EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

ABSTRAK

EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK

PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

Oleh Pipit Susilowati

Penarikan sampel berkelompok merupakan penarikan sample dengan mengambil beberapa kelompok secara acak dari populasi, dan kemudian mengambil semua unsur dari setiap kelompok untuk dijadikan sample. Terdapat dua penarikan sampel berkelompok yaitu kelompok dengan ukuran karakteristik sama dan karakteristik tak sama. Implikasi dari hal ini adalah bahwa kelompok-kelompok dengan ukuran tak sama akan memiliki probabilitas yang tak sama pula antar kelompok.Dalam penelitian ini digunakan pengambilan kelompok ukuran tak sama dengan menggunakan beberapa metode antara lain metode Horvitz-Thompson, Brewer, dan Murthy. Penelitian ini bertujuan untuk mencari nilai efisiensi dari ketiga metode tersebut dengan mencari nilai ragamnya terlebih dahulu dengan penarikan sampel berkelompok dengan ukuran karakteristik tak sama. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa dari ketiga metode tersebut untuk m ≥ 2 metode yang lebih efisien adalah metode Horvitz-Thompson, dan untuk m = 2, metode Brewer lebih efisien dibandingkan dengan metode Murthy. Adapun untuk metode Brewer hanya dapat digunakan untuk m = 2.

N = Banyaknya anggota populasi n = Banyaknya anggota sampel M = Banyaknya kelompok dari sampel m = Banyaknya ukuran sampel

i,j = Anggota dari pengamatan

πi = probabilita bahwa unit ke-i ada dalam sampel

πj = probabilita bahwa unit ke-j ada dalam sampel

πij = probabilita bahwa unit ke-i dan ke-j keduanya berada dalam sampel

y = jumlah total sampel Y = jumlah total populasi

i

 =Peluang unit ke-i terambil pertama D = Pembagi proporsional

s = sekumpulan unit-unit yang telah diambil.

HT

Y ^

= Penduga jumlah populasi metode Horvitz-Thompson

B

Y ^

= Penduga jumlah populasi metode Brewer

M

Y ^

I. PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang Masalah

Pada suatu survey, umumnya tujuan yang akan dicapai adalah mencari sebuah informasi dari sebuah fenomena dari suatu obyek dengan cara mengumpulkan data. Oleh karena itu, sebelum melakukan survey, peneliti perlu memastikan bahwa data yang akan diperoleh harus valid yang berarti peneliti harus

mengetahui kondisi populasi yang ada. Akan tetapi, kita terkadang tidak mungkin mengamati keseluruhan populasi. Hal ini dikarenakan, jika peneliti melakukan survey dengan mengamati seluruh populasi yang terjadi adalah akan memakan waktu dan biaya yang tidak sedikit. Hal yang dapat dilakukan adalah peneliti dapat mengambil sampel dari populasi itu. Hal ini bertujuan untuk mengurangi biaya, kecepatan lebih besar, cakupan lebih besar dan tingkat keteiltian lebih besar (Cochran, 1991).

Setelah populasi dan kerangka sampel ditentukan oleh peneliti sebagai obyek penelitian, langkah selanjutnya peneliti mengumpulkan data dari obyek itu. Sampel diambil sedemikian sehingga mempunyai sifat representatif sehingga diperoleh informasi yang cukup untuk menduga populasinya. Selain itu, sampel ditentukan oleh peneliti berdasarkan pertimbangan waktu, tenaga dan biaya.

Berdasarkan pertimbangan itu, peneliti dihadapakan pada persoalan yang berkenaan dengan penarikan sampel.

Adapun cara untuk mengambil sampel itu sendiri adalah dapat dilakukan dengan simple random sampling, Stratifed random sampling atau Cluster random

sampling. Simple Random sampling yaitu pengambilan sampling secara acak,

peluang untuk terpilih harus diketahui besarnya dan untuk tiap satuan sampling besarnya harus sama. Pada simple random sampling, sampel yang diambil

mempunyai peluang atau kesempatan yang sama untuk terpilih. Stratified random sampling yaitu pengambilan berdasarkan subpopulasi yang di dalamnya

membentuk satuan-satuan sampling yang memiliki nilai variabel yang homogen. Sedangkan cluster random sampling yaitu populasi dibagi ke dalam kelompok-kelompok dan satuan sampling harus heterogen.

