KOMPUTASI SPL

Bab IV KOMPUTASI SPL

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum Sistem Persamaan Linear, diharapkan mahasiswa dapat: 1. menentukan penyelesaian SistemPersamaan Linear dengan operasi baris elementer 2. menentukan invers suatu matriks menggunakan operasi baris elementer

3. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan invers matriks koefisien dan matriks konstanta ruas kanan 4. menentukan penyelesaian beberapa sistem persamaan linear dengan matriks koefisien sama. 5. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Cramer

4.1 Persamaan Linear

Persamaan Linear dalam n variabel x 1 , x 2 ,..., x n dapat dinyatakan dalam bentuk :

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n =b dengan a 1 , a 2 ,..., a n dan b adalah konstanta-konstanta real.

Penyelesaian persamaan linear a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b adalah barisan n bilangan s 1 , s 2 ,..., s n sehingga persamaan dipenuhi jika dilakukan substitusi x 1 = s 1 , x 2 = s 2 ,..., x n = s n .

 Contoh 4.1 1. 4 x - 2 y = 1

2. x 1 -4 x 2 +7 x 3 =5

Penyelesaian persamaan linear no.1 adalah x = t dan y = 2t - 1/2 , yaitu tak hingga banyak penyelesaian tergantung pemberian nilai t. Misalkan t = 3, menghasilkan x = 3, y = 11/2 , dan misalkan t = - 1/2, menghasilkan x = - 1/2 dan y = - 3/2.

4.2 Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear (SPL) atau Sistem Linear adalah himpunan berhingga persamaan linear.

Penyelesaian SPL dalam variabel x 1 , x 2 ,..., x n adalah barisan n bilangan s 1 , s 2 ,..., s n yang

04 SPL 2013.nb

persamaan linear.

2. SPL : 2 x 1 +2 x 2 +2 x 3 =0 -2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 =1 8 x 1 + x 2 +4 x 3 = -1

mempunyai penyelesaian x 1 = - 1/7 - 3/7 x 3 , x 2 = 1/7 - 4/7 x 3 , yaitu ada tak hingga banyak

penyelesaian tergantung pemberian nilai untuk x 3 .

3. SPL : x + y = 4 2x + 2y = 6 tak mempunyai penyelesaian, sebab jika persamaan yang bawah dikalikan dengan 1/2, diperoleh persamaan yang kontradiksi dengan persamaan yang atas.

Secara umum, SPL dapat : 1. mempunyai penyelesaian tunggal (contoh 1) 2. mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (contoh 2) 3. tidak mempunyai penyelesaian (contoh 3)

Bentuk umum Sistem m persamaan linear dalam n variabel x 1 , x 2 ,..., x n adalah :

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 n x n = b 2

a m1 x 1 + a m2 x 2 +. . . + a mn x n = b m

Matriks diperbesar (a ugmented matrix ) dari SPL tersebut adalah matriks yang elemen-elemennya

adalah koefisien-koefisien a ij dan b i , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n .

 Contoh 4.3 SPL : x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

mempunyai matriks diperbesar

 4.2.1 Operasi Baris Elementer (OBE)

Untuk menyelesaikan SPL (menentukan penyelesaian SPL), dilakukan dengan mengganti sistem dengan sistem lain yang mempunyai penyelesaian sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Sistem yang

04 SPL 2013.nb

"Operasi Baris Elementer (OBE)", yaitu : 1. mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol 2. mempertukarkan antara 2 baris 3. menambahkan perkalian suatu baris ke baris lainnya.

 Eliminasi Gauss-Jordan (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) Berikut ini dijelaskan penyelesaian SPL menggunakan operasi baris elementer sehingga

diperoleh matriks berbentuk eselon baris tereduksi. Metode penyelesaian ini disebut metode eliminasi Gauss-Jordan.

