TEORI GANGGUAN UNTUK MENENTUKAN KOREKSI ENERGI ELEKTRON PADA ATOM BERUKURAN INTI TERTENTU

Disusun oleh : LILA SYUKURILLA

M0208010

SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

Januari, 2012

commit to user

ELEKTRON PADA ATOM BERUKURAN INTI TERTENTU

Lila Syukurilla

Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

ABSTRAK

Teori gangguan orde tiga telah berhasil dirumuskan berupa koreksi energi, , dan koreksi fungsi gelombang, . Hasil koreksi energi orde satu, , dan orde dua, , terhadap tingkat dasar untuk thallium adalah 4,3

dan . Nilai ( ; ) untuk tungsten, indium, molybdenum, tembaga,dan kromium masing –masing adalah (2,7 ;

), (0,4 ; ), (

), (

) serta ( ; ). Koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom

thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga,dan kromium masing-masing adalah

; dan

. Permodelan kurva energi potensial telah

berhasil dibuat menggunakan Wolfram Mathematica 7 ® . Hasil permodelan menunjukkan adanya selisih kurva energi potensial antara inti berupa titik dan inti berukuran tertentu. Selisih kurva tersebut diketahui sebagai hamiltonian penggganggu.

Kata kunci : Teori gangguan, Koreksi tingkat dasar, Wolfram Mathematica 7 ®

commit to user

3.3.1. Studi Literatur ...................................................................

3.3.2. Koreksi Energi dan Fungsi Gelombang Orde Tiga ..........

3.3.3. Koreksi Energi Orde Satu Terhadap Tingkat Dasar .........

3.3.4. Koreksi Energi Orde Dua Terhadap Tingkat Dasar ..........

3.3.5. Koreksi Energi Orde Tiga Terhadap Tingkat Dasar .........

3.3.6. Permodelan Wolfram Mathematica 7 ...............................

BAB IV PEMBAHASAN ..............................................................................

4.1. Koreksi Energi Orde Tiga ..........................................................

4.2. Koreksi Fungsi Gelombang Orde Tiga ......................................

4.3. Koreksi Energi Thallium ............................................................

4.4. Koreksi Energi Tungsten ...........................................................

4.5. Koreksi Energi Indium ...............................................................

4.6. Koreksi Energi Molybdenum .....................................................

4.7. Koreksi Energi Tembaga ...........................................................

4.8. Koreksi Energi Kromium ...........................................................

4.9. Permodelan Wolfram Mathematica 7 ........................................

BAB V PENUTUP ........................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... xiii LAMPIRAN – LAMPIRAN .......................................................................... 46

commit to user

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Asumsi mengenai inti atom sebagai sebuah titik (point particle) bertujuan untuk menyederhanakan bentuk potensialnya sehingga diperoleh penyelesaian secara analitik. Namun, asumsi lebih real diperoleh dengan mendeskripsikan inti atom sebagai partikel berukuran (finite size) serta memiliki distribusi massa dan muatan yang seragam. Fakta ini menghasilkan bentuk potensial yang lebih komplek, sehingga harus diselesaikan dengan metode pendekatan yang berbeda.

Atom bernomor massa besar memiliki jumlah elektron yang banyak, sehingga gaya tarik-menarik antara inti dengan elektron tidak dapat diabaikan. Keadaan yang demikian ini menyebabkan potensial elektron tersaji dalam bentuk integral (Angelo, 2010). Secara analitik, potensial elektron pada atom dengan inti berukuran merupakan sebuah gangguan. Nilai gangguan yang ditimbulkan relatif kecil, mempertimbangkan ukuran dan muatan elektron. Oleh karenanya, metode pendekatan yang digunakan adalah teori gangguan.

Teori gangguan merupakan salah satu metode pendekatan dalam kuantum mekanik. Ruang lingkup teori gangguan tidak hanya sebatas tinjauan terhadap tingkat energi dasar tetapi juga tingkat energi tereksitasi. Teori gangguan berfungsi untuk menentukan solusi persamaan Schrödinger yang tidak dapat diselesaikan secara eksak. Gangguan dalam suatu sistem menyebabkan persamaan Schrödinger terbagi menjadi dua, yaitu bagian eksak dan bagian yang merupakan gangguan. Analisis teori gangguan meliputi penentuan koreksi energi serta fungsi gelombangnya (Winter, 1986).

Penggunaan teori gangguan dalam menentukan solusi suatu sistem komplek telah banyak digunakan. Namun, teori gangguan yang digunakan baru sampai koreksi energi orde 2 dan koreksi fungsi gelombang orde 1. Penurunan koreksi energi dan fungsi gelombang hingga orde tiga bertujuan untuk memperoleh nilai koreksi yang lebih akurat. Hasil analisis teori gangguan ini digunakan untuk

commit to user

inti berupa titik, dan atom dengan inti yang berukuran tertentu. Thallium, tungsten, dan indium merupakan atom bernomer berat yang banyak dimanfaatkan dalam bidang material. Secara lebih spesifik, Tungsten banyak diaplikasikan dalam bidang instrumentasi listrik. Penelitian secara kuantum terhadap ketiga atom tersebut telah banyak dilakukan. Namun, penelitian mengenai keseluruhan koreksi energi elektron di dalam atom-atom tersebut belum banyak dilakukan. Atom kromium, tembaga, dan molybdenum juga digunakan dalam penelitian ini karena ketiganya memiliki karakteristik penghasil sinar-x.

Nilai jari-jari inti suatu atom sangat berpengaruh dalam perhitungan koreksi energi. Hal ini ditunjukkan dengan adanya perbedaan kurva energi potensial untuk

inti berupa titik dan inti berukuran tertentu. Wolfram Mathematica 7 ® dapat

digunakan untuk memodelkan bentuk kurva energi potensial dari inti yang berupa titik dan inti yang berukuran tertentu. Permodelan tersebut digunakan untuk menganalisis besar hamiltonian pengganggu yang ada di dalam sistem.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut maka dapat dibuat rumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimanakah bentuk koreksi energi dan fungsi gelombang orde tiga?

2. Berapakah nilai koreksi energi orde satu, dua, dan tiga untuk atom thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga, dan kromium?

3. Bagaimanakah analisis hamiltonian pengganggu dengan kurva untuk atom thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga, dan kromium?

1.3 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini antara lain adalah:

1. Menentukan persamaan koreksi energi dan fungsi gelombang orde tiga.

2. Menentukan nilai koreksi energi orde satu, dua, dan tiga untuk atom thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga, dan kromium.

commit to user

thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga, dan kromium.