Berdasarkan pertimbangan ekonomi, penarikan sampel berkelompok atau cluster random sampling relatif dapat lebih menekan biaya penelitan dibandingkan

penarikan sampel yang lain. Hal ini dikarenakan penarikan sampel berkelompok tidak memerlukan kerangka sampel sehingga dapat menghemat biaya. Sebagai contoh, dalam suatu penelitian mengenai kebiasaan menabung pada orang dewasa di suatu kota, akan jauh lebih murah biayanya bila kita mewawancarai dan

mengumpulkan data dari orang-orang dewasa yang tinggal relatif berdekatan dalam kelompok daripada mengambil contoh acak sederhana dari seluruh orang dewasa di kota tersebut. Bila biaya berimbang dengan ketelitian, unit yang lebih besar hasilnya akan lebih baik dan efisien.

Tingkat efisien juga harus diperhatikan saat menentukan sampel, karena dengan sampel yang baik akan didapatkan hasil yang optimum atau mendekati hasil yang sebenarnya. Adapun efisiensi dapat dilihat dari nilai variansi atau ragam. Nilai variansi atau ragam yang berbeda inilah yang dapat mempengaruhi nilai efisiensi sampel tersebut. Diketahui pula bahwa efisiensi inilah yang dapat memberikan kecenderungan data yang hampir sama sampel dengan populasi yang ada. Hal ini dikarenakan, penduga relatif lebih efisien dengan ragam lebih kecil dari penduga lainnya . (Miller & Miller, 1999).

Selain itu, peluang pada cluster random sampling dapat diketahui berdasarkan penarikan sampel. Penarikan sampel berkelompok secara umum dikelompokkan menjadi dua, yaitu kelompok dengan ukuran sama dan kelompok-kelompok dengan ukuran tak sama. Implikasi dari hal ini adalah bahwa

kelompok-kelompok dengan ukuran tak sama akan memiliki probabilitas yang tak sama pula antar kelompok. Hal ini akan menyebabkan perhitungan untuk

kelompok yang memiliki ukuran sama akan berbeda dengan kelompok-kelompok dengan ukuran tak sama. Sehingga, dari suatu perhitungan diperoleh nilai variansi pada kelompok tersebut.

Sementara itu, keefisienan juga dapat dilihat dari cara penarikan sampel, yaitu penarikan dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Namun secara umum sampling tanpa pengembalian lebih efisien.(Lorh, 1999). Ada beberapa metode dari penarikan sampel berkelompok tanpa pengembalian dengan peluang berbeda yaitu Metode Horvitz Thompson, Brewer, Murthy, Sistematik,

Rao-Hartley-Cochran, dll. Pada penelitian ini, penulis akan membandingkan nilai efisiensi dari masing-masing sampel berkelompok tanpa pengembalian dengan peluang yang tak sama dengan menggunakan Metode Horvitz Thompson, Brewer, dan Murthy.

1.2.Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengetahui keragaman pada penarikan sampel acak berkelompok dengan ukuran peluang tak sama dan tanpa pengembalian dengan metode Horvitz Thompson, Brewer, Murthy,.

2. Membandingkan efisiensi sampel dari metode Horvitz Thompson, Brewer, Murthy.

1.3.Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :

1. Mengetahui teknik penarikan sampel yang lebih efisien dari metode Horvitz Thompson, Brewer, Murthy.

2. Menambah pengetahuan tentang penarikan sampel acak berkelompok dengan ukuran peluang tak sama dan tanpa pengembalian dengan metode Horvitz Thompson, Brewer, Murthy.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Pengertian Dasar

Definisi 2.1.1 Sampling

Sampling adalah proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang berukuran N (Walpole,1995).

