Evaluasi Numerik dari Metode Aproksimasi dalam Program Stokastik
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Perbedaan sifat dasar masalah program stokastik dengan masalah optimisasi lainnya adalah pada cara mendefinisikan fungsi tujuan atau fungsi kendala. Pada program stokastik nilai dari beberapa fungsi ini bersifat numerik dan tergantung pada pengambilan random dalam variabel keputusan. Secara khusus, hal ini berarti bahwa ekspektasi matematika dari fungsi bergantung pada variabel keputusan dan beberapa parameter random atau probabilitas dari beberapa kejadian random dikendalikan oleh variabel keputusan. Program stokastik hanya dapat diselesaikan dengan distribusi diskrit dari kardinalitas terbatas. Biasanya, data input berbentuk distribusi kontinu atau himpunan data yang besar. Pembangkit skenario membentuk distribusi diskrit terbatas dari data input tersebut. Tesis ini akan memfokuskan evaluasi numerik dengan metode pohon skenario dari metode aproksimasi dalam program stokastik. Prosedur untuk mengevaluasi metode pohon skenario diilustrasikan pada kasus portfolio manajemen. Kata kunci: Numerik, Aproksimasi, Stokastik
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The difference nature problem of stochastic programs with other optimization problem is on how to define objective function or constraint function. The stochastic program value of some numerical function and depends in random decision-making variables. In particular, this means that mathematical expectation of function depends in decision variables and random parameters or probability of some random events is controlled by the decision variables. The program can only be solved with a stochastic discrete distribution of limited cardinality. Typically, the input data form of a continuous distribution or a large data set. Generating scenarios form a finite discrete distribution of the input data. This thesis will focus on the numerical evaluation of scenario tree method or approximation omethods in stochastic programs. Procedures for evaluating the scenario tree method is illustrated in case of portfolio management. Keyword: Numeric, Approximation, Stochastik
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT memberikan anugrah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding II yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Pembimbing-I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik 2.2 Metode Aproksimasi 2.3 Metode Numerik BAB 3 POHON SKENARIO 3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
1 3 3 3 3
5
5 7 13
15
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario BAB 4 EVALUASI NUMERIK
4.1 Model Statistik 4.2 Konstruksi Pohon Skenario BAB 5 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
16 22 22 23 26 27
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
23
4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan
tahunan
24
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu
T =5
20
4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
24
4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
25
x
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik 2.2 Metode Aproksimasi 2.3 Metode Numerik BAB 3 POHON SKENARIO 3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
1 3 3 3 3
5
5 7 13
15
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario BAB 4 EVALUASI NUMERIK
4.1 Model Statistik 4.2 Konstruksi Pohon Skenario BAB 5 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
16 22 22 23 26 27
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
23
4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan
tahunan
24
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu
T =5
20
4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
24
4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
25
x
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa tahun terakhir, program stokastik memiliki popularitas yang semakin meningkat dalam komunitas pemograman matematika. Model pemograman stokastik dapat dilihat sebagai model pemograman matematika dengan ketidakpastian nilai beberapa parameter. Pada nilai tunggal, parameter ini kemudian dijelaskan dengan distribusi (pada kasus periode tunggal), atau dengan proses stokastik (pada kasus multi periode). Kesulitan utama dalam masalah program stokastik adalah dalam menghitung nilai dan gradien (atau subgradien) fungsi masalah.
Untuk membahas hal seperti ini lebih rinci, anggap bahwa fungsi objektif F (x) dalam masalah program stokastik didefinisikan sebagai ekspektasi matematika fungsi f(x, ξ), dimana x ∈ Rn adalah vektor dari variabel keputusan dan ξ adalah vektor berdimensi m dari parameter random. Secara umum, fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai berikut :
F (x) = Ef (x, ξ) = fΩf (x, ξ(w))P (dω)
(1.1)
dimana Ω menunjukkan ruang probabilitas abstrak dan P adalah ukuran probabilitas.
