DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

DAFTAR ISI

  Halaman

  KelompokMatematika

  PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno RuangTopologi , , , ,

  7-14 Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 FazrieMulia , Wamiliana , dan Fitriani REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN

  38-41 Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI

  45-47 Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN

  48-53 Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno

INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR

  57-63 Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto

WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS GRAF

  ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAF DAN 64-71

  CYCLIC-CUBES

  Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani Ring Armendariz

  72-77 Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATOR SELF-ADJOINT 78-81 Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani

  Kelompok Statistika

T-STUDENT GENERALIZED LAMBDA

  APROKSIMASI DISTRIBUSI TERHADAP 82-85

  DISTRIBUTION

  Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 ( EXPECTATION MAXIMIZATION ) Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGAN CROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti KAJIAN RELATIF BIASMETODE ONE-STAGE DAN TWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 137-140

  DISTRIBUTION

  (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari

  Kelompok Kimia

  TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO ^{2 )} EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO _, ^{3 ) DENGAN METODE UNSEEDED EXPERIMENT} Miftasani Suharso dan Buhani EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160

SEEDED EXPERIMENT

  KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO _, ^{3 ) DENGAN METODE} PutriFebriani Puspita Suharso dan Buhani

  IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI ( Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak

  SilikaSekamPadi(TiO ^{2 /SiO 2 )} Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182

  DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak

  PLASTICIZER

  STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASI DALAM 183-190

  BIODEGRADABLE

  SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJI DENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni

  KelompokFisika

  Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195

  Bending Dan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140

  Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo PengaruhKadarCaCO terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201 ₃ denganDopingPb (BPSCCO-2212)

  Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka Variasi Kadar CaCO ^{3 dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207} Doping Pb (BPSCCO-2223) Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO ^{3 208-212} Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO ^{2 dengan Metode 213-218} Pelapisan Celup Dian Yulia Sari dan Posman Manurung Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al O .2SiO Berbahan Dasar Silika Sekam Padi _{2 3 2} Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring

  Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung Uji Fotokatalis Bahan TiO ^{2 yang ditambahdengan SiO 2 padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236} Violina Sitorus dan Posman Manurung KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B ^{2 O 3 -SiO 2 BERBASIS 237-241}

  SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535 Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250

  Ground Penetrating Radar

  MENGGUNAKAN METODE GPR ( ) DAN GEOLISTRIK _, R. Wulandari Rustadi dan A. Zaenudin Analisis Fungsionalitas Na2CO3 Berbasis CO2 Hasil Pembakara Tempurung Kelapa 251-256 RizkySastia Ningrum, Simon Sembiring dan Wasinton Simanjuntak

  

PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT

PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID

1. PENDAHULUAN

  2. Dua sudut dan satu sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga kongruen (Sd, S, Sd).

  1. Dua sisi dan satu sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga kongruen (S, Sd, S).

  Dengan menggunakan unsur-unsur tak terdefinisi tersebut, dapat dibentuk bangun datar seperti segitiga dan segiempat. Segitiga adalah segi yang terbentuk oleh tiga segmen yang ditentukan oleh tiga titik yang tidak segaris, ketiga segmen tersebut disebut sisi, dan ketiga titik sudut tersebut disebut titik sudut [3]. Dua segitiga dikatakan kongruen jika :

  Bidang adalah suatu permukaan dimana suatu garis yang menghubungkan dua titik pada permukaan tersebut secara keseluruhan akan terletak pada permukaan tersebut [6].

  3. Bidang adalah unsur yang memiliki panjang dan lebar, tapi tidak mempunyai ketebalan.

  2. Garis, dilambangkan dengan ܣܤ ⃖ሬሬሬሬ⃗ adalah panjang yang tidak mempunyai lebar maupun ketebalan. Suatu garis bisa lurus, melengkung maupun kombinasi keduanya

  Anggun Novita Sari Jurusan Matematika FMIPA

  Pada geometri Euclid besar dua sudut atas segiempat Saccheri adalah siku-siku, pada geometri Lobachevsky dua sudut atasnya adalah sudut lancip, sedangkan pada geometri Riemann dua sudut atasnya adalah tumpul. Johann Lambert memberi suatu gagasan untuk menyempurnakan hasil pemikiran Giovanni Saccheri mengenai segiempat Saccheri, inilah awal dari terciptanya segiempat Lambert.

  garis dapat ditarik hanya sebuah garis lurus lain yang sejajar dengan garis pertama”. Berdasarkan

  ଴ .