Definisi 2.1.2 Populasi

Populasi adalah Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan berdasarkan karekteristiknya (Walpole,1995).

Definisi 2.1.3 Kerangka Sampel

Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi, sebagai dasaruntuk penarikan sampel random(Walpole,1995).

Definisi 2.1.4 Sampel

Sampel merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota populasi dimana sampel diambil. Jika N _{banyaknya elemen populasi, dan} n banyaknya elemen sampel, maka n < N (Walpole,1995).

Definisi 2.1.5 Ruang contoh

Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S (Walpole,1995).

Definisi 2.1.6 Peubah Acak

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh (Walpole,1995).

2.2Peubah Acak

Peubah Acak Diskrit dan Kontinu

Peubah acak X, dengan ruang sampel Ω yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah. Diberikan suatu fungsi f(x) sedemikian hingga:

1. f(x) > 0, x  2.





1 ) (x f

3. Peluang suatu himpunan A, P(A), A,berlaku





  

Pr( ) ( )

)

(A X f x

P maka X dikatakan peubah acak diskrit dan

f(x) disebut dengan fungsi kepekatan peluang (fkp) X.

Peubah acak X, dengan ruang sampel Ω yang mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis. Diberikan suatu fungsi f(x) sedemikian hingga :

2.





1 ) (x dx f

3. Peluang suatu himpunan A, P(A), A,dapat ditulis

dengan





  

 X f x dx

A

P( ) Pr( ) ( )

maka X dikatakan peubah acak kontinu dan f(x) disebut dengan fungsi kepekatan peluang (fkp) X.

2.3Nilai Ekspektasi Peubah Acak Nilai Rata-rata Peubah Acak

Jika peubah acak diskrit X mempunyai fkp f(x), maka nilai rata-rata peubah acak diskrit X adalah :



 x x f x X

E( ) ( )=

dan nilai-nilai rata-rata peubah acak kontinu X adalah :



  

 xf x dx

X

E( ) ( ) =

Nilai Variansi Peubah Acak

Variansi peubah acak atau var(X) dinotasikan dengan σ2x, dan dapat didefinisikan

sebagai berikut :













 

 

 

 

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                       X E X E X E X E X X E X E x

2.4Pengambilan Sampel

Perlakuan anggota populasi dalam pengambilan sampel: 1. Sampling dengan pengembalian

Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran n dengan pengembalian, maka semuanya dan Nn buah sampel yang mungkin diambil. 2. Sampling tanpa pengembalian

Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian, maka banyaknya sampel yang dapat diambil adalah:

)! (

! !

n N n

N C_n

N

 

2.5Penduga Efisien

Salah satu sifat penduga yang baik adalah ragam minimum. Penduga yang baik dengan ragam lebih kecil dari penduga lainnya dikatakan sebagai penduga relatif lebih efisien (Miller & Miller, 1999).

2.6Penarikan Sampel Berkelompok

Definisi 2.6 Penarikan Sampel Berkelompok

Penarikan sampel berkelompok mengambil beberapa kelompok secara acak dari populasi, dan kemudian mengambil semua unsur dari setiap kelompok untuk dijadikan sampel (Lohr, 1999)

Gambar 1. Populasi yang terdiri dari M Kelompok

Gambar 2. Pengambilan 3 Kelompok secara Acak

2.7Penarikan Sampel Berkelompok tanpa Pengembalian

Sebuah sampel berukuran m unit dipilih tanpa pengembalian dengan metode Horvitz-Thompson, Brewer dan Murthy.