1.4 Batasan Masalah

Beberapa batasan yang perlu diberikan agar permasalahan menjadi terfokus antara lain adalah sebagai berikut:

1. Koreksi energi dan fungsi gelombang orde tiga ditentukan berdasarkan teori gangguan untuk keadaan non-degenarasi dan tak gayut waktu.

2. Koreksi energi orde satu, dua, dan tiga untuk atom thallium, tungsten, indium, molybdenum, tembaga, dan kromium dilakukan terhadap energi tingkat dasar

3. Kurva energi potensial dibuat menggunakan Wolfram Mathematica 7 ®

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah diketahuinya pengaruh ukuran jari-jari inti atom terhadap nilai hamiltonian pengganggunya. Koreksi energi yang diperoleh dapat digunakan sebagai informasi mengenai properti inti atom tersebut.

1.6 Sistematika Penelitian

Bab 1 penelitian ini berisi mengenai latar belakang dilakukannya penelitian, tujuan, rumusan masalah, batasan masalah, manfaat serta sistematika penulisan. Bab 2 berisi tentang teori yang dijadikan dasar penelitian ini. Pada bab 3 disampaikan mengenai metode yang digunakan, alokasi waktu dan tempat penelitian, serta prosedur kerja. Bab 4 membahas mengenai penurunan koreksi energi dan fungsi gelombang orde tiga, penentuan nilai koreksi untuk atom Thallium, Tungsten, dan Indium, serta permodelan kurva energi potensial menggunakan Wolfram Mathematica 7 ®. Bab 5 berisi tentang kesimpulan dan saran terhadap penelitian ini.

commit to user

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Schrödinger

Besaran-besaran yang terkait dengan gerak partikel ditentukan dengan pendekatan berbeda-beda di dalam mekanika kuantum. Fungsi gelombang digunakan untuk merepresentasikan dinamika partikel yang bergerak, yang diperoleh dari penyelesaian Persamaan Schrödinger dari partikel tersebut. Persamaan Schrödinger memainkan peran yang secara logika analog dengan pernyataan hukum II Newton.

Dasar penurunan persamaan Schrödinger berasal dari pembelajaran mengenai gelombang elektromagnet. Gelombang elektromagnet dihasilkan dari adanya perubahan medan elektromagnet di dalam ruang hampa. Kecepatan

perambatannya sama dengan kecepatan rambat cahaya yaitu 3.0 x 10 8 m/s. Secara

matematik, persamaan gelombang elektromagnet ditunjukkan oleh persamaan (2.1).

(2.1) Persamaan Schrödinger dapat dijabarkan berdasarkan prinsip-prinsip sebagai

berikut (Gasiorowicz, 1974): 1). Prinsip dualisme gelombang–partikel yang menyatakan bahwa perilaku

gelombang dari sebuah partikel disajikan dalam bentuk hubungan antara momentum linear, , dengan panjang gelombang .

(2.2) adalah tetapan Planck, sedangkan adalah angka gelombang atau vektor

gelombang yang nilainya setara dengan

2). Besarnya energi total dari sebuah partikel yang berperilaku sebagai

gelombang dapat dipandang sebagai energi gelombang gelektromagnetik atau cahaya. Setiap satu foton, energinya terkuantisasi sebesar , sebagaimana ditunjukkan oleh persamaan (2.3).

commit to user

(2.3) adalah frekuensi gelombang, sedangkan adalah frekuensi sudut yang nilainya setara dengan . 3). Besarnya energi total adalah jumlah total energi kinetik dan energi potensial suatu partikel, sebagaimana ditunjukkan oleh persamaan (2.4) hingga (2.7).

4). Persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum adalah persamaan energi

total seperti yang dinyatakan dalam mekanika klasik tetapi variable-variabel dalam mekanika klasik diubah menjadi operator dalam mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam mekanika klasik dengan operator dalam mekanika kuantum disebut prinsip korespondensi antara klasik dengan kuantum, dan persamaan Schrödinger adalah Hamiltonian dalam mekanika klasik.

Partikel berperilaku sebagai gelombang, sehingga persamaan gelombang elektromagnetik (2.1) dapat didiferensialkan terhadap variabel-variabelnya yaitu terhadap dan .

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

commit to user

(2.12)

(2.13)

Berdasarkan persamaan (2.13) dapat diketahui bahwa variabel momentum linear, , dalam mekanika klasik dapat diubah menjadi operator momentum linier dalam mekanika kuantum. Hal ini ditunjukkan oleh persamaan (2.16). Sedangkan operator energi kinetiknya ditunjukkan oleh persamaan (2.17) (Flügge, 1971).

Huruf menunjukkan suatu bilangan imajiner, yaitu √ . Pendiferensialan persamaan (2.1) terhadap variabel

menghasilkan persamaan (2.18). Kemudian

persamaan (2.18) dikalikan dengan sehingga menghasilkan persamaan (2.19).

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

commit to user

Dengan demikian dapat dituliskan persamaan Schrödinger untuk sebuah partikel bebas dalam sistem satu dimensi, yaitu arah sumbu , dalam mekanika kuantum sesuai persamaan (2.23).

(2.23)

2.2 Teori Gangguan untuk Keadaan Non-degenerasi

Terdapat beberapa kasus mekanika kuantum yang tidak dapat diselesaikan secara langsung karena bentuk sistem yang komplek. Metode pendekatan dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem tersebut. Teori gangguan (perturbation theory) merupakan salah satu metode pendekatan secara matematis yang berfungsi untuk mendeskripsikan sistem yang komplek menjadi lebih sederhana.

Teori gangguan dapat dikelompokkan menjadi dua bagian yaitu teori gangguan untuk keadaan non-degenerasi dan teori gangguan untuk keadaan terdegenerasi. Keadaan non-degenerasi dideskrispikan sebagai sistem yang memiliki energi berbeda untuk tiap tingkat energi berbeda. Sedangkan keadaan terdegenerasi adalah sistem yang memiliki energi sama untuk tingkat energi berbeda (Winter, 1986).

Persamaan Schrödinger (2.23) dapat dituliskan dalam bentuk persamaan (2.24) dengan asumsi bahwa Persamaan Schrödinger tak gayut waktu. Hamiltonian

mengandung suku-suku , yaitu Hamiltonian yang tidak

terganggu. Persamaan (2.25) menyatakan persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang yang eksak. Hamiltonian eksak diketahui sebagai

, dengan

adalah Hamiltonian penganggu. memiliki bentuk yang cukup

kompleks, sehingga digunakan metode pendekatan untuk menentukan penyelesaiannya (Winter, 1986).

