Matematika komputasi maspeb.com

DIII TEKNIK INFORM ATIKA

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB

Hartatik,M .Si dan Tim

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

BAB I PENGENALAN PAKET PROGRAM KOMPUTASI MATHEMATIKA # TUJUAN#

KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

a. Diharapkan mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik

b. Dapat memberikan informasi berdasarkan permasalahan yang ada, tidak hanya output berupa angka

data- - komputasi - - informasi[not number]

1.1 MENGENAL MATHEMATICA

mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan.

sistem matematica terdiri atas 2 bagian :

1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook.

2. kernel: komputasi matematiknya

dalam bab ini akan dibahas tentang :

1. mengenal lingkungan kerja

2. aturan dasar syntak mathematica

3. kalkulasi numerik

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.2 Memulai Program Komputasi (Mathematica dan Matlab)

 Cara memulai mathematica:

1. double klik ikon front end mathematica dan kernel akan secara otomatis akan bekerja pada background window mathematica.

2. pada lingkungan kerja windows mathematica terlihat bagian notebook yang terpisah dari baris menu.

3. bagian sel yang dicetak tebal merupakan "input", hasilnya ditampilkan pada sel "output".

4. nomor input dan output dinyatakan dengan ln[n] dan out[n], dengan n adalah bilangan bulat positif

5. kedua lambang "in dan out" disembunyikan melalui kernel --> show In/Out Names

6. Mathematica juga menyediakan banyak pallete yang memudahkan dalam penulisan operasi operasi, yaitu cukup hanya mengklik tombol tombol yang diperlukan. Pallete

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.3 Bekerja dengan mathematica

1.3.1 aturan dasar syntaks mathematica.

1. nama nama fungsi built in mathematica dimulai dengan huruf besar, tanpa spasi dan tanpa underscore"_". Jika suatu fungsi terdiri dari 2 kata atau lebih, huruf pertama masing masing kata menggunakan huruf kapital. dapat pula didefinisikan fungsi baru yang sebaiknya dimulai dengan huruf kecil untuk membedakan dengan fungsi built in.

contoh fungsi built-in : Log, ParametricPlot contoh fungsi baru : MySqrt, myStandartDeviation

2. perintah matemathica bersifat sensitif , sineSINEsin

3. tanda kurung siku [...] menyatakan argumen fungsi, (..) menyatakan pengelompokan operasi.Kurung kurawal {..} menyatakan list, domain, atau iterator.kurung siku ganda [[...]] menyatakan indeks suatu list.

argumen fungsi : Sin[x], f[x]

pengelompokan : (x-1)^10-Log[(2x+3)/(x+4)]

list : List1={1,3,5,7}

domain : Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]

iterator : Sum[i^3, {i, 1,n}]

indeks : List1[[3]], menghasilkan "5"

Berikut ilustrasi penggunaannya:

Fungsi Love…

4. operator aritmatik:

pangkat

*atau spasi

kali

bagi

tambah

kurang

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

keterangan:

a. penambahan atau pengurangan : memiliki preseden lebih rendah dari pada perkalian yang juga memiliki preseden lebih rendah dari pangkat

b. perkalian yang diawali simbol selain angka harus menggunakan notasi : spasi atau *

c. perkalian angka dan simbul dapat menggunakan simbil spasi, * atau tanpa spasi

contoh1: benar : c u, c*u, 4 u, 4u, 4*u, 4(u) [praktekkan] (X) salah : cu, u2

1.3.2 memasukkan dan mengevaluasi input

setelah menuliskan perintah atau operasi pada sel, tekan shift dan enter lalu lepas bersama sama. cara yang lebih ringkas adalah dengan tekan enter di bagian numerik. karena didalam sel notebook, enter hanya berfungsi sebagai pemindah kursor.

Contoh 2:

BAGAIM ANA

HASILNYA?

 Sin[Pi/3]

COBA ANDA

 Sin[Pi/2]

JELASKAN

salah penulisan:

Sin [pi/3]

pi Sin  

sin[Pi/3]

General :: spell1  :  Possible spelling error : new sym  sin  

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Latihan1: cari penyelesaian, untuk x=pi:

a. cos 5x

b. tan 2x

c. cos 5x+tan 2x

MENGGAMBAR GRAFIK:

 Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];  Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Plot[Sin[3x],{x,0,2Pi}];

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 -0.5 -0.5

Untuk beberapa fungsi matematika bisa dituliskan dalam satu perintah saja, yaitu:

 Sin   , Sin   , Sin   , Sin   , Sin   , Sin  

1.3.3 mengacu ke hasil sebelumnya

Mathematica mampu mengingat semua input dan output pada suatu sesi.untuk mengacu ke hasil sebelumnya, dapat digunakan tanda persen (%). tanda persen tunggal mengacu ke output trakhir, tanda %% mengacu ke output kedua terakhir, out[n] : mengacu ke out[ke-n]. Sebagai contoh: Misalkan bahwa contoh 3, berikut ini adalah outpt terakhir,

 Sin   , Sin   , Sin   , Sin   , Sin   , Sin  

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Maka apabila kita ketikkan % maka akan terlihat nilai berikut:

LAKUKAN :

1.3.4 Bekerja di dalam notebook

Mathematica notebook dapat digunakan sebagai lembar kerja untuk memasukkan input komputasi maupun pengolah kata. sebuah notebook memiliki grup grup sel yang berdiri sendiri maupun sebuah hirarki. sebuah grup sel input mislanya, merupakan tempat masukan komputasi dan hasilnya muncul pada grup sel output.

