49 Berdasarkan uraian di atas maka dapat diperoleh nilai perbandingan
trigonometri di setiap kuadran. Hasilnya dapat dilihat pada tabel 10 berikut ini.
Tabel 10. Rasio Trigonometri di Setiap Kuadran
Kuadran Cos
Sin Tan
Cosec Sec
Cotan Positif
Kuadran I +
+ +
+ +
+ Semua
Kuadran II -
+ -
+ -
- Sin, Cosec
Kuadran III -
- +
- -
+ Tan, Cotan
Kuadran IV +
- -
- +
- Cos, Sec
d. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut 90,
180 , 360, dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi
nama khusus, misalnya penyiku komplemen yaitu untuk sudut
dengan 90
- dan pelurus suplemen untuk sudut dengan 180 - . Contoh:
penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70. Berikut adalah
perbandingan sudut-sudut berelasi di berbagai kuadran. 1
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan 90 -
Gambar 13.Grafik Relasi Sudut α di Kuadran I
Dari gambar
13 di
samping diketahui titik P
1
x
1
,y
1
bayangan dari Px,y akibat pencerminan garis
y x, sehingga diperoleh:
a XOP = dan XOP
1
= 90 -
b x
1
= x, y
1
= y dan r
1
= r
y
x
X Y
Px,y
r
90-
P
1
x
1
,y
1
r
1
x
1
y
1
y = x
O
50
y x
X Y
Px,y
r
180
-
P
1
x
1
,y
1
r
1
x
1
y
1
O
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a
cos 90
sin
1 1
r
x r
y
b
sin 90
cos
1 1
r
y r
x
c
cot 90
tan
1 1
y
x x
y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan 90 - dapat dituliskan sebagai berikut:
2 Perbandingan trigonometri untuk sudut
dengan 180 -
Gambar 14.Grafik Relasi Sudut α di Kuadran II 1
Dari gambar 14 di samping diketahui titik P
1
x
1
,y
1
adalah bayangan dari titik
Px,y akibat
pencerminan terhadap sumbu y, sehingga
a XOP = dan XOP
1
= 180 -
b x
1
= x, y
1
= y dan r
1
= r Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh:
a
sin 180
sin
1 1
r
y r
y
b
cos 180
os
1 1
r
x r
x c
a
cos 90
sin
d
sec 90
cosec
b
sin 90
cos
e
ec cos
90 sec
c
cot 90
tan
f
tan 90
cot
51
y x
X Y
Px,y
r
90
+
P
1
x
1
,y
1
r
1
x
1
y
1
O
c
tan 180
tan
1 1
x
y x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
3 Perbandingan trigonometri untuk sudut
dengan 90 +
Gambar 15. Grafik Relasi Sudut α di Kuadran II 2
Dari gambar 15 di samping diketahui titik P
1
x
1
,y
1
adalah bayangan dari titik Px,y akibat rotasi 90
o
terhadap titik Px,y, sehingga
a XOP = dan XOP
1
= 90 +
b x
1
= y, y
1
= x dan r
1
= r
Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh : a
cos 90
sin
1 1
r
x r
y
b
sin 90
os
1 1
r
y r
x c
c
tan 90
tan
1 1
c y
x x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a
sin 180
sin
o
d
cos 180
cosec ec
b
cos 180
cos
e
sec 180
sec
c
tan 180
tan
f
cot 180
cot
a
cos 90
sin
o
d
sec 90
cosec
b
sin 90
cos
e
sec 90
sec co
c
tan 90
tan c
f
t 90
cot an
52 4
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan 270 -
Gambar 16. Grafik Relasi Sudut α di Kuadran III 1
Dari gambar 16 di samping titik P
1
x
1
,y
1
adalah bayangan dari titik Px,y akibat pencerminan terhadap
garis y x, sehingga
a XOP = dan XOP
1
= 270 -
b x
1
= y, y
1
= -x dan r
1
= r
Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh: a
cos 270
sin
1 1
r
x r
y
b
sin 270
cos
1 1
r
y r
x
c
tan 270
tan
1 1
c y
x y
x x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a
cos 270
sin
d
