I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Makhluk hidup tidak dapat hidup sendiri. Semua makhluk hidup selalu bergantung
kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan
individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu
dalam satu
populasi maupun
individu-individu dari populasi lain. Adanya
makhluk hidup lain akan menyebabkan terjadinya kompetisi. Kompetisi merupakan
interaksi persaingan di antara makhluk hidup yang berada di dalam suatu ekosistem. Salah
satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan mangsa prey dan pemangsa
predator. Hubungan ini sangat berkaitan karena pemangsa predator tidak dapat
bertahan hidup tanpa adanya mangsa prey. Ini dikarenakan tidak adanya sumber makanan
yang akan dikonversi menjadi individu- individu baru yang memperkecil terjadinya
kepunahan. Sebaliknya, pemangsa predator berfungsi
sebagai pengontrol
populasi mangsa.
Hubungan antar mangsa dan pemangsa dapat dijelaskan dengan model matematika
yang mengandung fungsi interaksi. Fungsi interaksi yang dibentuk akan sangat berguna
pada beberapa kasus. Kasus yang dimaksud adalah untuk mendapatkan bentuk umum
fungsi,
fungsi dasar,
dan selanjutnya
membentuk fungsi spesifik. Hal ini dapat dijadikan tuntunan untuk menentukan fungsi
interaksi. Model sistem mangsa dan pemangsa yang ada saat ini akan menjadi dasar pada
model Owen Owen et al. 2010.
Bhatt et al. 2008 mengembangkan penelitian berdasarkan hasil penelitian Skalski
dan Gillian 2001 untuk menentukan efek keterlibatan predator dalam perpindahannya
pada dua mangsa yang berbeda habitat. Mereka menemukan sistem dimana predator
dapat berpindah ke jumlah mangsa yang lebih banyak tanpa terlibat satu sama lain. Beberapa
sistem tersebut ada yang memiliki beberapa titik bifurkasi.
Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi, sehingga
keadaaan suatu spesies dipengaruhi oleh keadaan spesies lain yang berinteraksi
dengannya. Penelitian Owen et al. 2011 menerapkan sistem dari dua mangsa yang
hidup di dua habitat berbeda dan satu spesies predator yang mungkin berpindah ke yang
paling banyak
mangsanya dengan
memperhitungkan pemanenan pada kedua spesies mangsa.
Dalam karya ilmiah ini, model
Owen Owen
et al.
2011 disederhanakan karena keadaan ini tidak
terjadi di kondisi nyata. Penyederhanaan dilakukan dengan tidak terjadinya pemanenan
pada kedua habitat mangsa tersebut. Selain itu, mangsa pada habitat pertama tidak dapat
berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua, tetapi mangsa pada habitat kedua dapat
berpindah ke wilayah mangsa pada habitat pertama. Ini dikarenakan bahwa terkadang
tidak semua wilayah mangsa dapat dimasuki oleh mangsa lain.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis dinamika solusi
model pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda dengan menentukan
titik tetap dan kestabilan masing-masing titik tetap. Di samping itu, simulasi juga dilakukan
untuk melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan
landasan teori yang berisi aspek teoritis penulisan karya ilmiah. Bab ketiga berupa
pembahasan yang berisi pemodelan dan analisis kestabilan serta simulasi pada model
interaksi satu pemangsa dan mangsa pada dua habitat yang berbeda. Bab keempat berisi
kesimpulan dari karya ilmiah.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Differensial
Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut
̇ , 2.1
dengan dan adalah fungsi dari
waktu . Bila adalah suatu matriks
berukuran dengan koefisien konstan dan
dinyatakan sebagai vektor konstan , maka akan diperoleh bentuk sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut
̇ . 2.2
Farlow 1994
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
̇ . 2.3
Titik disebut titik tetap jika memenuhi
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan.
Tu 1994
Pelinieran
Misalkan: ̇ ,
̇ . Andaikan
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
dan . Misalkan
dan maka diperoleh:
̇ ̇ ̇
̇ ̇
̇ ̇ ̇
̇ ̇
. Dalam bentuk matriks:
̇ ̇ .
Matriks disebut matriks
Jacobi pada titik tetap . Karena
maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan liniear:
̇ ̇
. 2.4
Strogatz 1994
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan matriks berukuran ,
maka suatu vektor taknol di
disebut vektor eigen dari
jika untuk suatu skalar berlaku:
. 2.5 Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
. Untuk mencari nilai eigen dari matriks
yang berukuran
, maka persamaan 2.5 dapat ditulis sebagai berikut:
, 2.6 dengan
adalah matriks identitas. Persamaan 2.6 mempunyai solusi taknol jika dan hanya
jika: | | . 2.7
Persamaan 2.7
disebut persamaan
karakteristik dari matriks .
Anton 1995 Misalkan diberikan matriks
berukuran sebagai berikut:
. Persamaan karakteristik diperoleh dengan
menyelesaikan ,
dengan
adalah matriks identitas. Maka persamaan karakteristiknya menjadi
, atau
. Misalkan
, 2.8
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
sebagai berikut:
√
.
2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Kategori