Menurut Kall et al., (1984) ada 2 pendekatan utama yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan ini, yaitu metode aproksimasi dan metode stokastik quasigradien. Dalam metode aproksimasi masalah yang sebenarnya diganti dengan hal yang sederhana dengan melakukan aproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ˜ pada integral yang lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ˜ sebagai vektor random diskrit dan hanya digunakan dalam bentuk penjumlahan. Metode stokastik quasigradien tidak menggunakan perhitungan integral. Ide pokok dari
1
Universitas Sumatera Utara
2
metode ini adalah membuat langkah random dalam aturan perhitungan dasar dari beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada setiap langkah.
Kebaikan dari metode aproksimasi adalah tidak cenderung untuk mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f(x, ξk) dan penyesuaian gradien (atau subgradien dalam kasus nondiferensiasi) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξk dari ξ, k = 0, 1, 2, ... (Kall et al., 1984).
Kuchler dan Vigerske (2009) menyatakan bahwa ketika membentuk aproksimasi untuk masalah program stokastik, harus dianalisis hal-hal yang saling terkait berikut.
1. Harus menemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random sebenarnya ξ dengan sesuatu yang diskrit.
2. Mempelajari hubungan antara masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat.
3. Membutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, dengan membentuk aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.
Metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk mendapatkan dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario. Teknik ini mengikuti prinsipprinsip yang berbeda seperti Random Sampling, Ukuran Probabilitas, Quasi MonteCarlo Sampling (Kuchler dan Vigerske, 2009).
Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu. Analisa stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlihat seperti yang terdapat pada hasil penelitian Heitsch et al., (2006) serta Mirkov dan Pflug (2007). Sayangnya, di satu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus.
Universitas Sumatera Utara
3
Tesis ini akan fokus pada evaluasi numerik dari metode aproksimasi dalam program stokastik yang diberikan. Pendekatan ini tidak menghasilkan metode yang terbaik, tetapi mencoba menemukan cara yang netral dalam mengevaluasi metode yang disarankan.
1.2 Perumusan Masalah Dengan melakukan evaluasi numerik dari metode aproksimasi, persoalan pada
tesis ini adalah bagaimana penggunaan pohon skenario untuk mempelajari perilaku dari metode aproksimasi untuk program stokastik.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan evaluasi menggunakan pohon
skenario untuk program stokastik yang diilustrasikan dengan evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen.
1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini penting untuk menunjukkan bahwa terdapat persyaratan-
persyaratan minimal yang harus dikenakan pada metode pohon skenario sebelum dapat digunakan untuk menyelesaikan program stokastik.
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengum-
pulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Menjelaskan program stokastik; 2. Menjelaskan metode aproksimasi; 3. Menjelaskan metode pohon skenario;
Universitas Sumatera Utara
4 (a) Ukuran kualitas pohon skenario; (b) Pengujian metode pohon skenario. 4. Membuat evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen; 5. Membahas beberapa aspek dan persyaratan pada metode pohon skenario; 6. Membuat kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Program Stokastik Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program sto-
kastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya.
Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, ..., xn). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah :
Min f (x1, x2, x3, ..., xn) Kendala : g1(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0
g2(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0 . . .
gn(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0 (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g1, g2, ...gn adalah kendala yang dihadapi dalam program stokastik.
Menurut Kal dan Wallace (1994) program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data.
5
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:
6
1. Program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu);
2. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak (Kall dan Wallace, 1994).
Model pemograman stokastik periode tunggal dapat dirumuskan sebagai
z∗ = min F (x) = min EG[f (x, ξ˜)] = min f (x, ξ˜)dG(ξ˜)
x∈X
x∈X
x∈X ξ˜
x∗ ∈ arg min F (x), jadi z∗ = F (x∗), x∈X
(2.1)
dimana ξ˜ adalah vektor random, dan distribusi G harus independen dari vektor keputusan x. Diasumsikan bahwa daerah layak X independen dari ξ˜, yaitu dia-
sumsikan secara relatif merupakan jalan yang komplit.