 Contoh 4.4 Untuk menyelesaikan SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

yang mempunyai matriks diperbesar

A=

, dilakukan sederetan langkah OBE

sebagai berikut:

1. tambahkan (-2) x baris 1 ke baris 2, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A = 112

Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

1129 A

A 2  2 A1  A2; A  MatrixForm 112

2. tambahkan (-3) x baris 1 ke baris ke 3, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A = 112

Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

A 3  3A1  A3; A  MatrixForm 112

3. kalikan baris ke 2 dengan konstanta 1 2 , diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A = 112

04 SPL 2013.nb

A2  12A2; A  MatrixForm 112

4. tambahkan (-3) x baris 2 ke baris 3, diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A = 112

Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut: A3  3A2  A3; A  MatrixForm

112 9 5. kalikan baris 3 dengan konstanta -2, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

001 3 Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

A 3  2A3; A  MatrixForm 11 10 35

6. tambahkan (-1) x baris 2 ke baris ke 1, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A = 7  01 17

001 3 Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

A1  1A2  A1; A  MatrixForm

7. tambahkan (- 7 2 ) x baris 3 ke baris 1 dan juga tambahkan ( 2 ) x baris 3 ke baris 2, diperoleh matriks ekuivalen,

1001 yaitu A = 0102 . Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

11 7 A1    A 3  A1; A2   A 3  A2;

A  MatrixForm Dari matriks bentuk terakhir, diperoleh penyelesaian: x = 1 , y = 2 dan z = 3 (merupakan penyelesa-

ian tunggal).

Bentuk matriks A yang terakhir diperoleh, disebut bentuk eselon baris tereduksi ( reduced row- echelon ).

Sederetan OBE yang dilakukan untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi, disebut eliminasi

Gauss-Jordan.

04 SPL 2013.nb

1129 A  RowReduce

2 4 3 1 ; A  MatrixForm 3 6 5 0

Ada beberapa fungsi built-in dalam Mathematica yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL, diantaranya adalah:

1. Menggunakan perintah Solve, kemudian di dalam kurung siku isikan perkalian matriks koefisien ruas kiri SPL dengan matriks kolom variabelnya, lalu diikuti tanda = = dan matriks koefisien ruas kanan SPL, selanjutnya diikuti variabel-variabel yang akan ditentukan nilainya dalam kurung kurawal. Dari Contoh 2.2 no.1:

x  1, y  2, z  3 2. Menggunakan perintah LinearSolve, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks koefisien ruas

kiri SPL, diikuti tanda koma dan matriks koefisien ruas kanan SPL. Dari Contoh 2.2 no.1:

3 6 5 1, 2, 3 Pertanyaan selanjutnya, apa perbedaan hasil dari kedua perintah tersebut ?

Sekarang diperhatikan penggunaan kedua perintah tersebut untuk Contoh 2.2 no.2 222

Solve   252 . y  1 , x, y, z

Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. More… 1 3z

1 4z

x    ,y

222 LinearSolve  252 ,

04 SPL 2013.nb

J  RowReduce  2521 ; J  MatrixForm

0000 Apa yang dapat saudara simpulkan dengan penggunaan kedua perintah tersebut ?

LATIHAN: Selesaikan SPL berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (OBE). ............................(2 POIN)

2x + y - z = 2 x + 2y + z =7 - x + 2y + 2z = 6

Jawaban: x=2, y=1, z=3

 4.2.2 Menentukan invers matriks menggunakan OBE

Selain menggunakan matriks adjoint, invers suatu matriks juga dapat ditentukan menggunakan operasi baris elementer. Misalkan akan ditentukan invers matriks A yang berukuran n x n. Langkah yang dilakukan adalah

mengubah bentuk matriks [ A n | I n 1 ] ke bentuk matriks [ I n  | A ]. Jadi menggunakan operasi baris elementer, matriks A n yang berada di sebelah kiri matriks identitas direduksi sampai diperoleh bentuk matriks identitas, yang berakibat di bagian kanan

matriks identitas tersebut adalah matriks  1 A .