(2.24) (2.25)

commit to user

sebagai faktor penentu adanya gangguan. Ketika

bernilai 1, maka menggambarkan

adanya gangguan pada sistem. Sedangkan ketika bernilai 0 berarti sistem tidak terganggu. Penggunaan asumsi bahwa berubah secara kontinu dari satu ke nol,

maka fungsi gelombang dan energi, dan , berubah secara halus menuju fungsi gelombang dan energi yang tidak terganggu, dan .

(2.26) dan diasumsikan sebagai deret pangkat tinggi dari yang dinyatakan

oleh persamaan (2.27). merupakan koreksi energi orde satu terhadap tingkat energi ke- dan

merupakan koreksi fungsi gelombang orde satu fungsi gelombang ke- . dan adaah koreksi energi dan fungsi gelombang orde

dua, dan demikian seterusnya.

(2.27) Persamaan (2.28) merupakan hasil substitusi persamaan (2.27) ke persamaan

(2.24). Koefisien dari pangkat yang sama dikelompokkan agar diperoleh

persamaan (2.29), (2.30), (2.31), dan (2.32). Persamaan (2.29) adalah persamaan

energi sistem untuk keadaan tidak terganggu, yaitu koefisien untuk . Sedangkan

(2.30), (2.31), dan (2.32) secara berturut-turut adalah persamaan untuk

menentukan koreksi orde satu, dua, dan tiga, yaitu koefisien untuk , , dan . =

( )(

(2.28) (2.29)

(2.30) (2.31) (2.32)

commit to user

Koreksi energi orde satu dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan (2.30) dengan . Hasil perkalian tersebut ditunjukkan oleh

persamaan (2.33). Persamaan (2.33) diintegralkan sehingga diperoleh persamaan

(2.34). 〈 〉 pada persamaan (2.34) dapat dituliskan seperti pada

persamaan (2.35) dengan asumsi bahwa merupakan hermitian (Skylaris, 2006).

Hasil substitusi persamaan (2.35) ke (2.34) menghasilkan persamaan (2.36). Sebagaimana diketahui 〈 〉 bernilai nol, dan 〈 〉 bernilai satu. Persamaan (2.36) disebut sebagai koreksi energi orde satu.

(2.36)

2.2.2 Koreksi Fungsi Gelombang Orde Satu

Koreksi orde satu terhadap fungsi gelombang dapat diperoleh dengan cara menuliskan persamaan (2.30) menjadi persamaan (2.37). Kemudian mensubtitusikan basis fungsi gelombang yang tidak terganggu, persamaan (2.38),

ke dalam persamaan (2.37). Persamaan (2.39) dikalikan dengan , kemudian diintegralkan sehingga diperoleh persmaan (2.40) (Skylaris, 2006).

(2.37)

(2.38)

commit to user

∑ (2.39)

(2.40)

Bila nilai sama dengan , maka ruas kiri akan menjadi nol dan diperoleh bentuk persamaan seperti (2.36). Bila

tidak sama dengan , dan sama dengan maka persamaan (2.40) berubah menjadi persamaan (2.41). Nilai

pada persamaan (2.42) disubtitusikan ke persamaan (2.38). Hasil akhir yang ditampilkan pada persamaan (2.43) merupakan koreksi fungsi gelombang orde satu.

2.2.3 Koreksi Energi Orde Dua

Koreksi energi orde dua diperoleh dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti penurunan koreksi energi orde satu. Persamaan (2.31) dikalikan

dengan , lalu diintegralkan sehingga diperoleh persamaan (2.44).

merupakan hermitian, sehingga persamaa (2.44) dapat disederhanakan menjadi

persamaan (2.45). 〈 〉 dan 〈 〉 bernilai nol, sedangkan 〈 〉

bernilai satu. Bentuk koreksi energi orde dua, persamaan (2.46), diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan (2.43) ke dalam (2.45) (Winter, 1986).

commit to user

2.2.4 Koreksi Fungsi Gelombang Orde Dua

Koreksi fungsi gelombang orde dua diperoleh dengan langkah yang sama seperti penurunan koreksi fungsi gelombang orde satu. Persamaan (2.38) sebagai basis fungsi gelombang tidak terganggu dituliskan menjadi persamaan (2.47),

dengan nilai yang harus ditentukan terlebih dahulu. Persamaan (2.47)

disubtitusikan ke dalam persamaan (2.48) yang merupakan bentuk lain dari persamaan (2.31) (Winter, 1986).

(2.47)

(2.48) Persamaan (2.47) dan hasil koreksi fungsi gelombang orde satu disubtitusikan

ke dalam persamaan (2.48). Hasil subtitusi tersebut dikalikan dengan ,

kemudian diintegralkan sehingga diperoleh persamaan (2.50). Bila nilai

sama

dengan , maka ruas kiri akan menjadi nol dan diperoleh bentuk persamaan seperti (2.46). Bila tidak sama dengan , dan sama dengan , maka persamaan

(2.50) berubah menjadi persamaan (2.51). Nilai pada persamaan (2.52)

disubtitusikan ke persamaan (2.48). Hasil akhir yang ditampilkan pada persamaan (2.53) merupakan koreksi fungsi gelombang orde dua.

commit to user

(2.49)

〈 〉∑

(2.50)

〈 〉∑

(2.51)

〈 〉〈 〉

(2.52)

commit to user

2.3 Atom dengan Inti Berukuran Tertentu

Asumsi inti berupa titik kurang real untuk diterapkan pada atom bernomor besar, yaitu atom dengan jumlah proton yang besar. Hal ini dikarenakan gaya elektrostatis yang terjadi di dalam inti berpengaruh terhadap energi elektron di luar inti, sehingga tidak dapat diabaikan. Perhitungan kuantitatif untuk inti yang berukuran tertentu memerlukan suatu bentuk distribusi muatan inti (Flügge, 1971). Asumsi yang digunakan adalah bahwa ini merupakan bola bermuatan yang terdistribusi secara seragam dengan jari-jari dan muatan total . Rapat muatan listrik dari inti dituliskan sesuai persamaan (2.54) dan (2.55).