  ܤܥ ൌ ܣܦ dan apabila sudut alas סܦܣܤ ൌ סܣܤܥ dengan ݑ(סܦܣܤ) = 90

  Dalam geometri Euclid dan non-Euclid, terdapat segiempat yang besar sudutnya bergantung pada geometri mana ia berada. Segiempat tersebut adalah segiempat Saccheri dan segiempat Lambert. Menurut Rawuh [6], suatu segiempat ABCD dinamakan segiempat Saccheri apabila kaki

  Geometri Euclid (geometri Parabolik) adalah geometri yang pertama kali muncul yang dibuat oleh seorang matematikawan Yunani bernama Euclid. Geometri non-Euclid lahir setelah terpecahkannya permasalahan postulat kesejajaran Euclid oleh Bolyai dan Lobachevsky. Geometri non-Euclid diantaranya adalah geometri Lobachevsky (geometri Hiperbolik) dan geometri Riemann (geometri Eliptik).

  Kata kunci : Segiempat Lambert , Geometri Euclid , Geometri Lobachevsky, Geometri Riemann

  Geometri Euclid adalah geometri yang pertama kali muncul yang dibuat oleh seorang matematikawan Yunani bernama Euclides. Geometri non-Euclid lahir dikarenakan kelemahan postulat kesejajaran Euclid. Sebuah adalah segiempat yang memiliki tiga sudut siku-siku, yang tercipta atas pemikiran Johann Lambert untuk penyempurnaan Segiempat Saccheri . Dari hasil penelitian diperoleh pada geometri Euclid bahwa sudut keempat dari Segiempat Lambert adalah siku-siku dengan sisi atas sama panjang dengan sisi alas. Sudut keempat dari Segiempat Lambert adalah dengan sisi atas lebih panjang dari sisi alas pada geometri Lobachevsky. Sudut keempat dari Segiempat Lambert adalah hanya ada dalam geometri Euclid.

  ABSTRAK

  Universitas Lampung

  3. Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga kongruen (S, S, S) [6]. Geometri Euclid memiliki postulat kesejajaran yang berbunyi “Melalui sebuah titik di luar sebuah

2.1. GEOMETRI EUCLID

  postulat kesejajaran tersebut, ditentukan bahwa jumlah ukuran sudut dalam suatu segitiga sama dengan 180 . Oleh karenanya, jumlah ukuran sudut dalam suatu segiempat adalah 360 , dan sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri

  Untuk menyusun geometrinya, Euclides memulainya dengan membuat pernyataan mengenai unsur-unsur yang tak terdefinisi, yaitu:

  1. Titik, adalah unsur yang tidak memiliki panjang, lebar maupun ketebalan.

  Karena postulat kelima (postulat kesejajaran) Euclid dianggap lemah, maka beberapa ilmuwan mencoba membuktikan kebenarannya, dan akhirnya menimbulkan pemikiran menciptakan geometri non-Euclid, yaitu Geometri Lobachevsky dan Geometri Riemann.

  2.3. GEOMETRI RIEMANN

  90 ^o , sudut A besarnya kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari 90 ^o tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar [3].

  Dalam sebarang segitiga ABC dengan sudut C =

  Dalil 2.3.1

  Dua garis yang tegak lurus selalu berpotongan pada satu titik (pada geometri Riemann titik itu disebut titik kutub) dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu [4].

  double elliptic

  Gambar 3. Model geometri

   Geometri Double Elliptic Dua garis berpotongan tepat pada dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang.

  single elliptic

  Gambar 2. Model geometri

  kata lain, dalam Geometri Riemann tidak ada garis yang sejajar, melainkan selalu tegak lurus dengan garis lain. Pada Geometri Riemann terdapat dua macam pengkhususan, yaitu geometri “single elliptic” dan geometri “double elliptic”.  Geometri Single Elliptic Sebarang dua garis yang berpotongan tepat pada satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut

  garis yang sejajar dengan garis lain” [2]. Dengan

  Seperti halya Geometri Lobachevsky, Geometri Riemann berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya. Postulat kesejajaran Riemann berbunyi “tidak ada garis-

  Teorema ini mengakibatkan suatu segiempat dalam Geometri Lobachevsky memiliki jumlah sudut dalam kurang dari 360 dan sudut-sudut puncak Segiempat Saccheri adalah sama dan lancip [8].

