Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Hadwiger Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Gamma

BAB IV APLIKASI MODEL

4.1 Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter dilakukan terhadap fungsi Hadwiger, Gamma, Beta dan Gompertz dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum Maximum Likelihood Method

4.1.1 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Hadwiger

Fungsi Hadwiger memiliki fungsi kepekatan peluang f u = π β α       u β 2 3 2 2 exp − + − β β α u u . Berikut ini tahapan pendugaan parameter. 1 L β α , = ∏ = n i i U f 1 , β α = ∑ ∑             = = + − − = ∑ n i n i i i n U U n i i n e U 1 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 α β α β α π αβ 2 log L , β α = β α β α β α π α ∑ ∑ ∑ = = = −       − − + + − n i i n i n i i i U U U n n n n 1 2 1 1 2 2 1 2 ] log[ 3 ] log[ ] log[ 2 ] log[ 4 2 1 Untuk memperoleh nilai penduga bagi α dan β yang memaksimumkan fungsi log- likelihood maka turunan pertama dari log L , β α terhadap α dan log L , β α terhadap β harus sama dengan 0, sehingga : 3 = ∂ ∂ α β α , log L 2 1 4 8 2 2 1 1 1 = −       − + ∑ ∑ = = β α αβ α α n i i n i i U U n n β α αβ α α ∑ ∑ = = = − + ⇔ n i i n i i U U n n 1 1 2 1 2 4 ∑ ∑ = = = − + ⇔ n i i n i i U U n n 1 1 2 2 1 2 4 α αβ αβ α β ∑ ∑ = = = − + ⇔ n i i n i i U U n n 1 1 2 2 2 1 2 4 β β α β ∑ ∑ = = + − = ⇔ n i i n i i U n U n 1 2 1 2 1 2 4 2 β β α β ∑ ∑ = = + − = ⇔ n i n i i i U n U n 1 1 2 2 1 2 4 2 β β β α Jadi = ∧ α ∑ ∑ = = + − ± n i i n i i U n U n 1 2 1 1 2 2 β β β 4 = ∂ ∂ β β α , log L 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = −       − ∑ ∑ = = β α α β n i i n i i U U n 2 1 2 1 2 1 2 β α α β ∑ ∑ = = = − ⇔ n i i n i i U U n ∑ ∑ = = = − ⇔ n i i n i i U U n 1 2 1 2 2 1 2 α β α β 2 1 1 2 1 2 2 = − + − ⇔ ∑ ∑ = = n i i n i i U n U α β β α ∑ ∑ ∑ = = = − − ± − = ⇔ n i i n i n i i i U U U n n 1 2 1 1 4 2 1 2 1 4 4 2 α α β Jadi = ∧ β ∑ ∑ ∑ = = = − − ± − n i i n i n i i i U U U n n 1 2 1 1 4 2 1 4 1 16 α α

4.1.2 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Gamma

Fungsi Gamma memiliki fungsi kepekatan peluang f u = ] 14 exp[ 14 ] [ 1 1 β β α α α − − − − u u Gamma . Berikut ini tahapan pendugaan parameter. 1 L = , β α ∏ = n i i U f 1 , β α = β β α α β α n n i i U n i i n U Gamma 14 1 1 1 exp 14 ] [ 1 + − = − ∑       −       = ∑ 2 log L = , β α β β αβ β α β β αβ ∑ ∑ ∑ = = = − + − − + − + + + − − n i i n i n i i i U U U Log Gamma n n n 1 1 1 ] 14 log[ ] 14 [ ]] [ log[ ] log[ 14 Untuk memperoleh nilai penduga bagi α dan β yang memaksimumkan fungsi log- likelihood , turunan pertama dari log L , β α terhadap α dan log L , β α terhadap β harus sama dengan 0, sehingga : 12 3 = ∂ ∂ β β α , log L + + − − + − + + + − ∑ ∑ = = β α α β α α n i i n i i U U Gamma n n n 1 1 ] 14 log[ ] 14 log[ ]] [ log[ ] log[ 2 1 1 ] 14 log[ ] 14 log[ ]] [ log[ ] log[ 14 β αβ β α β β αβ ∑ ∑ = = + − − + − + + + − n i n i i i U U Gamma n n n + 2 1 β ∑ = n i i U = 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 2 1 2 2 2 14 log 14 log log log β αβ β β β α β β β αβ β αβ ∑ ∑ = = + − + + − − − − − ⇔ n i i n i i U U Gamma n n n [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 14 log 14 log log log 14 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = + + − − + − + + + − ∑ ∑ ∑ = = = β β αβ β β β α β β β αβ β n i i n i i n i i U U U Gamma n n n 14 2 1 2 2 = + − − ⇔ ∑ = β β αβ β n i i U n n αβ n U n n i i = + − ⇔ ∑ = 1 14 α β n U n n i i ∑ = + − = ⇔ 1 14 Jadi = ∧ β α n U n n i i ∑ = + − 1 14 13 4 β β α β β β α β α ] 14 [ ] , [ ] log[ , log 1 i n i U PolyGamma n n L + − − + − = ∂ ∂ ∑ = = 0 Hasil turunan parsial , log = ∂ ∂ α β α L tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik, sehingga ∧ α tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.

4.1.3 Metode Kemungkinan Maksimum Fungsi Beta