⁄ (2.54) (2.55)

Persamaan (2.56) dan (2.57) menunjukkan besarnya medan listrik yang ditimbulkan oleh adanya suatu yang bermuatan. Berdasarakan Hukum Gauss, energi potensial elektron yang berada di sekitar inti tersebut ditunjukkan oleh persamaan (2.56) dan (2.57). Persamaan (2.56) menyatakan energi potensial elektron untuk nilai

yang kurang dari atau sama dengan . Sedangkan

persamaan (2.57) menyatakan energi potensial elektron untuk nilai yang lebih

besardari (Flügge, 1971). pada persamaan tersebut senilai dengan

(2.56)

(2.57)

commit to user

hamiltonian yang tidak terganggu, , didefinisikan pada persamaan (2.59).

Hamiltonian pengganggu, , merupakan selisih dari hamiltonian eksak dengan

hamiltonian yang tidak terganggu. dituliskan sesuai persamaan (2.60) yang merupakan bentuk lain dari persamaan (2.26). Nilai

tereliminasi sehingga diperoleh persamaan (2.61).

Nilai hamiltonian pengganggu untuk nilai yang kurang dari atau sama

dengan berbeda dengan nilai hamiltonian penganggu untuk yang lebih besar dari . Hal ini dikarenakan nilai potensial yang berbeda untuk kedua jenis keadaan tersebut. Persamaan (2.63) menunjukkan bentuk hamiltonian penganggu untuk nilai

yang kurang dari atau sama dengan . Persamaan (2.65) menunjukkan bentuk hamiltonian untuk nilai yang lebih dari .

Thallium (Tl) merupakan unsur kimia yang memiliki nomer atom 81. Thallium termasuk golongan IIIA dalam sistem periodik unsur. Terdapat dua isotop dari thallium yaitu dengan berat atom 203 dan 205. Thallium banyak

commit to user

itu, Thallium juga ditemukan pada peleburan biji timbal (Pb) dan seng (Zn).

Beberapa penelitian thallium secara kuantum bertujuan untuk menentukan pengaruh elektronnya dalam bentuk halida. Perhitungan nilai interaksinya diturunkan berdasarkan teori gangguan yang mampu menganalisis adanya simpangan ikatan di dalam thallium halida tersebut (Schwerdtfeger dan Ischtwan, 1993). Penelitian lainnya menganalisis mengenai adanya pemisahan spin elektron pada thallium. Teori gangguan mampu digunakan untuk menginvestigasi jarak pemisahan elektron tersebut (Wahlgren, et.al; 1997).

2.3.2 Tungsten

Tungsten (W) merupakan unsur kimia bernomer atom 74 yang memiliki lima isotop yang stabil dengan berat massa antara lain 180, 182, 183, 184, dan 186. Tungsten yang sering disebut dengan wolfram, termasuk golongan VIB dalam sistem periodik unsur. Tungsten ditemukan pada mineral tungstenit, scheelit, huebnertie, dan ferberit. Pemanfaatan tungsten sangat luas, antara lain sebagai bahan pembuatan filamen pada lampu pijar, tabung elektron, dan televisi. Selain itu tungsten juga digunakan dalam kegiatan pertambangan dan industri (Christian, 2006).

Penelitian mengenai tungsten banyak dilakukan, antara lain meliputi efek ionisasi elektronnya, fotoionisasi, dan autoionisasinya. Analisis secara kuantum dilakukan dengan teori gangguan untuk menentukan nilai koreksi energi eksitasinya. Penelitian tungsten dan propertinya sangat menarik bagi para peneliti karena nomer atomnya yang besar sehingga memiliki beberapa tingkatan energi untuk dianalisis (Abdallah, et.al; 1992).

2.3.3 Indium

Indium (In) adalah unsur kimia golongan IIIA bernomer atom 49 yang memiliki dua isotop dengan berat atom 113 dan 115. Indium banyak ditemukan pada bijih besi, tembaga, dan timbal. Secara kimia, indium hampir sama dengan galium dan thallium, dan menunjukkan properti di antara keduanya. Indium biasa dimanfaatkan dalam bentuk senyawa dengan atom lain. Indium Florida (InF),

commit to user

dalam metode penumbuhan material (Cardelino, et.al; 2000). Penelitian mengenai indium secara kuantum telah banyak banyak dilakukan dalam usaha untuk mempelajari properti skala atom. Salah satunya adalah mengenai efektivitas pita konduksi ketika dipengaruhi medan magnet. Medan magnet yang kecil berpengaruh terhadapmobilitas elektron di dalam atom. Analisis dalam skala atom tersebut menggunakan teori gangguan (Ogg, 1966).

commit to user

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilakukan di Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penelitian dilakukan mulai bulan Agustus-Desember 2011.

3.2 Peralatan Penelitian

Seperangkat laptop ASUS 1215P dengan software Wolfram Mathematica 7 ® .

3.3 Metode Penelitian

Studi Literatur

Penentuan Koreksi Energi dan Fungsi

Gelombang Orde Tiga

Penulisan Persamaan Koreksi Energi dan

Fungsi Gelombang Orde Dua

Penulisan Persamaan Koreksi Energi dan

Fungsi Gelombang Orde Satu

Penentuan Koreksi Energi dan Thalium,

Wolfram, dan Indium

Permodelan Wolfram Mathematica 7 ®

Analisis

Gambar 3.1. Bagan Prosedur Penelitian

commit to user

oleh Gambar 3.1. Tahapan pertama adalah studi literatur terkait teori gangguan yang tidak gayut waktu untuk keadaan non-degenerasi. Selanjutnya adalah penulisan persamaan koreksi energi dan fungsi gelombang untuk orde satu dan dua. Tahap keempat adalah penentuan koreksi energi dan fungsi gelombang orde tiga. Koreksi energi dan fungsi gelombang orde satu, dua, dan tiga diaplikasikan pada atom Thalium, Wolfram, dan Indium. Hasil perhitungan dibuat permodelannya menggunakan Wolfram Mathematica 7 ® , kemudian dianalisis.

3.3.1 Studi Literatur

Studi literatur dilakukan untuk menurunkan persamaan koreksi energi dan fungsi gelombang orde satu dan dua. Persamaan tersebut diekspansi dari persamaan Schrödinger (2.24) dengan menggunakan asumsi adanya hamiltonian pengganggu sesuai persamaan (2.26). Hasil penjabaran dikelompokkan dalam koefisien-koefisien dengan pangkat yang sama. Persamaan untuk sistem yang tidak terganggu dituliskan pada persamaan (2.29).