Sebuah dokumen dapat pula diorganisasikan ke dalam title, subtitle, subsubtitle, section,

subsection, sub subsection.

keseluruhan grup dapat dipilih melalui menu : format--> style

contoh 4:

nama mahasiswa

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

contoh 5:

I.KOMPUTASI MATEMATIKA

1.1 pendahuluan

mempelajari tentang aturan penulisan

1.1.3 BEBERAPA FUNGSI MATEMATIKA

Mathematica memiliki fungsi yang sangat banyak . gambar 1.7 adalah beberapa fungsi di dapal matematika

Two important points about functions in Mathematica.  Sangatlah penting untuk selalu ingat bahwa dalam mathematica setiap instruksi harus di dalam bracket atau [ ]  Parentheses in Mathematica are used only to indicate the grouping of terms, and never to give function arguments.

contoh 6:

Log[8,4]

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

LAKUKAN JUGA UNTUK LATIHAN DI BAWAH INI

 Sqrt[16]  Sqrt[5]

 Sqrt[5] //N The presence of an explicit decimal point tells Mathematica to give an approximate numerical

|HITUNG nilai 3029...1. Computing factorials like this can give you very large numbers. You should be able to calculate up to at least 2000! in a short time (Wowww…)

Nilai ini bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih simple/numeric.

30! //N

N[30!]

Beberapa nilai penting dalam matematika:

Contoh penggunaan :

Sin[20 Degree] //N

1.4 PENULISAN EKSPRESI

1.4.1 SIMBUL

a.Simbul dituliskan dengan: guruf, rangkaian huruf-angka, karakter, lambang tertentu

b. Semua simbul di awali dengan huruf besar atau diawali dengan $

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.4.2 BILANGAN

Secara umum ada 4 macam bilangan :

a. integer

b. Real

c. Rasional

d. Complex

Contoh 7 :

Head 1   1, 1.0, ,1  

{Integer,Real,Rational,Complex}

Head 1   1, 1.0, ,1   ;

Tanpa perintah tertentu pula, matematika akan secara otomatis mengevaluasi ekspresi bilangan bulat, rasional, dan kompleks secara eksak.

Contoh 8: NUMERIK"N"

evaluasi hasil secara numerik, yang merupakan hampiran dari ekspresi tersebut.

Contoh 9:

N  3  1.73205

3  N 1.73205

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Contoh 10:

1. apabila tanda "" tidak ditampilkan dalam tampilan

"Praktikum Komputasi Matematika"

Praktikum Komputasi Matematika

2. Apabila "" ditampilkan dalam rangkaian kalimat

"\"Praktikum Komputasi Matematika\""

"Praktikum Komputasi Matematika"

Kustomisasi text pada notebook: Colors[%,RGBColor[1,0,0]]

1.4.4 PENGISIAN EKSPRESI

a  4; b   a

a  4; b   a

3a+b

1.4.5 PENGGABUNGAN EKSPRESI (Pembuatan Variabel)

dalam penggabungan ekspresi bisa dituliskan dengan kebawah dalam satu group atau kesamping dengan pemisahan tanda kutip.

Contoh 11:

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.4.6 EVALUASI EKSPRESI

ekspresi dievaluasi bisa juga dnegan menggunakan : "/."

Contoh 12 : ekspresix 2  x  1,

ingindievaluasi denganx 2

1.5 OPERATOR

1.5.1 operator ARITMATIKA

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.5.6 Relational and Logical Operators

contoh:

True

COBA LAKUKAN UNTUK :

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.2. MATLAB

1.2.1. Mengenal Matlab

Matlab adalah bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk komputasi teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab memberikan sistem interaktif yang menggunakan konsep array/matrik sebagai standar variabel elemennya tanpa membutuhkan pen-deklarasi-an array seperti pada bahasa lainnya. Dalam lingkungan pendidikan, Matlab menjadi alat pemrograman standar bidang Matematika.

1.2.2. Bekerja dengan Matlab

Dalam melakukan pekerjaan pemrograman menggunakan bahasa Matlab, anda dapat menggunakan salah satu cara yaitu :

Cara #1 :

Dengan menggunakan window Command Window. Window ini berfungsi sebagai penerima perintah dari pemakai untuk menjalankan seluruh fungsi-fungsi yang disediakan oleh Matlab.Misalnya : Untuk membuat program, perintah-perintah diketikkan pada prompt Matlab dalam command window seperti yang ditunjukkan pada Gambar (1.1).

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Gambar 1.2 Cara Penulisan pada Command W indow

Cara #2 :

Cara selanjutnya adalah dengan menggunakan File M. Kelebihan cara ini dibanding cara sebelumnya adalah kemudahan untuk mengevaluasi perintah secara keseluruhan. Gambar (1.2) menunjukkan contoh pembuatan program dengan menggunakan file M.

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

1.2.3. Sintak dasar Matlab Beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak adalah : 1.1.Penamaan variabel bersifat case sensitive

1.2.Panjang nama variabel tidak dapat melebihi 31 karakter 1.3.Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf.

1. Variabel

Pada Matlab, tipe data yang dikenal hanya ada dua yaitu Numeric dan String. Ada beberapa cara penulisan variabel pada Matlab yang dapat digunakan sesuai jenis data yang ingin diolah, yaitu :

1. Data Numerik Tunggal :

1.1.1. Cara penulisan

Gambar 1.4. Tampilan penulisan variable data numeric tunggal

2. Data Numerik Berdimensi Banyak (Array/Matrik)

1.1.1. Cara penulisan

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Gambar 1.5. Tampilan penulisan variable data numeric berdimensi

banyak

1.1.2. Cara pengaksesan

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

Gambar 1.7. Tampilan pengaksesan elemen baris tertentu

Task :

1.1.2.1. Bagaimana pengaksesan dengan kolom tertentu?? Let’s try!

1.1.2.2. Bagaimana mengakses untuk baris dan kolom sekaligus?

3. Data String/Teks :

1.1.1. Cara penulisan

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

2. Operasi Matematika

Operasi matematika dalam pemrograman Matlab sangat sederhana, sama halnya dengan memakai kalkulator biasa. Berikut adalah tabel operator matematika yang digunakan dalam pemrograman Matlab.