2.2. GEOMETRI LOBACHEVSKY

  Geometri Lobachevsky berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya. Postulat kesejajaran Lobachevsky berbunyi “jika

  Terbukti bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga pada Geometri Lobachevsky adalah kurang dari 180°.

  ߙ + (90° - ߙ) < 180°

  ݑ(סܣܤܥ)+ ݑ(סܤܥܣ) + ݑ(סܥܣܤ) < 90° +

  < 90° - ߙ Untuk jumlah ketiga sudut dalam segitiga ABC diperoleh :

  ݑ(סܣܤܥ) = 90° ݑ(סܤܥܣ) < ߙ ݑ(סܥܣܤ) < ݑ(סܬܣܤ)

  Gambar 1. Segitiga dengan jumlah sudut kurang dari 180° Maka berdasarkan postulat kesejajaran Lobachevsky dapat ditarik satu garis lain yang sejajar dengan garis x dan melalui titik A yaitu garis z. Dengan ini akan dibuktikan bahwa besar ukuran sudut dalam segitiga ABC kurang dari 180°.

  ܣܤ ⃖ሬሬሬሬ⃗ tegak lurus garis x

  Misal titik A terletak tidak pada garis x , maka dapat ditarik garis y yang melalui A dan sejajar garis x .Misalkan garis x melaui titik B dan C dengan

  Bukti:

  Berlaku pada segitiga dengan jumlah derajat sudut kurang dari 180°.

  Teorema 2.2.1

  Berdasarkan postulat tersebut, ditentukan bahwa jumlah ukuran sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180 .

  sebuah titik terletak tidak pada suatu garis, maka terdapat paling sedikit dua garis yang dapat ditarik melalui titik itu serta sejajar dengan garis tadi” [5].

  Bukti: _o

  3. HASIL DAN PEMBAHASAN

  Diketahui : segitiga ABC dengan Definisi 3.1 ∠C = 90

  a. Ditunjukkan Segiempat Lambert adalah segiempat yang ∠A < 90°, bila jarak ܤ ke ܥ < dari memiliki 3 sudut siku-siku. jarak polar

  D C A B

  Gambar 4. Ilustrasi dalil 2.3.1 Gambar 7. Segiempat Lambert dengan

  ∠A < 90° Misal segiempat ABCD di atas adalah segiempat

  b. Ditunjukkan ∠A = 90°, bila jarak ܤ ke ܥ = dari

  Lambert, maka: jarak polar

  ଴

  ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) = 90 Hipotesa yang diberikan Johan Lambert (1728- 1777) pada segiempat yang ketiga sudutnya siku- siku maka sudut keempatnya adalah lancip, siku- siku atau tumpul.

  3.1 Segiempat Lambert pada Geometri Euclid

  Diberikan segiempat Lambert ABCD dengan

  ଴

  Gambar 5. Ilustrasi dalil 2.3.1 . Akan

  ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) = 90 dengan ∠A = 90° dibuktikan bahwa:

  ଴ a. atau siku-siku.

  ݑ(סܤܥܦ) sebesar 90

  c. Ditunjukkan ∠A > 90°, bila jarak ܤ ke ܥ > dari

  b. Panjang sisi AB = CD jarak polar

  Bukti: D C a.

  ߙ

  ଴

  (90 − ߙ)

  Gambar 6. Ilustrasi dalil 2.3.1 dengan ∠A > 90°

  A B Teorema 2.3.1 Gambar 8.

  ∆ ܣܤܦ dan οܤܥܦ dalam Jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga lebih segiempat ABCD Geometri Euclid besar dari 180°.

  Terlihat bahwa:

  ଴ Bukti:

  (dari  ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) ൌ ݑ(סܤܣܦ) = 90 Pada gambar 5, terlihat bahwa definisi segiempat Lambert)

  ∠A = 90°,∠C = 90° dan

  ∠B pastilah positif. Sehingga jumlah  סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܣܦܤ ؆ סܥܤܦ sudut segitiga ABC adalah lebih besar dari 180°.

