Persamaan 2.7
disebut persamaan
karakteristik dari matriks .
Anton 1995 Misalkan diberikan matriks
berukuran sebagai berikut:
. Persamaan karakteristik diperoleh dengan
menyelesaikan ,
dengan
adalah matriks identitas. Maka persamaan karakteristiknya menjadi
, atau
. Misalkan
, 2.8
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
sebagai berikut:
√
.
2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial sembarang
̇ . 2.9
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks
. Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh
dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu dengan
yang diperoleh dari Secara umum, kestabilan
titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut :
1. Stabil, jika
Setiap nilai eigen real bernilai negatif untuk semua ,
Setiap bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai lebih kecil atau sama
dengan nol untuk semua
. 2.
Tak stabil, jika Setiap nilai eigen real bernilai positif
untuk semua , Setiap bagian real dari nilai eigen
kompleks bernilai lebih besar atau sama dengan nol
untuk semua
. 3.
Sadel, jika perkalian dari kedua nilai eigen real sembarang adalah negatif
untuk suatu dan sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat
tak stabil. Tu 1994
Berdasarkan persamaan 2.8 terhadap matriks Jacobi ada tiga kasus untuk nilai
: Kasus .
Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda maka titik tetap bersifat “sadel”.
Kasus .
. -
Jika dan kedua nilai eigen real bernilai positif maka titik tetap
bersifat “simpul tak stabil”. -
Jika dan kedua nilai eigen real bernilai negatif maka titik tetap
bersifat “simpul stabil”.
. -
Jika dan kedua nilai eigen imajiner
maka titik tetap bersifat “spiral tak stabil”.
- Jika dan kedua nilai eigen
imajiner maka titik
tetap bersifat “spiral stabil”. -
Jika dan kedua nilai eigen imajiner murni
maka titik tetap bersifat “center”.
.
- Parabola
adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star
nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen
bernilai sama maka titik tetap bersifat “simpul sejati”.
Kasus . Jika salah satu nilai eigen bernilai nol
maka titik asal bersifat “titik tetap tak
terisolasi”. Strogatz 1994
Dalam menganalisis kestabilan titik tetap yang dijelaskan sebelumnya dapat dilihat pada
bidang fase yang terbentuk seperti pada Gambar 1.
Simpul Stabil Simpul Tak Stabil Sadel Spiral Tak Stabil
Simpul Terisolasi Spiral Stabil Simpul Sejati Center
Gambar 1 Bidang fase.
Pada Gambar 1 terlihat berbagai macam bidang fase yang terdiri dari simpul stabil,
simpul tak stabil, sadel, spiral tak stabil, simpul terisolasi, spiral stabil, simpul sejati,
dan center. Bidang fase ini sangat membantu dalam menentukan kestabilan titik tetap secara
visualisasi.
III PEMBAHASAN
3.1 Model Interaksi Pemangsa dan