Misalkan :

πi = probabilita bahwa unit ke-i ada dalam sampel

Hubungan berikut terpenuhi:



  M i i m 1

 _i

M

i j i

ij m 





    1 ) 1 ( (2.7.1) Bukti

Misalkan ti merupakan variabel acak, dimana :

    sampel dalam tidak i unit jika sampel dalam berada i unit jika ti ; 0 ; 1 dan     selainnya sampel dalam berada j dan i unit jika t

ti j

; 0

; 1

Dan didefinisikan



ti



i

P 1  dan P



ti 1dantj 1



ij

Karena ukuran sampel adalah m,



  M i i m t 1 . Begitu juga,

 









i i i i i M i i i

i Pt t P t t

t E            



 0 1 0 1 1 dan

 









i i i i i M i i i

i Pt t Pt t

t E            



 0 1 0 1 2 1 2 2

Sehingga,

 





_





            M i i M i i M i

i E t

t E m 1 1 1  dan ■

2.7.1 Metode Penduga Horvitz Thompson

Penduga Horvitz Thompson(1952) tentang jumlah populasi adalah :



 m i i i HT y Y  ^ (2.7.2)

dengan yi adalah pengukuran untuk unit ke-i.

Teorema

Jika πi > 0, (i=1,2,3,…, M),



 m i i i HT y Y  ^









 













 





 

 



1



1 1 1 1 2 2 1 1 1                       









    m m t E m t E t m t E t m t E t t E t t E t dan t P i i i i i i i i i M i j j i M i j i M i j i M i ij    

Adalah sebuah penduga tidak bias dari Y, dengan varians





j i M i M i

j i j j i ij i M i i i

HT y y y

Y

V





             1 2 1 ^ 2 1        (2.7.3) Bukti :

Misalkan ti (i = 1,2,…,M) merupakan sebuah variabel acak yang mempunyai nilai

1 jika unit ke-i diambil dan bernilai nol untuk lainnya. Maka ti mengikuti

distribusi bernoulli untuk sebuah sampel berukuran 1, dengan probabilita πi.

Maka,

i i

t

E( ) V(ti)i(1i) (2.7.4)

Nilai kovarians titj juga digunakan. Karena titj adalah 1 hanya jika kedua unit

muncul dalam sampel,

j i ij j i j i j

it E t t E t E t

t

Kov( ) ( ) ( ) ( )   (2.7.5) Karena yi tetap dan ti sebagai variabel acak, maka untuk ti= 1 penduga populasi

Horvitz-Thompson dapat dituliskan sebagai berikut :





    M i i i i m i i i HT y t y Y 1 1 ^   Sehingga,





y y y t P y t y t E Y E M i i M i i i i i M i i i i M i i i i HT                  









    1 1 1 1 ^ 1     (2.7.6)

Berdasarkan definisi pada Lohr (1999) diketahui bahwa

 











            M i M i M i j j i i M i

i V X Cov X X

X V 1 1 1 , 2 Maka:









j i M i M i

j i j j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i HT y y y t t Kov y y t V y y t V Y V











                                       2 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 ^ (2.7.7)

Ini membuktikan teorema.■

2.7.2 Metode Brewer

Dalam Cochran (1991), untuk m = 2 metode Brewer memberikan dan menggunakan pendugaan Horvitz-Thompson

            j j i i j j i i HT y y y y Y     2 1 ^ (2.7.8)

dimana nilai _i 0.5. Brewer mengambil unit pertama dengan memperbaiki probabilita proporsional yaitu φi(1-φi) / (1-2φi), dan unit keduanya dengan

probabilita φi / (1-φj), dimana j adalah unit yang diambil pertama kali. Pembagi

yang dibutuhkan untuk mengubah φi(1-φi) / (1-2φi) ke dalam probabilita





           





 M i i i M i i i i D      2 1 1 2 1 2 1 1 1 (2.7.9)

dengan probabilita bahwa unit ke-i berada dalam sampel adalah

πi = 2i (2.7.10)

Dengan memperhatikan (2.7.9),

) 2 1 )( 2 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 2 1 1 j i j i j i j i j i ij D

D  

                        

 (2.7.11)

Karena metode ini menggunakan perkiraan Horvitz Thompson, teorema dan

kesimpulannya memberikan rumus untuk varians dan perkiraan varians dari YB

^ .









j i M i M i

j i j j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i B y y y t t Kov y y t V y y t V Y V











                                       2 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 ^ (2.7.12) Dengan y y y t E Y E M i i M i i i i

B  

           

_

_



1 1

^

 (2.7.13)

Sementara itu, dalam Cochran (1991) untuk metode Brewer hanya dapat digunakan untuk ukuran sampel = 2, hal ini dikarenakan metode Brewer merupakan perlakuan khusus dari metode Horvitz-Thompson, dan jika ukuran sampel lebih dari 2, dapat dilakukan perluasan dari metode ini.

