 3 (mod 5) atau

Dari t

 3 (mod 5)

t

 8 (mod 10)

atau t = 3 + 5r (r  Z) dan t

 8 (mod 10) atau x =

3 + 8t
Selanjutnya dapat dicari nilai x sebagai berikut:
x = 3 + 8t
= 3 + 8(3+5r)
= 3 + 24 + 40r
= 27 + 40r atau x

 27 (mod 40) atau x  27 (mod [8,10])

2. Diberikan kongruensi simultan
x

 15 (mod 51)

x

 7 (mod 42)

Selesaian
Karena (51,42) = 3 dan 15 / 7 (mod 3) atau 3 ┼ 15 –7 , maka
kongruensi simultan di atas tidak mempunyai selesaian.

Teorema 3
Kongruensi simultan
x

 a (mod m)

x

 b (mod n)

dapat diselesaikan jika
a

 b (mod (m,n)) dana memiliki selesaian tunggal

Teori Bilangan-100

x

x

o

(mod [m,n])

Bukti
Diketahui
x

 a (mod m)

x

 b (mod n)

Kongruensi pertama x

 a (mod m) → x = a + mk, k  Z.

Kongruensi kedua harus memenuhi a + mk

 b (mod n) atau mk  b-a

(mod n)
Menurut teorema sebelumnya mk

 b-a (mod n) dapat diselesaikan jika d

 b (mod

│b-a, d = (m,n) atau dengan kata lain kondisi kongruensi a
(m,n)) harus dipenuhi.
d = (m,n) → d │ m dan d │m.
Jika d | m dan d │m maka
m n (b  a )
,
,
d
d
d
mk
d





m n (b  a )
,
,
d
d
d

Z dan mk



Z.

 b-a (mod n) mengakibatkan

(b  a )
n
( mod
)
d
d

Dari teorema sebelumnya jika d = (m,n) maka (
Jika (

m n
mk
,
) = 1 dan
d
d
d

mk
d





m n
,
)=1
d
d

(b  a )
n
( mod
), maka
d
d

(b  a )
n
( mod
) mempunyai 1 selesaian.
d
d

Misalkan selesaian yang dimaksud adalah k = ko sehingga selesaian
kongruensi adalah

Teori Bilangan-101

k

k

o

n
n
) atau k = ko +
r, r
d
d

(mod

Karena x = a = mk dan k = ko +



Z.

n
r, maka
d

x = a + mk
= a + m (ko +
= ( a + m ko +

n
r)
d
mn
r)
d

= ( a + m ko ) + [m,n].r ; sebab [m,n](m,n) = m.n
= xo + [m,n]r, sebab xo = ( a + m ko )
= xo (mod [m,n])

Soal-soal
1. Tentukan selesaian kongruensi linear di bawah ini
a. 3x

 2 (mod 5)

b. 7x

 4 (mod 25)

c. 12x
d. 6x

 9 (mod 15)

e. 36x
f. 8x

 2 (mod 8)
 8 (mod 102)

 12 (mod 20)

g. 144x

 216 (mod 360)

2. Tentukan selesaian kongruensi simultan berikut ini.
a. 12 x

 3 (mod 15)

Teori Bilangan-102

10 x

 14 (mod 8)

b. x

 5 (mod 11)

x

 3 (mod 23)

3. Selesaiakan kongruensi linear dengan metode my o + b = ax ↔ xo =

my  b
:
a
o

a. 353x
b. 49x

 19 ( mod 400)

 5000 ( mod 999)

c. 589x

 209 ( mod 817)

4.6 Teorema Sisa China

Teori Bilangan-103