 Contoh 4.5

Akan ditentukan invers matriks A = 253

Bentuk matriks [ A n | I n ] nya adalah 253010 . 108001

Langkah-langkah yang dilakukan adalah : 1. tambahkan -2 x baris 1 ke baris 2 dan juga -1 x baris 1 ke baris 3, akan didapat matriks

123100 AI  253010 ; 108001

04 SPL 2013.nb

100 2. tambahkan 2 x baris 2 ke baris 3, akan didapat matriks

AI3  2AI2  AI3; AI  MatrixForm 123

123 1 0 0 3. kalikan baris 3 dengan konstanta -1, akan diperoleh matriks

5 2 1 AI3  1AI3; AI  MatrixForm 123

5 2 1 4. tambahkan 3 x baris 3 ke baris 2 dan juga -3 x baris 3 ke baris 1.

AI2  3AI3  AI2; AI1  3AI3  AI1; AI  MatrixForm

5 2 1 5. tambahkan -2 x baris 2 ke baris 1

AI1  2AI2  AI1; AI  MatrixForm 1 0 0 40 16 9

Akhirnya matriks A n sudah direduksi menjadi matriks I n dan di sebelah kanan matriks I n adalah  matriks 1 A , yaitu

  1 40 16 9 A =

Sekarang dicek menggunakan perintah di Mathematica ,

123 A 253 ; 108

IA  Inverse A; IA  MatrixForm 

04 SPL 2013.nb

164100 BI 

BI2  2BI1  BI2; BI3  1BI1  BI3; BI  MatrixForm BI 2  18BI2; BI  MatrixForm BI3  8BI2  BI3; BI1  6BI2  BI1;

BI  MatrixForm Ternyata di bagian kiri tidak diperoleh matriks identitas, tetapi didapat matriks dengan baris

terdiri elemen 0 semua. Ini berarti matriks B tidak mempunyai invers. Dicek menggunakan perintah dalam Mathematica ,

164 B

InverseB Inverse::sing : Matrix 1, 6, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 5 is singular. More… Inverse 1, 6, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 5 Dikatakan bahwa matriks B singular, yaitu | B | = 0. Dicek menggunakan perintah dalam

Mathematica , Det B

LATIHAN: Tentukan invers matriks berikut menggunakan OBE. ................................(2 POIN) 2 1 1 123  142

 4.2.3 Menentukan Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks Koefisien dan Matriks Konstanta Ruas Kanan Yang lalu sudah diterangkan bahwa SPL dapat dituliskan dalam bentuk matriks AX = B, dengan A =

matriks koefisien ruas kiri, X = matriks kolom variabel-variabelnya dan B = matriks konstanta ruas kanan.

Jika matriks A mempunyai invers, maka penyelesaian SPL dapat ditentukan dengan X =  1 A .B  Contoh 4.7 Akan ditentukan penyelesaian SPL :

x 1 +2 x 2 +3 x 3 =5 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 =3 x 1 x +8 3 =17

123 x 1 SPL tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan A =

253 ,X= x 2 dan B =

04 SPL 2013.nb

inA  InverseA; inA  MatrixForm Selanjutnya untuk menentukan penyelesaian SPL, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut

X  inA.B; X  MatrixForm

Diperoleh penyelesaian: x 1 = 1, x 2 = -1 dan x 3 = 2.

 4.2.4 Beberapa SPL dengan Matriks Koefisien Sama

Jika ada beberapa SPL : A X 1 = B 1 ,A X 2 = B 2 ,...,A X k = B k dengan matriks koefisien A yang sama, maka jika ditentukan penyelesaiannya menggunakan cara pada sub bab di atas yaitu

1 , X 2 = A B 2 ,..., X k = A B k , diperlukan 1 kali operasi penentuan invers dan k kali operasi perkalian matriks. Metode lain yang lebih efisien dilakukan adalah dengan menggunakan OBE mengubah matriks [ A | B 1 | B 2 |...| B k ] ke matriks [ I | X 1 | X 2 |...| X k ]