2.7.3 Metode Murthy

Metode ini menggunakan teknik pemilihan dimana unit-unitnya berturut-turut diambil dengan probabilita φi, φj/(1-φi), φk/(1-φi-φj) dan seterusnya. Penduga

Murthy menghasilkan perkiraan tidak bias dan mempunyai varians yang lebih kecil.

Penduganya adalah :

) ( ) | ( ^ s P y i s P Y m i i M



 (2.7.14)

Dengan

P(s|i) : probabilita bersyarat memperoleh sekumpulan unit-unit yang telah

diambil, dengan syarat bahwa unit ke-i telah diambil pertama kali. P(s) : probabilita tidak bersyarat memperoleh sekumpulan unit-unit

yang telah diambil. Dengan

 

i j i s P     1 | 1 1 ) | (   





 i M i j j i s P   (2.7.15)

Untuk m = 2, sampelnya terdiri dari unit i dan j,

 

i j i s P     1 | ;





ji i j s P     1 | ) 1 )( 1 ( ) 2 ( ) | ( ) | ( ) ( j i j i j i j i

ij P s i P s j

s P                  (2.7.16)

Sehingga ekspektasi dari metode Murthy adalah:

 

 

 









 

 





y y y y y y m s P y s P y s P y m s P y s P y s P y i s P Y s P Y E m i i m m m m i i M M                            











 



  1 2 1 2 1 2 1 1 ^ ^ | 2 | 1 | | 2 | 1 | | ) (  

 (2.7.17)

dan ragam dari metode Murthy :

2 2 2 2 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ ^ ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) (                                                                                      

















i m i i i m i i M M M M M y s P y i s P y s P y i s P s P Y s P Y s P Y E Y E Y V (2.7.18)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Faklutas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu Penelitian ini dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2009/2010.

3.2. Metode Penelitian

Andaikan dalam suatu populasi dapat dibagi dalam kelompok-kelompok dan setiap karakteristik yang diteliti ada dalam setiap kelompok. Dalam penelitian ini ingin meneliti karakteristik luas toko dalam suatu kota. Misalkan populasi kota ini terdiri dari beberapa toko. Adapun kota tersebut mempunyai empat buah toko yang mempunyai ukuran luas yang berbeda-beda antara 5000 m2 sampai dengan 10000 m2. Diasumsikan bahwa setiap luasan toko 1000 m2 diwakili dengan 1 buah kartu. Maka, nilai peluangnya dapat dihitung. Misalkan, φi adalah peluang

Tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menentukan data sampel yang akan diambil menggunakan sampel berkelompok dengan peluang tak sama tanpa pengembalian. Data yang digunakan adalah data jumlah penjualan ke empat toko pada sebuah kota. 2. Menentukan nilai ekspektasi dan variansi dari data jumlah penjualan ke

empat toko pada sebuah kota.

Pada bagian ini akan dihitung nilai ekspektasi dan variansi dengan menggunakan Metode Horvitz-Thompson, Brewer, Murthy,

a. Metode Horvitz-Thompson

Y y y t E Y E M i i M i i i i

HT  

           

_

_



1 1

^  dengan









j i M i M i

j i j j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i HT y y y t t Kov y y t V y y t V Y V











                                       2 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 ^

b. Metode Brewer

Metode Brewer sama halnya dengan Metode Horvitz Thompson, akan tetapi nilai πi = 2φi. Sehingga,

Y y y t E Y E M i i M i i i i

B  

           

_

_



1 1

^

 dengan









j i M i M i

j i j j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i HT y y y t t Kov y y t V y y t V Y V











                                       2 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 ^

c. Metode Murthy





   M i i M

M P s Y y Y

Y E ^ ^ ) ( ) ( Dengan 2 2 ^ ) ( ) | ( ) ( _            









_i

m i i M y s P y i s P Y V

3. Menghitung Efisiensi masing-masing sampel dengan data jumlah penjualan ke empat toko pada sebuah kota.

Salah satu sifat penduga yang baik adalah ragam minimum. Penduga yang baik dengan ragam lebih kecil dari penduga lainnya dikatakan sebagai penduga relatif lebih efisien (Miller & Miller, 1999).

