Definisi 2.2.7 [Peubah Acak Kontinu]
Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai ,
x X
F x
f u du x R
−∞
= ∈
∫
dengan :
[0, f R
→ ∞
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak.
Grimmet Stirzaker, 1992
Definisi 2.2.8 [ Nilai Harapan ]
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f
X
x , maka
nilai harapan dari X adalah : E[X] =
∫
∞ ∞
−
x f
X
x dx
Hogg dan Craig, 1995
2.3 Beberapa Fungsi Penduga Bentuk Sebaran Kelahiran Umur Tertentu
Fungsi angka kelahiran mempunyai dua bagian penting yaitu kelahiran total dan intensitas kelahiran yang dinyatakan sebagai berikut :
hu;
θ
=
θ
1
f u;
θ
2
,....,
θ
r
dengan u mewakili umur, fu;
θ
2
,....,
θ
r
merupakan fungsi yang digunakan untuk mewakili kelahiran umur tertentu,
θ
1
mewakili angka kelahiran total. Berikut akan dijelaskan lima fungsi yang biasa digunakan untuk menduga bentuk
sebaran kelahiran umur tertentu yaitu Hadwiger, Gamma, Beta, Gompetz, Coale-Trussell. Kelima fungsi tersebut dipilih karena memenuhi sifat ASFR yaitu menaik kemudian
sedikit menurun dan akhirnya menurun.
2.3.1 Fungsi Hadwiger
Misalkan U peubah acak umur wanita yang melahirkan anak. Peubah acak U menyebar Hadwiger dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
4
fu =
π β
α
u
β
2 3
2
2
− +
− β
β α
u u
e
, dengan nilai tengah
β
.
2.3.2 Fungsi Gamma
Misalkan U peubah acak umur wanita yang melahirkan anak. Peubah acak U menyebar Gamma dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
f u =
− −
− Γ
−
β β
α
α α
m u
m u
exp 1
1
dengan u m. Nilai m sebagai umur paling muda menikah,untuk model ini m=14, dan
du e
u
u −
∞ −
∫
= Γ
1 α
α
, dengan nilai tengah
αβ
+ m
.
2.3.3 Fungsi Beta
Misalkan U peubah acak umur wanita yang melahirkan anak. Peubah acak U menyebar Beta dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
] ,
[ 1
1 1
1
β α
β α
B a
b a
b a
u a
b a
u u
f
− −
−
−
−
− −
− −
=
dengan a u b .
Parameter
a
dan b masing-masing menerangkan umur terendah dan tertinggi melahirkan anak. Model ini menggunakan a =15 , b = 50, dan
∫
− −
− =
1 1
1
1 ,
du u
u B
β α
β α
, dengan nilai tengah
β α
β α
+ +
a b
2.3.4 Fungsi Gompertz
Misalkan U peubah acak umur wanita yang melahirkan anak. Peubah acak U menyebar Gompertz dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
fu =
α β
exp
− −
− −
−
α β
α
m u
m u
exp dengan u m.
Nilai m sebagai umur paling muda menikah, digunakan m=14, dengan nilai tengah
1 ln
Ψ −
+ α
β α
m
2.3.5 Fungsi Coale-Trussell
Sesuai dengan norma agama dan norma sosial, kelahiran akan terjadi setelah pernikahan, sehingga rata-rata kelahiran menurut umur pada wanita dapat dinyatakan
sebagai perkalian antara proporsi wanita telah menikah dengan ASMFR. ASMFR menyatakan tingkat kelahiran bagi wanita yang telah menikah. Gambaran pola kelahiran
bagi wanita yang menikah telah diteliti oleh Coale dan Trussell pada tahun 1971. Beliau menyatakan bahwa tingkat kelahiran bagi wanita telah menikah dapat diuraikan menjadi
r u; M,
β
= M nu exp [
β
vu] dengan M menyatakan koefisien tingkat kelahiran alami,
β
menyatakan koefisien tingkat perilaku hentian, nu menyatakan standar tingkat kelahiran alami umur u, dan vu menyatakan standar tingkat perilaku hentian bagi wanita
kelompok umur u. Fungsi kontinu dari nu dan vu berdasarkan penelitian Hadi S. tahun 2003 dapat dinyatakan sebagai berikut :
−
− −
= u
u u
n 02
, 77
, 14
88 ,
29 exp
89 ,
4
−
−
= 21
, 15
30 exp
30 439
,
4 ,
7 4
, 6
u u
u v
Selain hal di atas Coale bersama McNeil menemukan model standar bagi pola sebaran umur perkawinan yaitu
cu =
α
19465 .
exp[- ]
06 .
6 2881
. exp
06 .
6 174
.
α α
α α
− −
− −
− −
u u
u u
Dari hal tersebut di atas maka fungsi kelahiran menurut umur adalah sebagai berikut: fu;
β
, M = Cu ru; M,
β
dengan ru; M,
β
= M nu exp [
β
vu] dan Cu =
∫
u
dx x
c .
cu =
α
19465 .
exp[- ]
06 .
6 2881
. exp
06 .
6 174
.
α α
α α
− −
− −
− −
u u
u u
PolyGamma[n,z] adalah turunan logaritma dari fungsi gamma dan PolyGamma[n,z]=
n n
n
dz z
d z
Ψ =
Ψ dengan
z dz
d z
Γ =
Ψ log
.
2.4 Metode Kemungkinan Maksimum