Gambar 1.9. Contoh operasi matematika

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

3. Operasi Bilangan Kompleks Kelebihan lain dari pemrograman Matlab adalah kemampuannya dalam mengolah data bilangan kompleks tanpa membutuhkan deklarasi variabel khusus untuk itu. Berikut adalah cara mendeklarasikan variabel untuk bilangan kompleks.

Gambar 1.11. Contoh operasi bilangan kompleks

4. Fungsi Umum Matematika Tabel () menunjukkan fungsi-fungsi matematika umum yang sering digunakan.

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB Hart at ik,M .Si dan Tim

soa l la t ih a n a wa l:

1. tuliskan Text sesuai tulisan dibawah ini:

KOMPUTASI MATHEMATIKA

Mata Kuliah Komputasi Matematika menggunakan "Software Mathematica versi 5". Dimana dengan software ini saya akan lebih bisa memahami mata kuliah sebelumnya serta mata Kuliah yang berhubungan dengan Mk ini.

Dibuat oleh : Nama mahasiswa dan NIM

2. BUATKAN PLOT(dengan matematica dan matlab) :

a. sin 2x, untuk x dari - π sampai π

b. sin x, untuk x dari - π sampai π

3. gunakan operator logika untuk soal berikut, dan selidiki kebenarannya

a. 4 2  5  1 dan 4  2

b  .10  5 atau 5.6  40

4. Definisikan fungsi berikut: 

f  x  x  2  x 

10, tentukan f   5  dan f   4 

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

BAB II KALKULUS

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasi- operasi hitung yang berkaitan dengan kalkulus dengan menggunakan paket program matematica dan matlab dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk operasi hitung yang lebih kompleks.

kompetensi :

2.1Fungsi 2.2฀Grafikfungsi 2.3Limit 2.4฀Kekontinuan 2.5TurunanFungsi 2.6Integral 2.7ContohAplikasi 2.8LatianSoal

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.1 Fungsi

2.1.1 Pendefinisian Fungsi : = (SetDelay)

Lambang " : = " (SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi saat pendefini-sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f) dipanggil.

Contoh: Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya

f 3  x_  :  x

f   1  = ( Set )

Contoh:

   f 2 x_ x  2  x

Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ?

Clear

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Contoh: Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin sudah pernah didefinisikan sebelumnya.

Clear[f,x] f[x_]:=2x+3 f[a+b] f[1] / ; (Condition)

Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi. Contoh: Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya.

f[x_]:=x/;0฀x<1 f[x_]:=1/;1฀x<2 f[x_]:=3-x/;2฀x฀3 Plot[f[x],{x,0,3}]

2.1.2 Fungsi Matematik

Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.

Sqrt [ x ]

: akar kuadrat (

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri ( argumen dalam radian) Round [ x ]

: bilangan bulat terdekat ke x

Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ... Floor [ x ]

: bilangan bulat terbesar yang ฀ x

Ceiling [ x ]

: bilangan bulat terkecil yang ฀ x

2.1.3 Penyelesaian Persamaan

Mathematica menggunakan tanda " ==" (Equal) pada persamaan yang akan dicari penyelesaiannya. Contoh-contoh:

Solve[x^2฀9,x] Solve[Sin[x]฀1,x] NSolve[x^2฀10,x] NSolve[x^2+x-2฀0,x]

Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?

Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua cara berikut:

Solve[{x฀1+2y,y฀3+2x},{x,y}]

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.2 Grafik Fungsi

2.2.1 Grafik Dua Dimensi

2.2.1.1 Plot

Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan perintah Plot. Perintah berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain (

Plot  f  x  ,  x, x min ,x max 

Contoh:

Contoh: Grafik fungsi f(x) = dengan domain -1฀x฀1.

Plot  2 x ,  x,  1, 1  Grafik 2 fungsi pada domain yang sama.

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-฀,฀}]

2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan Opsi Grafik

Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan opsi tertentu. Setiap opsi dituliskan dalam sintaks:

Nama Option ฀ nilai

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Contoh: Grafik f(x) = dengan domain -1฀x฀1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan juga interval tampilan x ฀ (-2, 2) dan y ฀ (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut, berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, GridLines, Frame,dan PlotRange.

2 Plot 2  x ,  x,  1, 1  , PlotLabel  "Grafik f  x   x ", GridLines  Automatic, Frame  True, PlotRange    2, 2  ,   1, 2 

Gaya Tampilan Grafik

Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle. Dengan opsi ini, dapat diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[ . . . ]), ketebalan garis (Thickness[ . . . ]), dll.

Contoh: Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik cos(x) ditampilkan dengan garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua grafik tersebut ditampilkan pada domain -3 ฀ x ฀ 3.

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,3,3},PlotStyle฀{Thickness[0.01], Dashing[{0.02}]}];

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0 hingga 1.

Contoh: Grafik , - , dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau.

Plot[{x^2,x^2,x},{x,3,3},PlotStyle฀{RGBColor[1,0,1],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0 ]}];

2.2.2 Grafik Tiga Dimensi

Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga menggunakan Plot3D. Argumennya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing domainnya. Contoh:

Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin( ) dengan domain -฀ ฀ x ฀ ฀ dan -฀ ฀ y ฀ ฀, dan meberikan label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.