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian dan penerapannya terhadap contoh kasus, dapat diambil kesimpulan yaitu :

1. Dari ketiga metode, yaitu metode Horvitz-Thompson, Brewer dan Murthy, untuk m = 2 metode Horvitz Thompson merupakan metode yang paling efisien, dan metode Brewer lebih efisien dari metode Murthy.

2. Untuk m = 3, metode Horvitz-Thompson lebih efisien dari metode Murthy. 3. Untuk m = 4, metode Horvitz-Thompson mempunyai efisiensi yang sama

dengan metode Murthy dikarenakan semua sampel nya terambil.

5.2 Saran

Bagi peneliti yang akan meneliti metode lebih lanjut dari sampel berkelompok dapat meneliti metode lainnya, diantaranya metode Rao-Hartley-Cochran, Madow, Sampford dan lainnya.

EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK

PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

Oleh

PIPIT SUSILOWATI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2010

EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK

PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

Oleh Pipit Susilowati

0617031011

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2010

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Populasi yang terdiri dari M Kelompok ... 9 2. Pengambilan 3 Kelompok secara Acak... 9

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... v

DAFTAR TABEL ... vi

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 4

1.3. Manfaat Penelitian ... 4

II. TEORI DASAR 2.1 Pengertian Dasar ... 5

2.2.Peubah Acak ... 6

2.3.Nilai Ekspektasi.Peubah Acak ... 7

2.4.Pengambilan Sampel ... 8

2.5.Penduga Efisien ... 8

2.6.Penarikan Sampel Berkelompok. ... 8

2.7.Penarikan Sampel.Berkelompok,tanpa Pengembalian ... 9

2.7.1.Metode Horvitz-Thompson ... 11

2.7.2.Metode Brewer ... 13

2.7.3.Metode.Murthy ... 15

III.METODE PENELITIAN 3.1.Tempat dan Waktu Penelitian ... 17

3.2.Metode Penelitian ... 17

IV.HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1.Pendahuluan ... 20

4.2.Nilai ekspektasi ... 21

4.2.1.Metode Horvitz-Thompsoni ... 21

4.2.2.Metode Brewer ... 21

4.3.3.Ukuran Sampel (m) = 4 ... 48 4.4. Efisiensi Metode Horitz-Thompson, Brewer, dan Murthy ... 56

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan ... 58 5.2. Saran ... 58 DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR PUSTAKA

Cochran, W.G. 1991. Teknik Penarikan Sampel. Edisi Ketiga. Penerbit Universitas Indonesia, Depok.

Hidayat, A. 2009. Sampel Berkelompok. 04 Februari 2010. http://www.sampel –berkelompok.com

Lohr, S.L. 1999. Sampling : Design and Analysis. Dexbury Press, California.

Miller, I. dan Miller, M. 1999. John E Freund’s Mathematical Statistical Sixth Edition. Prantice Hall, New Jersey.

