BAB IV APLIKASI MODEL
4.1 Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter dilakukan terhadap fungsi Hadwiger, Gamma, Beta dan Gompertz dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum Maximum
Likelihood Method
4.1.1 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Hadwiger
Fungsi Hadwiger memiliki fungsi kepekatan peluang f
u =
π β
α
u
β
2 3
2
2
exp
− +
−
β β
α
u u
. Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
1 L
β α
, =
∏
= n
i i
U f
1
,
β α
=
∑ ∑
= =
+ −
− =
∑
n i
n i
i i
n U
U n
i i
n
e U
1 2
1 2
2
2 1
2 3
1 2
1
1
α β
α β
α
π αβ
2 log L ,
β α
=
β α
β α
β α
π α
∑ ∑
∑
= =
=
−
−
− +
+ −
n i
i n
i n
i i
i
U U
U n
n n
n
1 2
1 1
2 2
1 2
] log[
3 ]
log[ ]
log[ 2
] log[
4 2
1
Untuk memperoleh nilai penduga bagi
α
dan
β
yang memaksimumkan fungsi log- likelihood
maka turunan pertama dari log L ,
β α
terhadap
α
dan log L ,
β α
terhadap
β
harus sama dengan 0, sehingga :
3 =
∂ ∂
α β
α
, log L
2 1
4 8
2 2
1
1 1
= −
− +
∑ ∑
= =
β α
αβ α
α
n i
i n
i i
U U
n n
β α
αβ α
α
∑ ∑
= =
= −
+ ⇔
n i
i n
i i
U U
n n
1 1
2 1
2 4
∑ ∑
= =
= −
+ ⇔
n i
i n
i i
U U
n n
1 1
2
2 1
2 4
α αβ
αβ α
β
∑ ∑
= =
= −
+ ⇔
n i
i n
i i
U U
n n
1 1
2 2
2 1
2 4
β β
α β
∑ ∑
= =
+ −
= ⇔
n i
i n
i i
U n
U n
1 2
1 2
1 2
4 2
β β
α β
∑ ∑
= =
+ −
= ⇔
n i
n i
i i
U n
U n
1 1
2 2
1 2
4 2
β β
β α
Jadi =
∧
α
∑ ∑
= =
+ −
±
n i
i n
i i
U n
U n
1 2
1
1 2
2
β β
β
4 =
∂ ∂
β β
α
, log L
1 2
2 1
2 1
2 1
2
= −
−
∑ ∑
= =
β α
α β
n i
i n
i i
U U
n
2 1
2 1
2
1 2
β α
α β
∑ ∑
= =
= −
⇔
n i
i n
i i
U U
n
∑ ∑
= =
= −
⇔
n i
i n
i i
U U
n
1 2
1 2
2
1 2
α β
α β
2 1
1 2
1 2
2
= −
+ −
⇔
∑ ∑
= =
n i
i n
i i
U n
U α
β β
α
∑ ∑
∑
= =
=
− −
± −
= ⇔
n i
i n
i n
i i
i
U U
U n
n
1 2
1 1
4 2
1 2
1 4
4 2
α α
β
Jadi =
∧
β
∑ ∑
∑
= =
=
− −
± −
n i
i n
i n
i i
i
U U
U n
n
1 2
1 1
4 2
1 4
1 16
α α
4.1.2 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Gamma
Fungsi Gamma memiliki fungsi kepekatan peluang f
u = ]
14 exp[
14 ]
[ 1
1
β β
α
α α
− −
−
−
u u
Gamma .
Berikut ini tahapan pendugaan parameter. 1 L
= ,
β α
∏
= n
i i
U f
1
,
β α
=
β β
α α
β α
n n
i i
U n
i i
n
U Gamma
14 1
1
1
exp 14
] [
1
+ −
= −
∑
−
=
∑
2 log L =
,
β α
β β
αβ β
α β
β αβ
∑ ∑
∑
= =
=
− +
− −
+ −
+ +
+ −
−
n i
i n
i n
i i
i
U U
U Log
Gamma n
n n
1 1
1
] 14
log[ ]
14 [
]] [
log[ ]
log[ 14
Untuk memperoleh nilai penduga bagi
α
dan
β
yang memaksimumkan fungsi log- likelihood
, turunan pertama dari log L ,
β α
terhadap
α
dan log L ,
β α
terhadap
β
harus sama dengan 0, sehingga : 12
3 =
∂ ∂
β β
α ,
log L
+ +
− −
+ −
+ +
+ −
∑ ∑
= =
β α
α β
α α
n i
i n
i i
U U
Gamma n
n n
1 1
] 14
log[ ]
14 log[
]] [
log[ ]
log[
2 1
1
] 14
log[ ]
14 log[
]] [
log[ ]
log[ 14
β αβ
β α
β β
αβ
∑ ∑
= =
+ −
− +
− +
+ +
−
n i
n i
i i
U U
Gamma n
n n
+
2 1
β
∑
= n
i i
U = 0
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 1
2 1
2 2
2
14 log
14 log
log log
β αβ
β β
β α
β β
β αβ
β αβ
∑ ∑
= =
+ −
+ +
− −
− −
− ⇔
n i
i n
i i
U U
Gamma n
n n
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
14 log
14 log
log log
14
2 1
2 1
2 1
2 2
2
= +
+ −
− +
− +
+ +
−
∑ ∑
∑
= =
=
β β
αβ β
β β
α β
β β
αβ β
n i
i n
i i
n i
i
U U
U Gamma
n n
n
14
2 1
2 2
= +
− −
⇔
∑
=
β β
αβ β
n i
i
U n
n
αβ
n U
n
n i
i
= +
− ⇔
∑
= 1
14
α β
n U
n
n i
i
∑
=
+ −
= ⇔
1
14
Jadi =
∧
β α
n U
n
n i
i
∑
=
+ −
1
14 13
4
β β
α β
β β
α β
α
] 14
[ ]
, [
] log[
, log
1 i
n i
U PolyGamma
n n
L +
− −
+ −
= ∂
∂
∑
=
= 0
Hasil turunan parsial ,
log =
∂ ∂
α β
α
L tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik,
sehingga
∧
α
tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Dengan bantuan software Mathematica
6.0 diperoleh hasil secara numerik.
4.1.3 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Beta