Koreksi energi dan fungsi gelombang orde satu dijabarkan menggunakan dasar persamaan (2.30). Koreksi energi diperoleh dari hasil manipulasi matematis. Koreksi fungsi gelombang dapat ditentukan setelah koreksi energi diperoleh. Koreksi energi dan fungsi gelombang orde satu menjadi dasar penentuan koreksi energi dan fungsi gelombang orde dua. Langkah-langkah yang digunakan sama seperti pada penentuan koreksi energi dan fungsi gelombang orde satu.

3.3.2 Koreksi Energi dan Fungsi Gelombang Orde Tiga

Koreksi energi orde tiga diperoleh dengan menggunakan dasar persamaan (2.32), yaitu koefisien dari pangkat tiga. Langkah penurunannya sama seperti penurunan koreksi energi orde satu dan dua, yaitu sebagai berikut:

1. Mengalikan persamaan (2.32) dengan .

2. Mengintegralkan hasil perkalian tersebut dan menuliskan dalam persamaan (2.34) atau (2.44).

commit to user

〈 〉 bernilai nol, sedangkan 〈 〉 bernilai satu, sehingga diperoleh persamaan dengan bentuk sesuai persamaan (2.36) atau (2.45).

4. Mensubtitusikan nilai , yaitu koreksi fungsi gelombang orde dua yang telah dituliskan pada persamaan (2.53)

Koreksi fungsi gelombang orde tiga diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menuliskan persamaan (2.32) menjadi seperti bentuk persamaan (2.37), yaitu dikelompokkan sesuai fungsi gelombangnya.

2. Mensubtitusikan variabel-variabel yang telah diketahui ke dalam persamaan pada langkah satu. Variabel tersebut antara lain koreksi energi orde 1, ; koreksi fungsi gelombang orde 1, ; koreksi energi orde dua, ; dan

koreksi fungsi gelombang orde dua, .

3. Menentukan basis fungsi gelombang yang tidak terganggu, , sebagaimana persamaan (2.38) atau (2.47).

4. Mensubtitusikan hasil pada langkah tiga ke dalam hasil pada langkah dua.

5. Mengalikan hasil pada langkah empat dengan suatu variabel

, kemudian mengintegralkan hasil perkalian tersebut.

6. Menentukan nilai , yaitu konstanta yang muncul pada langkah tiga.

7. Mensubtitusikan ke dalam persamaan dalam langkah 2.

3.3.3 Koreksi Energi Orde Satu Terhadap Tingkat Dasar

Koreksi energi orde satu untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum dilakukan terhadap energi tingkat dasar. Langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:

a. Penentuan bentuk koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar

1). Menuliskan bentuk persamaan koreksi energi orde satu, persamaan (2.36), menjadi bentuk koreksi terhadap tingkat dasar, persamaan (3.1). Fungsi

commit to user

, dengan adalah total massa elektron (Beiser, 1999).

2). Menghitung nilai ∫ dan ∫ sebagaimana ditunjukkan oleh persamaan (3.5) dan (3.7).

3). Mensubtitusikan persamaan (3.5) dan (3.7) ke dalam persamaan (3.2), sehingga diperoleh persamaan (3.8).

(3.8)

4). Mensubtitusikan nilai hamiltonian pengganggu, persamaan (2.63), dan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.8), sehingga diperoleh persamaan (3.9).

(3.9)

(3.10)

(3.11)

commit to user

5). Nilai

dianggap sebagai satu satuan karena fraksi kecil distribusi terletak di dalam , dengan

6). Menyelesaikan pengintegralan persamaan (3.11) sehingga diperoleh persamaan (3.17).

7). Sebagaimana telah disebutkan pada sub bab 2.3 bahwa nilai adalah sama dengan

. Subtitusi

dan pada persamaan (3.17) menghasilkan persamaan (3.18) dan (3.19).

merupakan persamaan untuk energi atom pada tingkat dasar, . Energi atom hidrogen

adalah , sehingga untuk energi atom lain dapat dihitung dari hasil perkalian kuadarat nomer atom, dengan

commit to user

dasar, dengan nilai dan tergantung pada jenis atom. 10). Nilai pada atom hidrogen adalah , sehingga nilai untuk atom lain dapat diperoleh dari hasil pembagian

dengan nomer atom tersebut. 11). Nilai diperoleh dari persamaan (3.21), dengan nilai adalah

Variabel adalah jumlah dari proton dan elektron pada atom.

⁄ (3.21)

b. Perhitungan nilai koreksi energi atom

Langkah perhitungan koreksi energi orde satu untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum adalah sebagai berikut: 1). Menentukan nilai 2). Menentukan nilai . 3). Menentukan energi tingkat dasar,

untuk thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum. 4). Mensubtitusikan nilai , , dan ke dalam persamaan (3.20).

Perhitungan koreksi energi atom thallium diperoleh dua nilai karena terdapat dua nilai , demikian juga pada atom indium. Sedangkan atom tungsten dan kromium memiliki lima nilai R karena Tungsten memiliki lima isotop, yang berarti memiliki lima jenis berat atom. Atom tembaga memiliki tiga isotop, dan molybdenum memiliki tujuh isotop.

3.3.4 Koreksi Energi Orde Dua Terhadap Tingkat Dasar

Koreksi energi orde dua untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum dilakukan terhadap energi tingkat dasar. Langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:

a. Penentuan bentuk koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar

commit to user

menjadi bentuk koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar, persamaan (3.24).

2). Menghitung terlebih dahulu nilai 〈 〉, dengan nilai

ditunjukkan oleh persamaan (3.25). 3). Persamaan (3.26) merupakan penurunan dari persamaan (3.25) yang telah dihitung nilai ∫ dan ∫ .

4). Nilai

pada persamaan (3.28) dianggap sebagai satu satuan karena fraksi kecil distribusi terletak di dalam , dengan

5). Mensubtitusikan nilai hamiltonian pengganggu, persamaan (2.63) ke

dalam persamaan (3.29), sehingga diperoleh persamaan (3.30). 6). Menyelesaikan pengintegralan persamaan (3.30) sehingga diperoleh persamaan (3.35).

commit to user

7). Mensubtitusikan nilai dan ke dalam persamaan (3.35) menghasilkan persamaan (3.36) dan (3.38).

8). Persamaan (3.38) dimasukkan kembali ke persamaan (3.24) sehingga diperoleh persamaan (3.39).