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Data Berkelompok Luas Toko dan Jumlah Penjualan Toko pada

suatu Kota ... 20 2. Data Luas Toko, Jumlah Penjualan Toko dan Peluang Toko pada

suatu Kota ... 23 3. Hasil Perhitungan Peluang Unit ke-i dan ke-j dalam Sampel Metode

Horvitz-Thompson ... 27 4. Hasil Perhitungan Peluang Unit ke-i dan ke-j dalam Sampel

Metode Brewer ... 31 5. Hasil Perhitungan Peluang Unit ke-i dan ke-j dalam Sampel

Metode Murthy ... 34 6. Nilai Ragam dari metode Horvitz-Thompson, Brewer dan Murthy

untuk m = 2 ... 36 7. Hasil Perhitungan Peluang Unit ke-i ,ke-j dan Unit ke-k dalam Sampel

Metode Horvitz-Thompson ... 41 8. Hasil Perhitungan Peluang unit ke-i , ke-j dan Unit ke-k dalam Sampel

Metode Murthy ... 45 9. Nilai Ragam dari Metode Horvitz-Thompson dan Murthy

untuk m = 3 ... 47 10. Nilai Ragam dari Metode Horvitz-Thompson dan Murthy

Ku olah kata, ku baca makna

Ku ikat dalam alinea

Ku bingkai dalam bab berjumlah lima

Jadilah mahakarya, gelar sarjana ku terima

Orang tua pun bahagia……….

Tiada do’a yang lebih indah

Selain do’a agar skripsi ini cepat selesai…

Segalanya dan selamanya,

Nothing Impossible…

‘It’s me’

Judul Skripsi : EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

Nama Mahasiswa : Pipit Susilowati Nomor Pokok Mahasiswa : 0617031011 Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1.Komisi Pembimbing

Rudi Ruswandi, M.Si. Notiragayu.

NIP. 19560208 198902 1 001 NIP. 19731109 200012 2 001

2.Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika

Tiryono Ruby, Ph.D. Dorrah Azis, M.Si.

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Rudi Ruswandi, M.Si. ………

Sekertaris : Notiragatu, M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Mustofa Usman, Ph.D. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Sutyarso, M.S.

NIP. 19570424 198703 1 001

Motto

Kebatilan yang terorganisir akan mengalahkan kebaikan yang tidak terorganisir.

(Ali bin Abi Thalib ra)

Jika Allah, suatu ketika mencintai seorang Hamba-Nya,

maka ia akan melimpahkan kecintaan manusia kepada Hamba-Nya itu

Nothing Impossible……….

Untuk mencapai kesuksesan,

kita jangan hanya bertindak , tetapi juga perlu bermimpi,

kita jangan hanya berencana, tetapi juga perlu untuk percaya.

(Anatole France)

Persembahan

Ya Allah, Ya Rabb… Bapak dan Mamak tercinta..

Titasan do’a, Air Mata dan Peluh Perjuanganmu. Telah membawaku memasuki gerbang kesuksesan.

Dari rasa khawatir hingga rasa yakin Aku mencoba bertahan atas nama ceritaku

Aku selalu yakin, dengan dukunganmu Selalu…

Dan selalu yakin… Ingin selalu ku ceritakan semua

Tapi ku kehabisan kata-kata

Mungkin hanya inilah yang mampu kubuktikan kepadamu Bahwa aku tak pernah lupa pengorbananmu Bahwa aku tak pernah lupa nasihat dan dukunganmu Bahwa aku tak pernah lupa segalanya dan selamanya……

Karya kecil ku ini ku persembahkan seikhlasnya kepada Kedua Orang tua ku, Bapak dan Mamak

Adikku, Lusi Susilowati My Bumblebee

Kagem keluarga besar Susilo yang telah membantu dan memberikan semangat untukku. Sahabat-sahabat terbaikku yang selalu memberikan semangat, dan doa. Serta almamater dan civitas akademika Jurusan Matematika yang tercinta

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sidodadi pada hari Selasa, 21 Maret 1989. Penulis

merupakan anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Susilo dan Ibu Suharti.

Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak di TKA Al-Qhairiyah Sidomulyo tahun 1993, pendidikan Sekolah Dasar di SD N 1 Kalirejo tahun 2000, pendidikan lanjutan pertama di SLTP N 3 Gedong Tataan tahun 2003 dan sekolah menengah umum SMU N 1 Gadingrejo tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis diterima sebagai mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur PKAB (Penelusuran Kemampuan Akademik dan Bakat). Selama di jurusan Matematika, penulis memilih statistika sebagai bidang peminatan ilmunya.