sec 270
cosec
b
sin 270
cos
e
cosec 270
sec
c
tan 270
tan c
f
tan 270
cot
Px,y y
x X
Y r
270
-
P
1
x
1
,y
1
r
1
-x -y
O
53 5
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan 180 +
Gambar 17. Grafik Relasi Sudut α di Kuadran III 2
Dari gambar 17 di samping titik P
1
x
1
,y
1
adalah bayangan dari titik Px,y akibat pencerminan terhadap
garis y x, sehingga
a XOP = dan XOP
1
= 180 +
b x
1
= x, y
1
= y dan r
1
= r Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh:
a
sin 180
sin
1 1
r
y r
y
b
cos 180
cos
1 1
r
x r
x
c
tan 180
tan
1 1
x y
x y
x y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a
sin 180
sin
d
cosec 180
cosec
b
cos 180
cos
e
sec 180
sec
c
tan 180
tan
f
cot 180
cot
X Px,y
y x
Y
r
180
+
P
1
x
1
,y
1
r
1
x
1
y
1
O
54 6
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan 270 +
Gambar 18. Grafik Relasi Sudut
α di Kuadran IV 1
Dari gambar 18 di samping titik P
1
x
1
,y
1
adalah bayangan dari titik Px,y akibat rotasi 270
o
terhadap titik Px,y sehingga
a XOP = dan XOP
1
= 270 +
b x
1
= y, y
1
= x dan r
1
= r
Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh: a
cos 270
sin
1 1
r
x r
y
b
sin 270
cos
1 1
r
y r
x
c
tan 270
tan
1 1
c y
x x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a
cos 270
sin
d
sec 270
cosec
b
sin 270
cos
e
cosec 270
sec
c
tan 270
tan c
f
tan 270
cot
P1x,y y
x X
Y r
270
+
P
1
x
1
,y
1
r -x
y
O
55 7
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan 360
o
-
Gambar 19.Grafik Relasi Sudut α di Kuadran IV 2
Dari gambar 19 di samping diketahui titik P
1
x
1
,y
1
bayangan dari Px,y akibat pencerminan terhadap sumbu
x, sehingga a
XOP = dan XOP
1
= -
b x
1
= x, y
1
= y dan r
1
= r Dengan hubungan di atas maka dapat diperoleh:
a
sin 360
sin
1 1
r
y r
y
b
cos 360
cos
1 1
r
x r
x
c
tan 360
tan
1 1
x
y x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Atau untuk relasi dengan 360 tersebut identik dengan relasi
dengan - adalah sebagai berikut.
a
sin sin
d
cosec cosec
b
cos cos
e
sec sec
c
tan tan
f
cot cot
y x
X Y
Px,y
r
360
-
1
P
1
x
1
,y
1
r
1
x
1
y
1
O -
a
sin 360
sin
o
d
cosec 360
cosec
o
b
cos 360
cos
o
e
sec 360
sec
o
c
tan 360
tan
o
f
cot 360
cot
o
56 8
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan + n. 360
Gambar 20.Grafik Relasi Sudut α 360
o
Dari gambar 20 di samping diperoleh besar sudut satu putaran sama dengan
360
o
, sehingga besar sudut yang lebih dari 360
o
, misalnya 360 +
o
akan sama dengan
o
.
Rumus perbandingan trigonometri sudut dengan + n. 360 dapat
dituliskan sebagai berikut:
B. Penelitian Relevan
Menurut penelitian Indah Nurmalia Sari, Nurhanurawati, dan Rini Asnawati 2013 tentang efektivitas penerapan model Problem Based
Learning ditinjau dari kemampuan pemecahan masalah matematis siswa menyimpulkan bahwa pembelajaran dengan model PBL efektif ditinjau dari
kemampuan pemecahan masalah matematis siswa. Relevansi penelitian tersebut dengan penelitian ini adalah penggunaan model pembelajaran PBL
dalam pembelajaran matematika ditinjau dari kemampuan pemecahan masalah.
y x
X Y
Px,y
r
360
+
O
a
sin 360
. sin
o
n
d
cos 360
. cosec
ec n
o
b
cos 360
. cos
o
n
e
ec 360
. sec
s n
o
c
t 360
. tan
an n
o
f
c 360
. cot
ot n
o