(√

))

(3.39)

(√

))

(3.40)

commit to user

dasar, dengan nilai dan tergantung pada jenis atom. 10). Nilai dan ditentukan sebagaimana perhitungan pada koreksi energi orde satu. 11). Nilai

ditentukan oleh persamaan (3.40) dan (3.41). Sebagaimana diketahui bahwa nilai

adalah , maka persamaan (3.41) dapat dituliskan menjadi (3.42).

b. Perhitungan nilai koreksi energi atom

Langkah perhitungan koreksi energi orde dua untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum sama seperti langkah perhitungan koreksi energi orde satu.

3.3.5 Koreksi Energi Orde Tiga Terhadap Tingkat Dasar

Koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum diperoleh dengan langkah yang sama sebagaimana koreksi energi terhadap tingkat dasar orde satu dan dua. Penurunannya lebih komplek dikarenakan bentuk persamaan koreksi energi orde tiga juga komplek. Persamaan koreksi energi orde tiga dijabarkan pada Lampiran

1 dan dijelaskan di pembahasan.

3.3.6 Permodelan Wolfram Mathematica 7 ® Permodelan kurva energi potensial untuk atom thallium, tungsten, indium, kromium, tembaga, dan molybdenum dilakukan menggunakan Wolfram Mathematica 7 ® . Hasil permodelan ini adalah berupa adanya selisih antara kurva

commit to user

pembuatan kurva adalah sebagai berikut:

1. Menggunakan dasar persamaan (2.56) dan (2.57), menentukan nilai untuk masing-masing isotop pada atom.

2. Mendefiniskan nilai , yaitu nomer atom.

3. Mendefiniskan yang senilai dengan

4. Membuat plot untuk persamaan (2.56) dengan range dari sampai , serta membuat plot untuk persamaan (2.57) dengan range dari sampai 20 .

5. Membuat plot untuk persamaan (2.57) dengan range dari 0 sampai R.

6. Menggabungkan kedua plot dari langkah empat dan lima. Permodelan kurva energi potensial ini menghasilkan beberapa plot untuk setiap atom tergantung isotopnya.

commit to user

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Koreksi Energi Orde Tiga

Penurunan persamaan koreksi energi orde tiga dimulai dengan mengalikan persamaan (2.32) dengan . Persamaan (4.1) diintegralkan, sehingga diperoleh persamaan (4.2). Nilai 〈 〉 dapat dituliskan sebagai

〈 〉 sesuai penurunan pada persamaan (4.3) karena merupakan hermitian.

Konsekuensi dari persamaan (4.3) adalah nilai 〈 〉 di ruas kiri dan kanan saling meniadakan.

(4.5) Nilai 〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 pada persamaan (4.4) adalah nol,

sedangkan nilai 〈 〉 adalah sama dengan satu. Persamaan (4.5) merupakan koreksi energi orde dua secara umum. Persamaan (4.5) mengandung variabel ,

commit to user

(2.53), sehingga meghasilkan persamaan (4.6).

4.2 Koreksi Fungsi Gelombang Orde Tiga

Koreksi fungsi gelombang orde tiga dijabarkan dari persamaan (2.32) yang dituliskan dalam bentuk persamaan (4.7). Koefisien dari fungsi gelombang yang

sama dikelompokkan menjadi satu. dapat dituliskan sebagai yaitu energi

sistem yang tidak terganggu. Selanjutnya mensubtitusi koreksi fungsi gelombang

orde dua, , dengan persamaan (2.53). Koreksi gelombang orde satu, , disubtitusi dengan persamaan (2.43).

pada persamaan (4.9) memiliki nilai yang sama dengan

〉〈

pada persamaan (4.10). Demikian juga bentuk

〉〈

dan

pada persamaaan (4.9) adalah

commit to user

serupa dengan

) dan

pada persamaan (4.10). Perubahan indeks dari

ke dimaksudkan untuk membedakan indeks yang

muncul saat penuruanan lebih lanjut. Hal ini serupa dengan perubahan indeks yang dilakukan dalam menurunkan koreksi fungsi gelombang orde dua.

Langkah selanjutnya adalah menuliskan basis fungsi gelombang tidak terganggu seperti ditunjukkan pada persamaan (4.11). Bentuk persamaan (4.11)

diperoleh dari analogi persamaan (2.38) dan (2.47). Nilai pada persamaan (4.11) berbeda dengan nilai pada persamaan (2.38) dan (2.47), oleh

karenanya harus ditentukan terlebih dahulu. Koreksi fungsi gelombang orde

tiga, , dapat diperoleh jika nilai diketahui. Terdapat beberapa langkah dalam menentukan , yang pertama adalah mensubtitusikan persamaan (4.11)

commit to user

dengan lalu diintegralkan, sehingga diperoleh persamaan (4.14)

(4.11)

(∑ ∑

〈 〉〈 〉

(4.12)

〉 (∑ ∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

(4.13)

〉∑∑

〈 〉〈 〉

〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

(4.14)

commit to user

〉∑∑

〈 〉〈 〉

〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

(4.15)

〈 〉 〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

(4.16)

〈 〉 〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

(4.17)

commit to user

maka ruas kiri akan menjadi nol dan diperoleh bentuk persamaan koreksi energi orde tiga. Bila tidak sama dengan , dan sama dengan , maka persamaan

(4.17) berubah menjadi persamaan (4.18). Nilai 〈 〉 sama dengan satu,

sedangkan nilai 〈 〉 sama dengan nol.

dan , yang merupakan

koreksi energi orde satu dan dua, pada persamaan (4.18) disubtitusi dengan persamaan (2.36) dan (2.46).

〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

∑∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

(4.18)

〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑∑

〈 〉〈 〉 ( )

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

〈 〉∑

〈 〉〈 〉

(4.19)

commit to user

∑∑

〈 〉〈 〉〈 〉

∑∑

〈 〉〈 〉〈 〉

(4.20)

∑∑

〈 〉〈 〉〈 〉 〈 〉

〈 〉〈 〉〈 〉 〈 〉 ( )

(4.21)

∑∑

〈 〉〈 〉〈 〉 〈 〉 ( )

(4.22)

∑∑

〈 〉〈 〉〈 〉 〈 〉

〈 〉〈 〉〈 〉 〈 〉 ( )

(4.23)

commit to user

sehingga diperoleh persamaan (4.25). Persamaan (4.25) disebut sebagai koreksi fungsi gelombang orde tiga.