Notasi topi digunakan untuk membedakan antara masalah sebenarnya dan masalah berbasis skenario, sehingga Gˆ, Fˆ, dan xˆ∗ masing-masing digunakan untuk
fungsi distribusi, fungsi objektif, dan solusi optimal berbasis skenario. Selain itu, huruf tebal menunjukkan vektor, sehingga ξˆ menyatakan vektor stokastik. Sehing-
ga, versi berbasis skenario dari masalah optimisasi adalah
zˆ∗ = min Fˆ(x) = min EGˆ[f (x, ξˆ)] = min f (x, ξˆ)dGˆ(ξˆ)
x∈X
x∈X
x∈X ξˆ
xˆ∗ ∈ arg min Fˆ(x), jadi zˆ∗ = Fˆ(xˆ∗), x∈X
(2.2)
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Metode Aproksimasi
Dalam kasus tertentu, jika ξ pada (1.1) adalah vektor random diskrit yang
hanya mencapai nilai terbatas dari nilai-nilai ξ1, ξ2, ..., ξL dengan probabilitas p1 >
0, p2 > 0, ..., pL > 0,
L l=1
pl
=
1,
sehingga
diperoleh
L
F (x) = plf (x, ξl)
l=1
(2.3)
Tetapi dalam kasus tertentu lainnya, jika vektor random ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξm) mempunyai fungsi probabilitas kepadatan ϕ(ξ1, ξ2, ..., ξm) rumus umum (1.1) menjadi bentuk integral Riemann
F (x) =
· · · f (x, ξ)ϕ(ξ)dξ2...dξm
Rm
(2.4)
Untuk mengevaluasi fungsi objektif F pada titik x tertentu perlu menghitung integral ganda yang berhubungan dengan mengukur gambaran ξ. Jika tidak mungkin melakukan integrasi analitis, maka harus digunakan metode numerik, yang biasanya membutuhkan banyak usaha komputasi, yang meningkat pesat dengan dimensi ξ dan dengan akurasi yang dibutuhkan.
Menurut Bazaraa dan Shetty (1979), aplikasi dari metode umum pemogra-
man nonlinier untuk masalah pemograman stokastik akan memerlukan perhitung-
an integral dari bentuk (1.1) pada setiap titik xk, k = 0, 1, 2, ..., yang dihasilkan
dari algoritma optimisasi. Kesulitan meningkat jika teknik yang dihasilkan dari
algoritma optimisasi juga memerlukan gradien ∇F (xk), k = 0, 1, 2, ..., yang dalam
kasus ini menjadi lebih sulit untuk evaluasi secara objektif. Fungsi f(x, ξ) pada
(1.1) secara terus-menerus dideferensialkan terhadap x untuk setiap ξ, kemudian,
di bawah kondisi tambahan yang wajar F (x) secara terus-menerus dideferensialkan
dan
∇F (x) = ∇xf (x, ξ(ω))P (dω)
Ω
(2.5)
dimana ∇xf(x, ξ) menunjukkan gradien dari f terhadap x. Dalam dua kasus tertentu di atas diperoleh
L
∇F (x) = pl∇f (x, ξl)
l=1
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
8
dan
∇F (x) =
· · · ∇xf (x, ξ)ϕ(ξ)dξ1dξ2...dξm
(2.7)
Rm
Karena metode pemrograman nonlinier biasanya memerlukan banyak perulangan untuk mencapai daerah hasil, upaya perhitungan total diperlukan di luar biaya yang dapat diberikan.
Ada dua pendekatan pokok dalam mengatasi kesulitan di atas : teknik aproksimasi dan metode stokastik quasigradient.
Pada teknik aproksimasi masalah sebenarnya diganti dengan hal sederhana melalui mengaproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ˜ agar integral pada (1.1) lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ˜ sebagai vektor
random diskrit dan digunakan pada (2.1).