Plot3D  Sin  x 2  y 2  ,  x,  ,   ,  y,  ,   , AxesLabel   "x", "y", "z"  LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...................(1 POIN)

2.3 Limit

2.3.1 Limit Fungsi

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Limit [ f , x ฀ ]

Contoh: Berikut ini plot fungsi

yang diberi warna merah dengan domain -2 ฀ x ฀ 2, kemudian ditentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x ฀ 0 dan x ฀ 1

Clear[f,x]

2     Plot  x 2 x 3,  x, 2, 2  , PlotStyle   RGBColor  1, 0, 0 

 Limit 2 x  2  x  3, x  0 

Limit 2  x  2  x  3, x 

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

Limit[f[x],x฀0] Limit[f[x],x฀1]

2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati dari arah bawah (kiri), x 0 digunakan sintaks:

Limit [ f , x ฀ , Direction ฀ 1] x 0

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Contoh: Fungsi f(x) = 1/x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati = 0 dari kiri maupun x 0 kanan.

Limit[1/x,x฀0,Direction฀1] Limit[1/x,x฀0,Direction฀-1]

Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut:

Plot[1/x,{x,-3,3}]

Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa kesimpulannya ?

Sekarang , jika fungsi f(x) = x  2  x  3 ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x mendekati 1, sebagai berikut:

Limit 2  x 

2  x  3, x  1, Direction  1 

2   Limit  x 2  x

3, x  1, Direction  1 

Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?

2.4 Kekontinuan

Dalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan tanpa terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai berikut.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika

f(x) = f(a).

Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang tidak terputus di sekitar a.

Contoh: Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2.

Clear[f] f[x_]:=Abs[x+2] x f[-2]

Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan limit kanannya.

Limit[f[x],x฀-2,Direction฀1] Limit[f[x],x฀-2,Direction฀-1]

lim Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan x 2 f(x) = 0. Dari

lim

hasil-hasil di atas, diperoleh x 2 f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu di x = -2. Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Definisi: Kekontinuan pada selang.

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap titik x ฀ (a, b).

2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b) dan

f(x) = f(a) serta lim xb f(x) = f(b).

 2 x  1

Contoh: Diketahui fungsi f(x) = x . Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga fungsi f kontinu.

Daerah definisi fungsi f, yaitu D f , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai

real, yang dipenuhi jika x + x -1฀0 .

Dengan menggunakan Mathematica , dipanggil dulu paket program InequalitySolve pada folder Algebra.

<<Algebra`InequalitySolve` InequalitySolve 

 1  0, x 

Diperoleh D f = (0,฀). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a ฀ (0,฀).

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x฀a.

Limit[f[x],x฀a]

Diperoleh lim xa

f(x) = = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ฀). Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ฀).

Plot[f[x],{x,0,10}]

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b......................( 4 POIN)

2.5 Turunan Fungsi

Untuk menentukan turunan suatu fungsi, Mathematica menyediakan perintah dengan D Contoh: x Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = + 2x - 1 terhadap variabel x 2

D  x  2  x  1, x  Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu

didefinisikan lebih dahulu.

Clear[f,x] 

f 2 x_  :  x  2  x  1

f'[x]

Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut:

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

t  t  2  t  Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x

, n}] Clear[f,x]

x_ 3  :  x  2  x  x

D[f[x],x] D[f[x],{x,2}]

2.6 Integral Fungsi

2.6.1 Integral Tak Tentu

Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , Mathematica menyediakan perintah dengan sintaks:

Integrate [ f , x ]

Selain itu, juga dapat mengklik simbul ฀฀฀฀ pada Palletes. Contoh:

Integrate  x  2  x  1, x 

 2 x  2  x  1   x

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

f  x_  :  x  2  x  1

Integrate[f[x],x] ฀f[x]฀x

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x , dengan batas bawah integral adalah xmin dan batas atas integral adalah xmax , digunakan sintaks:

Integrate [ f , {x , xmin , xmax }]

Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul

yang ada pada Palletes.

Integrate  3  2  x 2  x,  x, 0, 1 

   2 3 x  2  x  x

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b.......................(3 POIN)

2.7 Contoh Aplikasi

2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan

Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu tertentu t (tahun) dapat disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) = t 3  9  2  t 2  23  4  t  15  8 . Akan ditentukan waktu kapan hasil penjualan mencapai

maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek dengan menunjukkan grafik fungsinya.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f

trn1=D[f[t],t]

Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan cara menyelesaikan turunan pertama yang sama dengan nol

NSolve[trn1฀0,t]

Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan apakah titik-titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f. Kemudian titik-titik ekstrim tersebut disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang positif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum.

Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum.

trn2=D[f[t],{t,2}] 6t-9/.t฀0.92265

Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka titik t = 0.92265 adalah titik maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan tersebut adalah nilai fungsi pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut:

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t = 2.07735 adalah titik minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya adalah:

f[2.07735]

Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735 (tahun) Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya.

Plot[f[t],{t,0,3}]

2.7.2 Contoh Aplikasi Integral

Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi. Pada contoh ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik

2 fungsi y1 = - 2 dan y2 = - +6 pada domain fungsi -2 ฀ x ฀ 3. 2 x x

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1= -2 (dengan warna merah) , dan y2 = - +6 (dengan x 2 x 2 warna biru). Dengan perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2 akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggunakan perintah tersebut, perlu dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.

Solve  2 

x 2  x  6, x 

Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah antara kedua grafik pada -2 ฀ x ฀ 3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :

 2   2 x Luas daerah =  6    2 x  2   dx

2  x  2     2 x  6  +  dx

Dengan Mathematica , dilakukan sebagai berikut:

2 Integrate 2  x 6   x 2  ,  x, 2, 2  Integrate  x  2     x  6  ,  x, 2, 3 

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2 ฀ x ฀ 3 adalah 26 (satuan luas).

LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 .........(1 POIN)

2.1. Fungsi

2.2. Grafik Fungsi

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.2.1. Grafik Fungsi Dua Dimensi

(liat di file modul praktikum matlab 1, hal 19, teknik visualisasi data)

2.2.2. Grafik Tiga Dimensi

2.3. Limit

(liat contoh modul praktikum pemrograman 13) Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh,

>> syms x; >> f=x^3+3*x^2-4*x+10; >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf)

Hitunglah keluaran hasil dari fungsi limit tersebut! Jawaban :

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Latihan : Dapatkan hasil limit dari ungkapan berikut ini :

2.5. Turunan Fungsi (modul 1.doc)

>> syms x; >> y=x^3+2*x^2+6*x+7;

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Apa keluaran perhitungan differensial tersebut ?

z = 3*x^2+4*x+6 Merupakan turunan dari fungsi y.

Task :

1. Bagaimana turunan kedua dari fungsi y? Jawab :

z = 6*x+4 merupakan turunan kedua fungsi y.

Latihan :

1. Buatlah program differensial dengan menggunakan Matlab, gunakan dengan inputan.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Pada Matlab, untuk menentukan integral suatu fungsi dapat menggunakan fungsi inline dan fungsi quad. Fungsi inline digunakan untuk menampung fungsi integralnya, sedangkan fungsi quad digunakan untuk menghitung hasil nilai integralnya. Misalnya : Menentukan nilai integral dari fungsi …

Step 1 : Pada command window Matlab ketik :

1.1. Menampung fungsi dengan fungsi inline :

1.2. Menghitung nilai dengan fungsi quad :

→ (y,-1,2) artinya y = fungsi integral yang diroses, -1 = batas bawah dari integral, dan 2 = batas atas dari integral.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.8. Contoh Aplikasi

2.8.1. Contoh Aplikasi Turunan dengan Matlab. Latihan :

1. Jika 2 y= x .cos3x , maka tentukanlah turunan pertamanya.

2. Jika 2 ƒ(x)= 6 x − 4x+ 1 maka tentukanlah nilai dari f’ (2).

2.8.2. Contoh Aplikasi Integral

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.9. Contoh Aplikasi dengan Matlab

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.8 Soal-Soal Latihan

Kerjakan soal-soal berikut:

1. Definisikan fungsi f(x) = + 2 - 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2 - 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) =

4. Gambarkan grafik y1 = 2 + 4 dan grafik y2 = 6 - pada domain 0 ฀ x ฀ 2 , dengan y1 dan y2 masing-masing diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi".

5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x ฀ 1, kemudian gambarkan fungsinya untuk domain -2 ฀ x ฀ 5 :

a. f(x) = + 2x -1

b. f(x) =

6. Diketahui fungsi f(x) = . Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk x ฀ 3. Apa kesimpulan yang saudara peroleh ?

7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya.

a. f(x) = 4 - 2x + 12

b. f(x) = Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

c. h(x) =

(2x)

d. l(x) = sin ( cos 3x )

9. Tentukan nilai integral berikut:

10. Diketahui fungsi f(x) = -2 + 3

a. Tentukan titik-titik kritis f(x)

b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua)

11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum.

12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ?

13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = dan y = 2x - . Gambarkan bidang datar tersebut.

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10 tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun, dengan f(x) = 4000x + 1000.

a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ?

b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan tersebut kembali ?

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan.

Suatu perusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t  t 3  9 t 2 2  23 4 15 t 8. . akan ditentukan waktu kapan penjualan tertinggi dan terendah,

dan berapa keuntungan yg bisa diperoleh pada saat itu?

penyelesaian : berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum.

1. mendefiniskan fungsi f(x) 2. mennetukan turunan pertama dari f. 3. cari peyelesaian turunan pertama.

4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum dan sebaliknya)

maka :

Clear f, x ft_ : t 3

 t

trn1  Dft, t 23

 9t3t 2 4 23

NSolve  9t3t 2 , t 4 t  0.92265, t  2.07735 23

trn2  D  9t3t 2 , t 4  96t

maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :  96t . t  0.92265  3.4641  9  6 t . t  2.07735 3.4641

2 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

f0.92265 0.3849 f2.07735  0.3849

perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal,

2 tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1  x 2  2, y2  x  6, domain  2  x  3 penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2 2. tentukan titik potong kedua grafik

3.tentukan luas daerah maka :

Plotx 2  2, x 2  6, x, 2, 3, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling  1  2

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

Plotx 2  2, x 2  6, x, 2, 3, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling  1  2, Epilog  Blue, Text"y1x 2  2", 2.5, 5, Text"y2x 2  6", 2.5, 1, Red, Text"Luas I", 0, 2, Text"Luas II", 2.4, 2

Solvex^2  2  x^2  6, x x  2, x  2 maka luas

2 3 daerah : Luas I  Luas II yaitu  x^2  6  x^2  2 x   x^2  2  x^2  6 x  2 2

maka dengan mathematica:

2 LuasI   x^2  6  x^2  2 x  2

LuasII   x^2  2  x^2  6 x

luasdaerah  LuasI  LuasII 26 atau dengan cara langsung : Integratex^2  6  x^2  2, x, 2, 2  Integratex^2  2  x^2  6, x, 2, 3

26 jadi luasan daerahnya adlah : 26 satuan

4 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

PlotSinx, x, 0, 2 Pi, Filling  Axis, FillingStyle  Red

ListLinePlot1, 3, 2, 5, 2, Filling  Axis

Plotx 2  2, x 2  6, x, 2, 3, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling  1  2, Frame  True, FillingStyle  Orange