 Contoh 4.8 Akan ditentukan penyelesaian dari 2 SPL berikut : a). x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 4 dan b)

Matriks [ A | B 1 | B 2 ] adalah

12341 AB  25356 ; 1 0 8 9 6

Langkah-langkah OBE yang dilakukan adalah : AB2  2AB1  AB2; AB3  1AB1  AB3;

AB  MatrixForm 12 3 4 1

5 7 AB1  2AB2  AB1; AB3  2AB2  AB3; AB  MatrixForm

AB3  1AB3; AB  MatrixForm 1 0 9 10 7

04 SPL 2013.nb

AB1  9AB3  AB1; AB2  3AB3  AB2; AB  MatrixForm 10012

Diperoleh matriks [ I | X 1 | X 2 ], yaitu penyelesaian SPL a) adalah x 1 =1, x 2 = 0 dan x 3 =1 b) adalah x 1 =2, x 2 = 1 dan x 3 = -1

4.3 Menyelesaikan SPL dengan Cara Cramer

Untuk menyelesaikan SPL dengan cara Cramer, harus dipenuhi syarat-syarat berikut: 1. Misal A adalah matriks koefisien ruas kiri dari SPL, disyaratkan | A |  0 2. Matriks A harus berupa matriks bujur sangkar, yaitu banyak baris = banyak kolom.

Jika SPL terdiri dari n persamaan linear dalam n variabel x 1 , x 2 ,..., x n , maka A berukuran n x n. A Penyelesaiannya adalah i x

i = A , dengan A i = matriks A dengan kolom i diganti konstanta ruas kanan SPL  Contoh 4.9 Misalkan akan ditentukan penyelesaian SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

Clear A, A1, A2, A3 112

DetA1 x DetA

DetA2 y DetA

DetA3 z

DetA Diperoleh penyelesaian SPL : x = 1 , y = 2 , z = 3.

4.4 Contoh Aplikasi

Berikut ini diberikan contoh dari kasus nyata sebagai berikut :

04 SPL 2013.nb

Untuk mendapatkan hasil yang optimal, pabrik mengharuskan karyawannya menggunakan seluruh jam yang disediakan. Berapa banyak monitor masing-masing model yang dihasilkan dalam sehari ?

Penyelesaian:

Untuk menjawab permasalahan tersebut di atas, diidentifikasi lebih dahulu variabel-variabel yang digunakan. Misal x = banyaknya monitor model A

y = banyaknya monitor model B Selanjutnya nanti akan ditentukan nilai untuk x dan y. Dibuat sistem persamaan linear yang disusun dari masalah di atas, sebagai berikut:

Di unit kerja I: untuk mengerjakan model A perlu waktu 2 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 2 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 18 jam. Jadi diperoleh persamaan linear I : 2x + 2y = 18.

Di unit kerja II: untuk mengerjakan model A perlu waktu 3 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 1 jam , sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 17 jam. Jadi diperoleh persamaan linear II : 3x + y = 17.

Di unit kerja III: untuk mengerjakan model A perlu waktu 1 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 3 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 19 jam. Jadi diperoleh persamaan linear III : x + 3y = 19

Tiga persamaan linear tersebut membentuk suatu sistem persamaan linear (SPL), yang selanjutnya diselesaikan untuk menentukan nilai-nilai x dan y nya.

x Solve  31 .

Apakah masalah tersebut dapat diselesaikan dengan cara Cramer ? Jelaskan ! Coba kalau diselesaikan dengan OBE, apa yang diperoleh ?

Latihan 4.1 1. Diketahui SPL : - x - 2y - 3z = 0

w + x + 4y + 4z = 7 w + 3x + 7y + 9z = 4 -w - 2x - 4y - 6z = 6

Tentukan penyelesaian SPL tersebut menggunakan:

04 SPL 2013.nb

Selanjutnya ceklah hasil masing-masing menggunakan perintah Solve dan LinearSolve.