   ݑ(סܣܤܦ) ൅ ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) +

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) = 90 Teorema ini mengakibatkan pada Geometri Riemann jumlah ukuran sudut dalam suatu

  Misal ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ maka segiempat adalah lebih besar dari 180°dan sudut- ଴

  ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ) sudut puncak pada Segiempat Saccheri adalah Karena

  סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܥܤܦ ؆ סܣܦܤ , sama dan tumpul. maka :

  ݑ(סܣܤܦ) ൌ ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ dan

  ଴

  ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ) Pada geometri Euclid, jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah 180 . Oleh karenanya, besar

• (90
• ݑ(סܤܥܦ) =180

• 90
• ݑ(סܤܥܦ) = 180
• ݑ(סܤܥܦ) = 180 90 -90 +

  ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ)

  ݑ(סܣܤܦ) ൌ ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ Dan

  Karena סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܥܤܦ ؆ סܣܦܤ , maka

  ଴

  ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ)

  Misal : ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ , maka

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) = 90

  (dari definisi segiempat Lambert)  סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܣܦܤ ؆ סܥܤܦ  ݑ(סܣܤܦ) ൅ ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) +

  ଴

  ∆ ܣܤܦ dan οܤܥܦ dalam segiempat ABCD Lobachevsky Terlihat bahwa:  ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) ൌ ݑ(סܤܣܦ) = 90

  Gambar 10.

  Bukti: a.

  ݑ(סܤܥܦ) besarnya kurang dari 90 (sudut lancip) b. Panjang sisi AB < CD

  . Akan dibuktikan bahwa: a.

  ଴

  Diberikan segiempat Lambert ABCD dengan ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) = 90

  3.2. Segiempat Lambert pada Geometri Lobachevsky

  തതതത . Dengan kata lain, terbukti bahwa panjang sisi ܣܤ = ܥܦ.

  തതതത, ܣܤ തതതത = ܥܦ

  ∆ ܣܤܥ dan οܣܥܦ adalah dua segitiga yang kongruen. Oleh karena itu, sisi-sisi yang bersesuaian pada ∆ ܣܤܥ dan οܣܥܦ adalah ܣܥ തതതത = ܥܣ തതതത , ܣܦ തതതത = ܤܥ

  ܣܥ തതതത = ܥܣ തതതത , סܣܥܦ ؆ סܤܣܥ dan סܣܥܤ ≅ סܥܣܦ maka

  סܣܥܤ ؆ סܥܣܦ. Karena

  ଴

  סܤܥܦ diperoleh dari οܤܥܦ dengan

  Pada geometri Lobachevsky, jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah kurang dari 180 . Oleh karenanya, besar ukuran sudut

• (90
• ݑ(סܤܥܦ) < 180
• 90
• ݑ(סܤܥܦ) < 180
• ݑ(סܤܥܦ) < 180 90 -90 +

  ݑ(סܤܥܦ) < 180 − 90

  − ߙ)

  ߙ (90

  A B C D C B D A

  b. Panjang sisi AB < CD Untuk membuktikan panjang sisi AB < CD , perlu

  Lobachevsky kurang dari 90 (sudut lancip).

  Terbukti bahwa besar sudut סܤܥܦ atau sudut keempat dari segiempat Lambert pada geometri

  ଴

  ݑ(סܤܥܦ) < 90

  ଴

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ ݑ(סܥܤܦ) = (90 െ ߙ)

  90

  ଴

  ଴

  − ߙ

  ଴

  ߙ

  ଴

  െ ߙ)

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) + ݑ(סܥܤܦ) + ݑሺסܤܥܦ) < 180 ߙ

  ଴

  maka didapat ݑ(סܣܥܤ) = ݑ(סܥܣܦ) atau

  dan ݑ( סܤܣܥ) + ݑ(סܥܣܦ) = 90

  ଴

  ଴

  b. Panjang AB = CD Gambar 9. Dua Segitiga Kongruen dalam

  ଴ atau siku-siku.

  90

  Terbukti bahwa besar ukuran sudut סܤܥܦ adalah

  ଴

  ݑ(סܤܥܦ) = 90

  ଴

  ݑ(סܤܥܦ) = 180 − 90

  ଴

  90

  ଴

  ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܤܥܦ) = ݑ(סܣܦܥ) = 90

  − ߙ

  ଴

  ߙ

  ଴

  െ ߙ)

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) + ݑ(סܥܤܦ) + ݑሺסܤܥܦ) = 180 ߙ

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ ݑ(סܥܤܦ) = (90 െ ߙ)

  ukuran sudut סܤܥܦ diperoleh dari οܤܥܦ dengan

  Segiempat ABCD pada Geometri Euclid Telah dibuktikan bahwa keempat sudut segiempat Lambert ABCD di atas siku-siku atau

  ଴ .