4.3 Koreksi Energi Thalium

Thallium merupakan atom golongan IIIA dengan nomer atom 81. Thallium memiliki dua buah isotop dengan berat atom 203 dan 205. Nilai berat atom ini berpengaruh pada nilai jari-jari inti sebagaimana dirumuskan oleh persamaan (3.21). Oleh karena itu terdapat dua perhitungan untuk setiap orde koreksi energi. Dalam penelitian ini, koreksi energi orde satu, dua, dan tiga untuk atom thallium dilakukan terhadap tingkat energi dasar

4.3.1. Koreksi Energi Orde Satu Thallium

Koreksi energi orde satu secara umum ditunjukkan pada persamaan (2.36), sedangkan koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar ditunjukkan oleh

commit to user

dilakukan dengan menentukan nilai , , dan energi tingkat dasar,

. Nilai ketiga variabel tersebut berbeda-beda untuk setiap atom.

Nilai untuk atom thallium dengan isotop 203 dan 205, masing-masing adalah

dan

. Sedangkan nilai dan nya adalah dan . Hasil subtitusi variabel-variabel tersebut ke

persamaan (3.20) menghasilkan nilai koreksi energi orde satu terhadap tingkat

dasar, , untuk atom thallium sebesar . Hal ini berarti bahwa besarnya

koreksi orde satu yang terdapat pada hasil eksak untuk energi tingkat dasar adalah sebesar

. Hasil koreksi untuk kedua isotop adalah sama, hal ini dikarenakan

nilai untuk kedua isotop hanya selisih nilai cukup kecil pada skala fermi.

4.3.2. Koreksi Energi Orde Dua Thallium

Koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar, , ditunjukkan pada

persamaan (3.39) yang merupakan bentuk penjabaran dari persamaan (2.46). Variabel yang muncul pada persamaan (3.39) hampir sama dengan variabel pada penentuan koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar, kecuali adanya nilai

. Nilai merupakan selisih energi tingkat dasar dengan tingkat energi di atasnya. untuk atom thallium bernilai .

Perhitungan koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar atom thallium menunjukkan hasil yang sama untuk kedua isotop, yaitu sebesar

Nilai koreksi energi orde dua jauh lebih kecil dari hasil koreksi energi orde satu. Halini sesuai dengan teori bahwa semakin tinggi orde koreksi maka keakuratannya akan semakin tinggi.

4.3.3. Koreksi Energi Orde Tiga Thallium

Koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar diperoleh beradasarkan penurunan pada Lampiran 1. Koreksi energi orde tiga terhadaptingkat dasar untuk atom thallium diperoleh dengan menghitung beberapa variabel terlebih dahulu.

〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 untuk atom thallium berturut- turut adalah

, , dan . Niloai koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom thallium adalah

. Nilai tersebut jauh lebih

kecil jika dibandingkan dengan nilai koreksi energi orde satu dan orde dua.

commit to user

dasar untuk atom thallium disertakan dalam Lampiran 2.

4.4 Koreksi Energi Tungsten

Tungsten bernomor atom 74, merupakan atom golongan VIB, yang memiliki lima buah isotop dengan berat atom 180,182, 183, 184, dan 186. Meskipun memiliki lima buah isotop, akan tetapi dari hasil perhitungan hanya diperoleh dua buah nilai . Hal ini dikarenakan nilai untuk isotop 182, 183, 184, dan 186 adalah sama. Oleh karenanya terdapat dua perhitungan untuk masing-masing koreksi energinya. Perhitungan nilai koreksi energi orde satu, dua, dan tiga terhadap tungkat dasar untuk atom tungsten disertakan pada Lampiran 3.

4.4.1. Koreksi Energi Orde Satu Tungsten

Sebagaimana thallium, perhitungan koreksi energi orde satu, , atom

tungsten dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan nilai , , dan energi

tingkat dasar, . Nilai

untuk atom thallium dengan isotop 180 dan 182, masing-masing adalah

dan

. Sedangkan nilai dan

nya adalah dan . Hasil subtitusi variabel-variabel tersebut

ke persamaan (3.20) menghasilkan nilai koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar untuk atom tungsten sebesar

4.4.2. Koreksi Energi Orde Dua Tungsten

Nilai untuk atom tungsten bernilai . Perhitungan koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar, , atom tungsten menghasilkan nilai untuk isotop 180. Isotop 182, 183, 184, dan 186 menghasilkan

koreksi orde dua yang sama dengan isotop 180. Sebagaimana thallium, koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar untuk atom tungsten lebih kecil dari koreksi energi orde satu nya.

4.4.3. Koreksi Energi Orde Tiga Tungsten

Koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom tungsten diperoleh dengan langkah yang sama seperti pada perolehan untuk atom thallium. Namun,

nilai 〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 berbeda karena nilai

commit to user

atom tungsten adalah

4.5 Koreksi Energi Indium

Indium berada satu golongan dengan thallium, yaitu IIIA, dengan nomer atom

49. Indium memiliki dua buah isotop dengan berat atom 113 dan 115. Dua buah isotop ini mengindikasikan adanya dua nilai yang berbeda, sehingga terdapat dua perhitungan untuk masing-masing orde koreksi. Perhitungan koreksi energi terhadap tingkat dasar untuk atom indium, secara lengkapi ditampilkan pada Lampiran 4.

4.5.1. Koreksi Energi Orde Satu Indium

Penentuan nilai , , dan dilakukan dengan langkah yang sama dengan kedua atom sebelumnya. untuk berat atom 133 adalah

, sedangkan untuk berat atom 114 adalah

. Nilai dan untuk indium secara berturut-turut yaitu

dan . Hasil perhitungan

menunjukkan nilai koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar untuk atom indium adalah

. Kedua buah isotopnya memiliki nilai koreksi yang sama. Dibandingkan dengan koreksi orde satu terhadap tingkat dasar untuk atom

thallium dan tungsten, koreksi energi orde satu atom indium lebih kecil. Fakta ini mengindikasikan bahwa semakin kecil ukuran suatu atom, yang ditunjukkan dengan semakin kecil nomer atomnya, maka semakin kecil koreksi yang diperoleh. Atom dengan nomer yang lebih kecil, memiliki jumlah elektron yang lebih sedikit, dengan demikian gangguan dari gaya tarik antar elektron lebih kecil.

