20 T2
: waktu pemesanan barang ketika persediaan habis S
: jumlah pesanan ketika barang habis W
: jumlah pesanan ketika barang masih ada c
s
: biaya hilangnya stock per unit per satuan waktu L
: lead time
2.8 Metode Optimasi Klasik
Metode ini digunakan untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari fungsi peubah tunggal, fungsi beberapa peubah, dan fungsi beberapa peubah
berkendala dengan asumsi fungsi-fungsi tersebut kontinu pada turunan pertama, kedua, maupun parsialnya.
Misalkan terdapat fungsi peubah tunggal fx seperti pada Gambar 2.3 syarat perlu agar fx bernilai optimal maksimum atau minimum di x = x
adalah =
dx x
df pada x = x
Gambar 2.3. fungsi yang memiliki beberapa nilai maksimum dan minimum
Minimum global
Maksimum lokal
Maksimum global
Titik balik Minimum
lokal fX
X X
1
X
2
X
x
X
4
X
5
21 Berdasarkan Gambar 2.3, terdapat lima penyelesaian yang memenuhi
persyaratan tersebut, selanjutnya kelima titik tersebut disebut titik kritis critical points
. Selanjutnya harus dicek syarat cukup agar didapatkan penyelesaiaan optimal yaitu dengan memeriksa turunan keduanya. Apabila :
1.
2 2
dx x
f d
pada x = x ,
maka x adalah minimum lokal.
Artinya fx x
f ≤
untuk seluruh x yang cukup dekat dengan x 2.
2 2
dx x
f d
pada x = x ,
maka x adalah maksimum lokal
Artinya fx x
f ≥
untuk seluruh x yang cukup dekat dengan x 3.
2 2
= dx
x f
d pada x = x
, maka x
adalah inflection point titik balik Artinya tidak ada penyelesaian dari fx
4. Suatu titik x
dikatakan minimum global jika fx ≤ fx
untuk seluruh x dalam daerah fisibel. Untuk mendapatkan minimum global perlu
membandingkan semua minimum lokal, dan mengidentifikasi salah satu nilai terkecil dari fX. Jika nilai tersebut merupakan nilai terkecil fX dimana X
berada pada interval daerah fisibel tertentu, maka titik tersebut adalah minimum global.
5. suatu titik x
dikatakan maksimum global jika fx0 x
f ≥
untuk seluruh x dalam daerah fisibel. Untuk mendapatkan maksimum global perlu
membandingkan semua maksimum lokal, dan mengidentifikasi salah satu nilai terbesar dari fx. jika nilai tersebut merupakan nilai terbesar fx maka titik
tersebut adalah titik maksimum global.
22
2.9 Kekonvekan
Didalam bukunya, Liebarman 1994 memberikan definisi tentang himpunan konvek himpunan cembung seperti berikut :
Definisi 2.9.1
Himpunan cembung adalah kumpulan titik-titik sehingga, untuk setiap pasangan dalam kumpulan collection, seluruh segmen garis yang menghubungkan kedua
titik juga berada dalam segmen garis. Sedangkan menurut Mital 1983, definisi tentang himpunan konvek,
fungsi konvek, dan fungsi konkaf adalah sebagai berikut :
Definisi 2.9.2
Himpunan S
disebut himpunan
konvek, jika
S y
x ∈
∀ ,
berlaku 1
, 1
≤ ≤
∀ ∈
− +
α α
α S
y x
. Dengan kata lain, himpunan S disebut himpunan konvek jika
S y
x ∈
∀ ,
maka segmen garis yang menghubungkan x dan y juga ada di S.
Definisi 2.9.3
Suatu fungsi
f dikatakan
konvek pada
himpunan di
S jika
f S
y x
y f
x f
y x
∈ ∀
≤ ≤
− +
≤ −
+ ,
; 1
, 1
1 α
α α
α α
. Dengan kata lain, fungsi f disebut fungsi konvek jika segmen garis yang menghubungkan titik
x,fx dan y,fy terletak pada atau diatas f.
Secara analog,
fungsi f
disebut konkav
pada S
jika f
S y
x y
f x
f y
x ∈
∀ ≤
≤ −
+ ≥
− +
, ;
1 ,
1 1
α α
α α
α .
23 Kekonvekan suatu fungsi dapat digunakan untuk mendefinisikan masalah
pemrogaman konvek. Yaitu mengoptimalkan fx, x ∈
S dimana S himpunan konvek dan fx merupakan fungsi konvek.
Teorema 2.9
Jika x adalah solusi lokal dari masalah pemrogaman konvek maka x
adalah solusi global.
Bukti : diketahui x adalah solusi lokal dari masalah pemrogaman konvek.
Andaikan x bukan solusi global, artinya y
∃ sedemikian sehingga fy f x
karena f fungsi konvek, maka untuk 0
α
1 berlaku : f
1 1
y f
x f
y x
α α
α α
− +
≤ −
+ 1
x f
x f
α α
− +
fx
Hal ini memperlihatkan bahwa ada titik lain yang dekat dengan x yang
mempunyai nilai lebih kecildari fx . titik tersebut berada dalam S sebab S
konvek, sehingga hal ini kontradiksi dengan x lokal minimal. Jadi x
adalah global minimal.
2.10 . Hubungan antara kekonvekan dan turunan
