2.2 Persamaan Schrodinger
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam persamaan gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y
bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh
2.5 dengan adalah bilangan imajiner khayal yang nilainya
Jika pada persamaan diatas diganti dengan adalah frekuensi dan dengan
, maka diperoleh 2.6
yang bentuknya menguntungkan, karena telah diketahui hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diberikan oleh
. Karena dan
2.7 diperoleh
partikel bebas 2.8
Persamaan 2.8 diatas merupakan pemerian matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan momentum p yang bergerak dalam arah +x,
yang juga merupakan pemerian dari pergeseran harmonik gelombang yang bergerak bebas sepanjang tali terpentang.
2.2.1 Persamaan Schrodinger Bergantung waktu
Universitas Sumatera Utara
Salah satu cara untuk memperoleh persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah dengan mendiferensialkan persamaan 2.8 dua kali terhadap x, menghasilkan
sehingga 2.9
dan sekali terhadap t, menghasilkan
sehingga 2.10
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi kinetik
dan energi potensial V, dengan V pada umunya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t, dan dengan langsung menjadikan kedua
ruasnya dengan fungsi gelombang menghasilkan
2.11
Dengan mensubstitusi persamaan 2.9 dan 2.10 kedalam persamaan 2.11 dipeoleh
2.12
Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi.
2.2.2 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung waktu
Untuk memperoleh persamaan Schrodinger yang tidak bergantung terhadap waktu dapat dilakukan dengan kembali menuliskan persamaan 2.8 dalam bentuk
2.13
Universitas Sumatera Utara
Hal ini berarti bahwa merupakan hasil kali antara fungsi yang bergantung waktu dengan fungsi yang bergantung kedudukan. Kenyataanya, perubahan terhadap waktu
dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Dengan mensubstitusikan dari persamaan
2.13 ke persamaan schrodinger yang bergantung terhadap waktu, didapat
2.14
Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu keadaan tunak. Scherrer, 2005
2.2.3 Energi Sistem Mantap Terkuantisasi
Pada umumnya, persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan hanya untuk harga
Ε tertentu saja. Memecahkan persamaan Schrodinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi persamaan dan
syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang yaitu turunanya harus kontinu, berhingga dan berharga tunggal. Jadi
kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang
merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
2.2.4 Harga – Energi dan Fungsi – Eigen
Kategori