4.5.2. Koreksi Energi Orde Dua Indium

Selisih nilai energi tingkat dasar dengan tingkat energi di atasnya, , untuk atom indium adalah

. Perhitungan koreksi energi orde dua

terhadap tingkat dasar untuk kedua isotop indium juga menampilkan hasil yang sama, yaitu

. Nilai tersebut lebih kecil jika dibandingkan dengan

koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar untuk atom thallium dan tungsten. Analisisnya sama seperti pada koreksi energi orde satu, yaitu pengaruh dari ukuran atom.

commit to user

Koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom indium ditampilkan pada Lampiran 4. Hasil yang diperoleh adalah

Hasil

ini jauh kebih kecil dibandingkan dengan koreksi energi orde satu dan dua terhadap tingkat dasar untuk atom indium, dan juga lebih kecil koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom thallium dan tungsten. Sebagaimana analisis sebelumnya, hal ini dipengaruhi oleh ukuran atomnya.

4.6 Koreksi Energi Molybdenum

Koreksi energi molybdenum orde satu, dua, dan tiga terhadap tingkat dasar ditampilkan pada Lamipran 5. Molybdenum memiliki tujuh buah isotop dengan nomer atom 42. Ketujuh buah isotop yang dimiliki molybdenum menghasilkan tiga jenis nilai .

4.6.1 Koreksi Energi Orde Satu Molybdenum

Nilai untuk berat atom 92 adalah . Sedangkan untuk berat atom 94, 95, 96, 97, dan 98 memiliki nilai yang sama yaitu

. Berat atom 100 menghasilkan nilai jari-jari inti sebesar

. Nilai dan untuk atom molybdenum masing-masing adalah

dan .

Koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar untuk berat atom 92 yaitu

, sedangkan untuk berat atom yang lain memiliki nilai sama yaitu

4.6.2 Koreksi Energi Orde Dua Molybdenum

Penentuan koreksi energi orde dua atom molybdenum dilakukan dengan langkah yang sama seperti atom sebelumnya. Selisih energi tingkat satu dan dua untuk atom molybdenum adalah

. Koreksi energi orde dua untuk atom molybdenum menghasilkan nilai

. Nilai koreksi semakin mengecil seiring bertambahnya orde koreksi serta berkurangnya ukuran atom.

4.6.3 Koreksi Energi Orde Tiga Molybdenum

Koreksi energi orde tiga diperoleh dengan menentukan 〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 terlebih dahulu. Selain itu ditentukan pula nilai

selisih energi tingkat pertama dan ketiga, . Nilai

untuk atom molybdenum adalah

. Nilai-nilai variabel tersebut disubtitusikan ke

commit to user

orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom molybdenum, , adalah

4.7 Koreksi Energi Tembaga

Tembaga (Cu) merupakan atom golongan IB yang bernomer atom 29 dan memiliki isotop tiga buah dengan berat atom 63, 64, dan 65. Koreksi energi orde satu, dua, dan tiga untuk atom tembaga dilakukan terhadap tingkat dasar. Perhitungan selengkapnya ditampilkan pada Lampiran 6.

4.7.1 Koreksi Energi Orde Satu Tembaga

Penentuan nilai , , dan dilakukan dengan langkah yang sama dengan

atom-atom sebelumnya. Nilai untuk ketiga isotop yang dimiliki tembaga adalah sama yaitu

. Nilai dan

nya adalah

dan . Koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar untuk atom tembaga diperoleh dengan mensubtitusikan nilai , , dan ke dalam persamaan koreksi

energi orde satu terhadap tingkat dasar. Hasil perhitungan koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar atom tembaga menunjukkan nilai

4.7.2 Koreksi Energi Orde Dua Tembaga

Koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar untuk atom tembaga adalah . Nilai ini diperoleh dengan mensubtitusikan variabel , , , dan ke dalam persamaan koreksi energi orde dua terhadap tungkat dasar. Sebelumnya nilai , yang merupakan selisih energi tingkat pertama dan kedua, telah dihitung yaitu

. Sebagaimana atom-atom yang lain,nilai

kreksi energi orde dua selalu lebih kecil dibanding dengan koreksi energi ode satunya.

4.7.3 Koreksi Energi Orde Tiga Tembaga

Nilai 〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 untuk atom tembaga secara berurutan adalah

, dan

. Ketiga nilai

tersebut dimasukkan ke dalam persamaan koreksi energi orde tiga terhaap tingka dasar. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar untuk atom tembaga adalah

. Sebelumnya telah

commit to user

4.8 Koreksi Energi Kromium

Kromium merupakan atom golongan VIB, satu golongan dengan tungsten dan molybdenum. Kromium memiliki lima buah isotop dengan berat atom 48, 50, 52,

53, dan 54. Nomer atom kromium yaitu 24, yang merupakan atom terkecil yang digunakan dalam penelitian ini. Hasil perhitungan untuk koreksi energi orde satu, dua, dan tiga terhadap tingkat dasar untuk atom kromium ditunjukkan pada Lampiran 7.

4.8.1 Koreksi Energi Orde Satu Kromium

Kelima isotop yang dimiliki kromium menghasilkan dua jenis nilai , yaitu

dan

. Nilai dan

nya adalah

dan . Koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar atom kromium untuk kedua jenis nilai adalah sama yaitu

. Nilai paling kecil dibandingkan

dengan koreksi energi orde satu terhadap tingkat dasar untuk atom thallium, tungsten, indium, molybdenum, maupun tembaga.

4.8.2 Koreksi Energi Orde Dua Kromium

Hasil perhitungan koreksi energi orde dua terhadap tingkat dasar untuk atom kromium menunjukkan hasil

. Nilai ini diperoleh dengan terlebih

dahulu menentukan hasil perhitungan untuk . Nilai

untuk atom kromium adalah

. Koreksi energi orde dua kromium nilainya lebih

kecil dibanding dengan koreksi energi orde satu atom kromium dan lebih kecil dibanding dengan koreksi energi orde dua untuk atom-atom sebelumnya.

4.8.3 Koreksi Energi Orde Tiga Kromium

Nilai 〈 〉, 〈 〉, dan 〈 〉 untuk atom kromium yaitu

, dan

. Selisish energi tingkat pertama dan ketiga untuk atom kromium adalah

. Nilai-nilai tersbut disubtitusikan

ke dalam persamaan koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar. Hasil yang diperoleh untuk koreksi energi orde tiga terhadap tingkat dasar atom kromium yaitu

commit to user

Wolfram Mathematica 7 ® merupakan sebuah software untuk alat bantu

TEORI GANGGUAN UNTUK MENENTUKAN KOREKSI ENERGI ELEKTRON PADA ATOM BERUKURAN INTI TERTENTU