  ଴

  ଴

  סܣܥܦ ؆ סܤܣܥ. Dari penjumlahan dua sudut ݑ(סܤܣܥ) + ݑ(סܣܥܤ) = 90

  maka didapat ݑ(סܣܥܦ) = ݑ(סܤܣܥ) atau

  ଴

  dan ݑ(סܤܣܥ) + ݑ(סܣܥܤ) = 90

  ଴

  Dari penjumlahan dua sudut ݑ( סܣܥܤ) + ݑ(סܣܥܦ) = 90

  ଴

  ݑ(סܤܣܥ) ൅ ݑ(סܣܥܤ) = 90

  ଴

  ൅ ݑ(סܣܥܤ) = 180

  ݑ(סܤܣܥ) + 90

  Perhatikan ∆ ܣܤܥ dan οܣܥܦ , terlihat bahwa:

  ଴

  ݑ(סܤܣܥ) ൅ ݑ(סܣܤܥ) ൅ ݑ(סܣܥܤ) = 180

  , maka pada ∆ ܣܤܥ :

  ଴

  Dalam geometri Euclid, jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah 180

  തതതത adalah dua garis yang berimpit pada ∆ ܣܤܥ dan οܣܥܦ

   ܣܥ തതതത dan ܥܣ

  ଴

   ݑ( סܣܥܤ) ൅ ݑ(סܣܥܦ) = 90

  ଴

   ݑ(סܥܣܦ) ൅ ݑ(סܤܣܥ) = 90

  ଴

  ݑ(סܤܦܥ) + ݑ(סܥܤܦ) + ݑሺסܤܥܦ) > 180 ߙ

  סܤܥܦ diperoleh dari οܤܥܦ dengan

  ଴

  Karena סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܥܤܦ ؆ סܣܦܤ , maka

  ݑ(סܣܤܦ) ൌ ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ Dan

  ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ)

  ଴

  Pada geometri Riemann, jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah lebih dari 180 . Oleh karenanya, besar ukuran sudut

  ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ ݑ(סܥܤܦ) = (90 െ ߙ)

  Misal : ݑ(סܤܦܥ) ൌ ߙ , maka

  ଴

  ଴

  ଴

  D A B C C B D A

  ݑ(סܥܦܣ)= 90 maka ݑ(סܥܦܣ) =

  Segiempat ABCD pada Geometri Lobachevsky Karena

  memisalkan AB = CD di dalam segiempat ABCD seperti gambar berikut: Gambar 11. Dua Segitiga Kongruen dalam

  ݑ(סܣܦܤ) = (90 െ ߙ)

• (90
• ݑ(סܤܥܦ) > 180

• 90
• ݑ(סܤܥܦ) > 180
• ݑ(סܤܥܦ) > 180 90 - 90 +

  (lancip), maka AB < CD atau CD > AB.

  = 90

  ݑ(סܤܥܦ) > 90

  ଴

  Terbukti bahwa besar sudut סܤܥܦ atau sudut keempat dari segiempat Lambert pada geometri

  Riemann lebih dari 90 (sudut tumpul).

  b. Panjang sisi AB < CD Untuk membuktikan panjang sisi AB < CD , perlu dibentuk segitiga-segitiga kongruen dengan memisalkan AB = CD di dalam segiempat ABCD seperti gambar berikut:

  Gambar 13. Dua Segitiga Kongruen dalam Segiempat ABCD

  Pada Geometri Riemann Karena

  ݑ(סܥܦܣ)= 90 maka ݑ(סܥܦܣ) =

  ݑ(סܣܤܥ) =90 dan ܣܥ തതതത merupakan sisi persekutuan dari

  ∆ ܣܥܦ dan ∆ ܣܤܥ maka ∆ ܣܥܦ ≅ ∆ ܣܤܥ dan diperoleh

  סܦܣܥ ؆ סܤܥܣ dan סܦܥܣ ؆ סܤܣܥ .