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

*** PEMROGRAMAN DENGAN MATHEMATICA(HOW TO SOLVE FUNCTION)

Clearp1, p2, d, e; HEADING PROGRAM

Print"" Print"program latihan 03" Print"mathematica programming" Print"solusi" Print""

MAIN PROGRAM p1  Input"persamaan 1:"; Print"pers1", p1 p2  Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2

d  Solvep1, p2, x, y; e  NSolvep1, p2, x, y;

hasilcetak PROGRAM Print"penyelesainnya adalah adalah:", d Print"penyelesainnya numerik adalah:", e

BAB III

MATRIKS DAN DETERMINAN

TUJUAN : KOMPETESNI :

3.1. list 3.2.matriks 3.2 .1 cara penulisan 3.2 .2 ukuran matriks 3.2 .3 matriks matriks khusus satuan, nol, diagonal, segitiga bawahatas

3.2 .4 operasi pada matriks penjumlahan, kesamaan dua matriks, perkalian skalar dan matriks, perkalian antar matriks, partisi matriks, t ransose matriks 3.2 .5 sifat operasi matriks 3.2 .6 sifat operasi tanspose mariks

3.3. Determinan 3.4. invers matriks

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

3.1 MATERI ONLINE BAB 3:MATRIK  HOW TO | LIST

Ada beberapa bentuk khusus matrik . Untuk bisa menentukan bentuk khusus matrik maka anda harus tahu terlebih dahulu elemen dari matriks, yaitu baris dan kolom. dalam mathematica ada cara penulisan baris dan kolom sehingga membentuk suatu matriks. Dalam kesempatan on line ini ... AKAN DIPELAJARI BAGAIMANA MENULISKAN MATRIKS DENGAN MATHEMATICA,

yaitu dengan menggunakan syntak : LIST

Apa saja kegunaan dan bagaimana cara manipulasi matriks dengan LIST berikut akan kita pelajari lebih lanjut.

LIST

Vectors dan matrices in Mathematica are secara sederhana dapat dituliskan dengan daftar anggota himpunan:

a, b, c

vector  a , b , c 

ab a, b, c, d matrix

cd

 LIST dalam MATRIKS

ada beberapa perintah yang bisa digunakan yaitu : List, Part, Take

Part —

elements and submatri-

ces:

mi, j;

resettable

with

m i, j  x

Take —

take rows, columns and

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

rows or columns Reverse

reverse rows or columns

Transpose

interchange rows and

columns Join

join rows or columns of

several matrices

Getting Pieces of Lists

Firstlist

the first element in list

Lastlist

the last element

Partlist, n or listn

the n th element

Partlist, n or listn

the n th element from the end

Partlist, m ;; n

elements m through n

Part list, n 1 ,n 2 , … or listn 1 ,n 2 , …

the list of elements at positions n 1 ,n 2 ,…

Takelist, n

the first n elements in list

Takelist, n

the last n elements

Takelist, m, n

elements m through n (inclusive)

Restlist

list with its first element dropped

Droplist, n

list with its first n elements dropped

Mostlist

list with its last element dropped

Drop list, n

list with its last n elements dropped

Droplist, m, n list with elements m through n dropped

coba sekarang praktekkan : A  a, b, c

a, b, c

B  4, N , 9

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

apa kesimpulan anda? Menentukan elemen ke  i menggunakan : Ai dan PartA, i . misalkan :

A  a, b, c

a, b, c

A1 PartA, 1

sedangkan untuk menentukan elemen ke i dan j bisa menggunakan A[[{i,i}]] dan Part[A,{i,j}]:

A2, 3

b, c

PartA, 2, 3

b, c

A1

1.Bagaimana untuk menentukan elemen ke 1 dan 3 dari himpunan A ?? ? 2. Apa bedanya A[[1]] dan A[[-1]]??? 3. sebutkan cara lain untuk menentukan elemen ke-1 dari himpunan A

 LAKUKAN JUGA UNTUK PERINTAH DIBAWAH INI :

DropA, 1

{b, c}

DropA, 2

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

RestA LastA

TakeA, 2 TakeA, 1 TakeA, 3

{a, b, c}

APA KESIMPULAN ANDA??JELASKAN  MENENTUKAN BANYAKNYA ELEMEN :

Range — form a list from a range of numbers or other objects 1, 2, 3, ... Table — make a table of any dimension of values of an expression Array — make an array of any dimension by applying a function to successive indices

ConstantArray — form of a constant array of any dimension

SparseArray, Normal — create a list from a sparse array position  value specification

Functions for vectors. contoh :

 RANGE

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

jelaskan mengenai Range di atas.apa yang dapat anda simpulkan?  TABEL

 PEMAKAIAN TABLE:

untuk beberapa elemen list ada kalanya membentuk suatu pola angka tertentu. maka untuk model khusus tersebut bisa menggunakan perintah Table:

Table100  5, 3

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

Tablek  2, k, 3

OPERASI PERHITUNGAN MATRIKS :

 LIST sebagai himpunan, dilakukan operasi himpunan(gabungan, irisan, komplemen) :

Complementa, b, c, d, a, b

{c, d}

ComplementA, a, b

{c}

Jelaskan apa kesimpulan anda?