Selama menjadi mahasiswa di jurusan Matematika FMIPA, penulis pernah mengikuti Kerja Praktik (KP) di Dinas Pekerjaan Umum Kabupaten Pesawaran. Penulis juga sempat beraktifitas di kegiatan kemahasiswaan UKMF BEM. Pada periode 2007-2008 menjabat sebagai staf Dinas PSDM dan periode 2007-2008 menjabat sebagai staf Biro Umum.

Judul Skripsi : EFISIENSI SAMPEL BERKELOMPOK PADA METODE HORVITZ-THOMPSON, BREWER, DAN MURTHY

Nama Mahasiswa : Pipit Susilowati Nomor Pokok Mahasiswa : 0617031011 Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1.Komisi Pembimbing

Rudi Ruswandi, M.Si. Notiragayu.

NIP. 19560208 198902 1 001 NIP. 19731109 200012 2 001

2.Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika

Tiryono Ruby, Ph.D. Dorrah Azis, M.Si.

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Rudi Ruswandi, M.Si. ………

Sekertaris : Notiragatu, M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Mustofa Usman, Ph.D. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Sutyarso, M.S.

NIP. 19570424 198703 1 001

Motto

Kebatilan yang terorganisir akan mengalahkan kebaikan yang tidak terorganisir.

(Ali bin Abi Thalib ra)

Jika Allah, suatu ketika mencintai seorang Hamba-Nya,

maka ia akan melimpahkan kecintaan manusia kepada Hamba-Nya itu

Nothing Impossible……….

Untuk mencapai kesuksesan,

kita jangan hanya bertindak , tetapi juga perlu bermimpi,

kita jangan hanya berencana, tetapi juga perlu untuk percaya.

Persembahan

Ya Allah, Ya Rabb…

Bapak dan Mamak tercinta..

Titasan do’a, Air Mata dan Peluh Perjuanganmu.

Telah membawaku memasuki gerbang kesuksesan. Dari rasa khawatir hingga rasa yakin Aku mencoba bertahan atas nama ceritaku

Aku selalu yakin, dengan dukunganmu

Selalu… Dan selalu yakin…

Ingin selalu ku ceritakan semua Tapi ku kehabisan kata-kata

Mungkin hanya inilah yang mampu kubuktikan kepadamu Bahwa aku tak pernah lupa pengorbananmu Bahwa aku tak pernah lupa nasihat dan dukunganmu Bahwa aku tak pernah lupa segalanya dan selamanya……

Karya kecil ku ini ku persembahkan seikhlasnya kepada Kedua Orang tua ku, Bapak dan Mamak

Adikku, Lusi Susilowati My Bumblebee

Kagem keluarga besar Susilo yang telah membantu dan memberikan semangat untukku. Sahabat-sahabat terbaikku yang selalu memberikan semangat, dan doa. Serta almamater dan civitas akademika Jurusan Matematika yang tercinta

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sidodadi pada hari Selasa, 21 Maret 1989. Penulis

merupakan anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Susilo dan Ibu Suharti.

Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak di TKA Al-Qhairiyah Sidomulyo tahun 1993, pendidikan Sekolah Dasar di SD N 1 Kalirejo tahun 2000, pendidikan lanjutan pertama di SLTP N 3 Gedong Tataan tahun 2003 dan sekolah menengah umum SMU N 1 Gadingrejo tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis diterima sebagai mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur PKAB (Penelusuran Kemampuan Akademik dan Bakat). Selama di jurusan Matematika, penulis memilih statistika sebagai bidang peminatan ilmunya.

Selama menjadi mahasiswa di jurusan Matematika FMIPA, penulis pernah mengikuti Kerja Praktik (KP) di Dinas Pekerjaan Umum Kabupaten Pesawaran. Penulis juga sempat beraktifitas di kegiatan kemahasiswaan UKMF BEM. Pada periode 2007-2008 menjabat sebagai staf Dinas PSDM dan periode 2007-2008 menjabat sebagai staf Biro Umum.