  Maka ݑ(סܦܣܥ) ൅ ݑ(סܤܣܥ) ൌ ݑ(סܣܥܦ) ൅ ݑ(סܣܥܤ)

  ଴

  ݑ(סܤܥܦ) > 180 − 90

  ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܤܥܦ) = 90

  ଴

  Terjadi kontradiksi karena telah dibuktikan bahwa ݑ(סܤܥܦ) > 90

  ଴ , jadi tidak mungkin AB = CD.

  Dari segiempat Lambert ABCD diperoleh ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) ൌ ݑ(סܤܣܦ) = 90

  ଴

  dan ݑ(סܤܥܦ) > 90

  ଴

  (tumpul), maka AB > CD atau CD < AB.

  ݑ(סܣܤܥ) =90 dan ܣܥ തതതത merupakan sisi persekutuan dari

  ߙ (90

  − ߙ)

  ଴ D A B C

  ଴

  ଴

  Diberikan segiempat Lambert ABCD dengan ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) = 90

  ଴ , jadi tidak mungkin AB = CD.

  ଴

  . Akan dibuktikan bahwa: a. ݑ(סܤܥܦ) besarnya lebih dari 90 (sudut tumpul) b. Panjang sisi AB > CD

  Bukti: a.

  Gambar 12.

  ∆ ܣܤܦ dan οܤܥܦ dalam Segiempat ABCD Geometri Riemann

  Terlihat bahwa:  ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) ൌ ݑ(סܤܣܦ) = 90

  ଴

  (dari definisi segiempat Lambert)  סܣܤܦ ؆ סܤܦܥ dan סܣܦܤ ؆ סܥܤܦ  ݑ(סܣܤܦ) ൅ ݑ(סܥܤܦ) ൌ ݑ(סܣܦܤ) +

  ଴

  dan ݑሺסܤܥܦ) < 90

  ଴

  Dari segiempat Lambert ABCD diperoleh ݑ(סܣܤܥ) ൌ ݑ(סܣܦܥ) ൌ ݑ(סܤܣܦ) = 90

  Terjadi kontradiksi karena telah dibuktikan bahwa ݑ(סܤܥܦ) < 90

  90

  ଴

  ݑ(סܤܣܦ) ൌ ݑ(סܤܥܦ) = 90

  ଴

  = 90

  Maka ݑ(סܦܣܥ) ൅ ݑ(סܤܣܥ) ൌ ݑ(סܣܥܦ) ൅ ݑ(סܣܥܤ)

  סܦܣܥ ؆ סܤܥܣ dan סܦܥܣ ؆ סܤܣܥ .

  െ ߙ)

  ∆ ܣܥܦ dan ∆ ܣܤܥ maka ∆ ܣܥܦ ≅ ∆ ܣܤܥ dan diperoleh

  ߙ

  ଴

  − ߙ

  ଴

  ଴

3.3. Segiempat Lambert pada Geometri Riemann

  4. KESIMPULAN

  Pada geometri Euclid, keempat sudut dalam Segiempat Lambert adalah siku-siku dan sisi atas sama panjang dengan sisi alas. Pada Geometri Lobachevsky segiempat Lambert memiliki tiga sudut siku-siku dan satu sudut lancip dengan sisi atas lebih panjang dari sisi alas. Sedangkan pada Geometri Riemann Segiempat Lambert memiliki tiga sudut siku-siku dan satu sudut tumpul dengan sisi atas lebih pendek dari sisi alas.

  5. DAFTAR PUSTAKA

  [1]Deniyanti, Pinta. 2007 Diakses pada 24 September 2012.

  [2]Karso. 1996. Pendidikan Matematika 4 .

  Universitas Terbuka, Jakarta. [3]Keedy, Mervin L. dkk.1967. Exploring

  Geometri. New York: Holt, Rinchart and Winston, Inc. [4]Moeharti HW. 1986. Materi Pokok Sistem-

  Sistem Geometri. Jakarta: Kanika Jakarta, Universitas Terbuka.

  [5]Rawuh. 2009. Geometri. Universitas Terbuka, Jakarta. [6]Rich, Barneth . 2005. Geometri (Schaum’s Easy Outlines). Erlangga, Jakarta. [7]Ruseffendi. 1985. Pengajaran Matematika Modern . Tarsito, Bandung. [8]Tandililing, Fitriana dkk. 2011. .Diakses pada 13 September 2012.