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

 silahkan anda coba

keterangan dan contoh : untuk menentukan posisi suatu elemen d dalam liat digunakan "position{list,elemen} Position[{a, b, c, a, b}, a] {{1}, {4}} menghitung banyaknya a. Count[{a, b, c, a, b}, a] 2

 PENYISIPAN ELEMEN:

Selain itu dalam list juga dapat dilakukan penyisispan elemen, penambahan elemen bagian belakang maupun depan :

Position — find positions where elements that match a pattern occur Extract — extract elements that appear at a list of positions

ReplacePart — make replacements for collections of elements ArrayRules — get a list of positions and values for nonzero elements

 Adding, Removing and Modifying List Elements

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

Prependlist, element

add element at the beginning of list

Appendlist, element

add element at the end of list

Insertlist, element, i

insert element at position i in list

Insertlist, element, i insert at position i counting from the end of list Rifflelist, element

interleave element between the entries of list

Deletelist, i

delete the element at position i in list

ReplacePartlist, i  new replace the element at position i in list with new ReplacePart list, i, j  new

replace listi, j with new

contoh : untuk menambahkan elemen baru dalam matriks: A {a, b, c} Append[A, 2] {a, b, c, 2} Prepend[A, 1] {1, a, b, c} Insert[A, m, 2] {a, m, b, c} kemudian untuk menggantikan suatu elemen ke dalam matriks dengan elemen baru dengan

menggunakan ReplacePart[list,elemen baru,posisi] B = {1, 2, 3, 5, 6} {1, 2, 3, 5, 6} ReplacePart[B, x, 2] {1, x, 3, 5, 6} Insert[B, x, 2] {1, x, 2, 3, 5, 6}

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

Tupleslist 1 , list 2 , … generate all tuples whose i th element is from list i

Finding possible tuples of elements in lists. This gives all possible ways of picking two elements out of the list.

Tuplesa, b, 2

This gives all possible ways of picking one element from each list.

Tuplesa, b, 1, 2, 3 Subsetsa, b, c

 MENGURUTKAN ELEMEN :

untuk mengurutkan dan mengatur kembali posisi elemen suatu list, digunakan perintah sort,

reserve, rotate:

Sortexpr sort the elements of a list or other expression into a standard order Sortexpr, pred

sort using the function pred to determine whether pairs are in order Orderingexpr

give the ordering of elements when sorted

Orderingexpr, n

give the ordering of the first n elements when sorted

Orderingexpr, n, pred

use the function pred to determine whether pairs are in order

OrderedQexpr give True if the elements of expr are in standard order, and False otherwise

Order expr 1 , expr 2 

give 1 if expr 1 comes before expr 2 in standard order, and 1 if it comes after

contoh :

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

Sortlist3

kemudian dengan rotate maka n elemen akan ditempatkan dikiri atau kanan:

list3 RotateLeftlist3 RotateLeftlist3, 3 RotateLeftlist3, 4 RotateRightlist3 RotateRightlist3, 3

 PENGGABUNGAN ELEMEN :

untuk menghilangkan tanda kurung dalam suatu output dengan menggunakan perintah Flattern:

 SILAHKAN ANDA COBA Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}]

Joina, b, c, x, y, u, v, w list  Tablei  j  1, i, 4, j, i Flattenlist, 1

sedangkan unutuk menghilangkan tanda kurung satu atau dua pasang ...dst menggunakan perintah berikut:

Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1] Flattena, b, 2 Flattena, b

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

3.2.1 cara penulisan matriks

a. dengan menggunakan LIST perintah a ij , i  1, 2 dan j  1, 2, 3

matriksA    a1, 1, a1, 2, a1, 3  , a2, 1, a2, 2, a2, 3

a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

matriksA  MatrixForm

 a1, 1 a1, 2 a1, 3  a2, 1 a2, 2 a2, 3

Sebagai illustrasi, untuk matrik B ukuran 2 x3 :

matriksB  1, 3, 5, 0, 2, 1

matriksB  MatrixForm

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1 matriksB1, 2 matriksB1, 1, 2  MatrixForm matriksB1, 2, 1, 2  MatrixForm

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

 b.menggunakan

perintah

array

misalkan matriks C  c ij

matriksC  Arrayc, 5, 6  MatrixForm

 c.perintah table

matriksD  Tabledi, j, i, 5, j, 6  MatrixForm 

 menggunakan fasilitas palletes atau kalau tidak ada dengan menggunakan :

input Cretae_TableMatrix Pallet ... atau bisa langsung dengan : ctrl  Sift  C 

matriks F   

matriksG   

Null

LATIHAN:

1. tuliskan matriks berikut dengan cara  cara di atas :

2. buatkan matriks berikut : 12345

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 3. a. tuliskan matriks baris ke  1 dari matriks A

b. tuliskan elemen ke 2 dan ke 3 dari matriks B c. tuliskan elemen baris ke 2 kolom ke 3 matriks C d. tuliskan matriks baris 2 dan 3 matriks F e. tuliskan matriks baris 3 dan 5 dari matriks G

3.2 MATRIKS

 3.2.1 cara penulisan matriks(dengan LIST)

 a. dengan menggunakan perintah a ij , i  1, 2 dan j  1, 2, 3

matriksA  a1,1,a1,2,a1,3  ,a2,1,a2,2,a2,3 matriksAMatrixForm

misal untuk matrik B ukuran 2 x3 : matriksB  1, 3, 5, 0, 2, 1; matriksB  MatrixForm matriksB  MatrixForm

matriksB  1, 3, 5, 0, 2, 1  MatrixFormpenulisa ini tidak sarankan

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

matriksB1, 2 matriksB1, 1, 2  MatrixForm tentukan elemen matriks B baris ke dua kolom 3

 b.menggunakan

perintah

array

misalkan matriks C  c ij

matriksC  Arrayc, 5, 6  MatrixForm c1, 1 c1, 2 c1, 3 c1, 4 c1, 5 c1, 6

c2, 1 c2, 2 c2, 3 c2, 4 c2, 5 c2, 6 c3, 1 c3, 2 c3, 3 c3, 4 c3, 5 c3, 6 c4, 1 c4, 2 c4, 3 c4, 4 c4, 5 c4, 6 c5, 1 c5, 2 c5, 3 c5, 4 c5, 5 c5, 6

