Metode Penduga Horvitz Thompson Metode Brewer

Sehingga,                    M i i M i i M i i t E t E m 1 1 1  dan ■

2.7.1 Metode Penduga Horvitz Thompson

Penduga Horvitz Thompson1952 tentang jumlah populasi adalah :   m i i i HT y Y  2.7.2 dengan y i adalah pengukuran untuk unit ke-i. Teorema Jika π i 0, i =1,2,3,…, M,   m i i i HT y Y                        1 1 1 1 1 2 2 1 1 1                                m m t E m t E t m t E t m t E t t E t t E t dan t P i i i i i i i i i M i j j i M i j i M i j i M i ij     Adalah sebuah penduga tidak bias dari Y, dengan varians   j i M i M i j j i j i ij i M i i i HT y y y Y V                1 2 1 2 1        2.7.3 Bukti : Misalkan t i i = 1,2,…,M merupakan sebuah variabel acak yang mempunyai nilai 1 jika unit ke-i diambil dan bernilai nol untuk lainnya. Maka t i mengikuti distribusi bernoulli untuk sebuah sampel berukuran 1, dengan probabilita π i . Maka, i i t E   1 i i i t V     2.7.4 Nilai kovarians t i t j juga digunakan. Karena t i t j adalah 1 hanya jika kedua unit muncul dalam sampel, j i ij j i j i j i t E t E t t E t t Kov        2.7.5 Karena y i tetap dan t i sebagai variabel acak, maka untuk t i = 1 penduga populasi Horvitz-Thompson dapat dituliskan sebagai berikut :       M i i i i m i i i HT y t y Y 1 1   Sehingga,   y y y t P y t y t E Y E M i i M i i i i i M i i i i M i i i i HT                           1 1 1 1 1     2.7.6 Berdasarkan definisi pada Lohr 1999 diketahui bahwa                    M i M i M i j j i i M i i X X Cov X V X V 1 1 1 , 2 Maka:     j i M i M i j j i j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i HT y y y t t Kov y y t V y y t V Y V                                             2 1 2 2 2 1 2.7.7 Ini membuktikan teorema. ■

2.7.2 Metode Brewer

Dalam Cochran 1991, untuk m = 2 metode Brewer memberikan dan menggunakan pendugaan Horvitz-Thompson             j j i i j j i i HT y y y y Y     2 1 2.7.8 dimana nilai 5 .  i  . Brewer mengambil unit pertama dengan memperbaiki probabilita proporsional yaitu φ i 1- φ i 1-2 φ i , dan unit keduanya dengan probabilita φ i 1- φ j , dimana j adalah unit yang diambil pertama kali. Pembagi yang dibutuhkan untuk mengubah φ i 1- φ i 1-2 φ i ke dalam probabilita sebenarnya adalah                  M i i i M i i i i D      2 1 1 2 1 2 1 1 1 2.7.9 dengan probabilita bahwa unit ke-i berada dalam sampel adalah π i = i  2 2.7.10 Dengan memperhatikan 2.7.9, 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 j i j i j i j i j i ij D D                             2.7.11 Karena metode ini menggunakan perkiraan Horvitz Thompson, teorema dan kesimpulannya memberikan rumus untuk varians dan perkiraan varians dari B Y .     j i M i M i j j i j i ij i M i i i j i j j M i M i M i j i i i i i M i i i i B y y y t t Kov y y t V y y t V Y V                                             2 1 2 2 2 1 2.7.12 Dengan y y y t E Y E M i i M i i i i B                    1 1  2.7.13 Sementara itu, dalam Cochran 1991 untuk metode Brewer hanya dapat digunakan untuk ukuran sampel = 2, hal ini dikarenakan metode Brewer merupakan perlakuan khusus dari metode Horvitz-Thompson, dan jika ukuran sampel lebih dari 2, dapat dilakukan perluasan dari metode ini.

2.7.3 Metode Murthy