 c.perintah table

matriksD  Tabledi, j, i, 5, j, 6  MatrixForm d1, 1 d1, 2 d1, 3 d1, 4 d1, 5 d1, 6

d2, 1 d2, 2 d2, 3 d2, 4 d2, 5 d2, 6 d3, 1 d3, 2 d3, 3 d3, 4 d3, 5 d3, 6 d4, 1 d4, 2 d4, 3 d4, 4 d4, 5 d4, 6 d5, 1 d5, 2 d5, 3 d5, 4 d5, 5 d5, 6

 d.palletes

dengan menggunakan template yang ada di Palletes : 

 menggunakan

ada dengan cara:

fasilitas

palletes

atau

kalau

tidak

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

 matriks F  

 matriksG   

Null

 3.2.2 Ukuran

/ordo matriks:

dengan menggunakan perintah dimension matriksH  1, 2, 3, 3, 4, 5 matriksH  MatrixForm

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

DimensionsmatriksH 2, 3

 3.2.3 MATRIKS MATRIKS KHUSUS

a. matriks satuan(matriks identitas)

ada beberapa cara penulisan matriks : 1. langsung dituliskan (untuk matriks ukuran kecil)

misalkan akan disajikan matriks A yang elemen-elemennya dinyatakan dengan a ij untuk i=1,2 dan j=1,2,3. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menuliskan suatu elemennya(sebagai list dari list), seba- gai list dari list)

matriksA  a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

ternyata hasilnya tidak seperti penulisan matriks yang sudah dipelajari, sehingga untuk tampilan seperti itu dengan menggunakan perintah //matrikForm

2. dengan menggunakan perintah : IdentityMatrix

contoh :

matriksA  MatrixForm matriksA

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

matriksI  1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1  MatrixForm 100

matrI  IdentityMatrix4; matrI  MatrixForm

TableIfi  j, 1, 0, i, 4, j, 4  MatrixForm

b. Matriks Nol

cara penulisan :  langsung dengan ketikkan : ConstantArrayn atau Table0, m, n

ConstantArray0, 2, 2  MatrixForm 00

Table0, 2, 3  MatrixForm 000 

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

3. Matriks Diagonal

cara penulisan :  menggunakan : DiagonalMatrix

MatrixFormDiagonalMatrixa, b, c a00

0b0 00c

4. Matriks Segitiga Bawah dan Atas

matriks segitiga bawahMatrixFormTableIfi  j, 2, 0, i, 4, j, 4 matriks segitiga atasMatrixFormTableIfi  j, 2, 0, i, 4, j, 4

 3.2 .4 OPERASI PADA MATRIKS

A. penjumlahan/pengurangan matriks

BAGAIMANA ATURAN dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan ?? ??? berikut syarat 2 matriks atau lebih bisa dilakukan operasi penjumlahan:

1. masing masing matriks berordo sama 2. hasil operasi matriks akan menghasilkan matriks dengan ordo yang sama

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

matriksA  2, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 4, 4, 2, 7, 0; matriksA  MatrixForm 2 103

matriksB  4, 3, 5, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 2, 4, 5; matriksB  MatrixForm  435

matriksC  1, 1, 2, 2; matriksC  MatrixForm 11 

DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

matriksD  matriksA  matriksB; matriksD  MatrixForm  2454

DimensionsmatriksD

matriksA  matriksC  MatrixForm

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

B. KESAMAAN DUA MATRIKS

ClearmatriksE

matriksE  33, 2^0, 63, 2^1 1, 1, 2, 2

matD  matriksE  matriksC

matD  MatrixForm

 pengecekan kesamaan matriks bisa juga dilakukan dengan: matriksE  matriksC

True

c. PERKALIAN SKALAR DAN MATRIKS(silahkan dipraktikkan sendiri)

misalkan matriks A, B, C dan skalar k = 2, -1, 1/3. ClearmatriksA, matriksB, matriksC matriksA  2, 3, 4, 1, 3, 1 matriksB  0, 2, 7, 1, 3  5 matriksC  9, 6, 3, 3, 0, 12

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

3IdentityMatrix4  MatrixForm

D. PERKALIAN ANTAR MATRIKS (silahkan dipraktikkan sendiri)

operasi perkalian antar matriks menggunakan "." atau " dot" syarat :

1. kolom matriks pertama = jumlah kolom matriks ke - 2, dst 2. misal : A (m, n) dan B (n, k), maka AxB = C (m, k) 3. tidak berlaku komutatif

contoh :

Clear matriksA, matriksB, matriksC matriksA  1, 2, 4, 2, 6, 0; matriksB  4, 1, 4, 3, 0, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 2; matriksC  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; sebelum melakukan operasi matriks : DimensionsmatriksA DimensionsmatriksB DimensionsmatriksC perkalian matriks, bisakah ?

matriksA.matriksB  MatrixForm

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

matriksB.matriksA  MatrixForm

5. PARTISI MATRIKS

sebuah matriks bisa dipartisi menjadi matriks yg kecil kecil sub matriks.

contoh menuliskan matriks dalam suatu sub matriks :

Clear matriksA 

A  4, 1, 4, 3, 0, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 2; A  MatrixForm

MatrixFormA

A11  A1, 2, 1, 2, 3; A11  MatrixForm A12  A1, 2, 4; A112MatrixForm

A21  A3, 1, 2, 3; A21  MatrixForm

A22  A3, 4; A22  MatrixForm

maka matriks A terdiri atas : A11 A12

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

contoh :

Clear

A1  JoinA11, A12, 2

A2  JoinA21, A22, 2

A  JoinA1, A2  MatrixForm

F. TRANSPOSE MATRIKS(silahkan di coba sendiri)

A  1, 2, 3, 4, 3, 5

TransposeA

A  MatrixForm

  MatrixForm