Metode stokastik quasigradient tidak menggunakan perhitungan integral pada (1.1). Ide pokok dari metode ini adalah membuat langkah-langkah random dalam perhitungan berdasarkan beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada tiap langkah. Kebalikan dari teknik aproksimasi, metode ini cenderung tidak mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f (x, ξk) dan menyesuaikan gradien ∇xf (x, ξk) (atau subgradien pada kasus nondiferensial) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξk dari ξ, k = 0, 1, 2, .... Beberapa jenis metode self-learning dibangun, dimana setiap langkah tertentu mungkin tidak efisien, tetapi nilai yang besar menunjukkan sifat umum statistik yang berarti konvergen dengan satu solusi aproksimasi.
Ketika membentuk aproksimasi untuk masalah pemorgraman stokastik harus dianalisis pertanyaan yang saling terkait berikut.
1. Harus ditemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random asli ξ dengan yang diskrit;
2. Harus dipelajari hubungan antara masalah sebenarnya dengan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat;
Universitas Sumatera Utara
9
3. Dibutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, jika tidak cukup, dengan membangun aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.
Sebelum menyelidiki masalah ini secara detil, berikut beberapa ide dasar dan bentuk matematika dari pendekatan ini.
Misalkan Ξ ⊂ Rm menjadi pendukung dari vektor random ξ (yaitu himpunan terkecil tertutup di Rm sehingga P {ξεΞ} = 1), dan misalkan SL adalah koleksi terbatas dari himpunan bagian Ξl, l = 1, 2, ..., L, dimana Ξ memenuhi kondisi berikut:
L
Ξl = Ξ,
l=1
(2.8)
Ξi ∩ Ξj = ∅; i = j; i, j = 1, 2, ..., L.
(2.9)
Dinyatakan bahwa SL adalah partisi dari Ξ.
Untuk setiap partisi dapat menggunakan integral (1.1) sebagai berikut
L
F (x) = f(x, ξ)P (dξ) =
f(x, ξ)P (dξ),
Ξ l=1 Ξ
(2.10)
dimana integrasi melalui dukungan Ξ ⊂ Rm dan menggunakan deskripsi dari distribusi ξ pada rentang nilai-nilainya.
Pada kasus tertentu (2.2), yang secara khusus berguna, (2.8) menjadi
L
F (x) =
l=1
· · · f (x, ξ)ϕ(ξ)dξ1dξ2...dξm
Ξl
(2.11)
Metode yang paling sederhana untuk menghitung integral pada perkiraan masing-masing integral melalui Ξl sebagai berikut
f (x, ξ)P (dξ) ≈ f (x, ξl) P (dξ) = f (x, ξl)P {ξεΞl}
Ξl Ξl
(2.12)
Universitas Sumatera Utara
10
dimana ξl dipilih mewakili subset Ξl. Dengan kata lain, diaproksimasi fungsi f(x, ξ) dengan fungsi berikutnya pada ξ, yang bernilai konstan pada setiap himpunan Ξl, l = 1, 2, ..., L. Dengan demikian diperoleh aproksimasi F (x):
L
F L(x) = plf (x, ξl)
l=1
(2.13)
dengan
pl = P {ξεΞl}
(2.14)
Dari (2.6) dan (2.7) diperoleh
L l=1
pl
=
1,
aproksimasi
ini
dapat
diinter-
pretasikan secara ekuivalen sebagai aproksimasi ξ dengan sebuah vektor random
diskrit ξ˜ mencapai nilai ξl dengan probabilitas pl, l = 1, 2, ..., L, dan formula aprok-
simasi (2.11) tepat berbentuk (2.1).
Pada umumnya, jika bentuk Ξ terbatas dan jika max P {ξεΞl} → 0 sampai 1≤l≤L
L → ∞, kemudian untuk setiap x, berdasarkan asumsi yang tepat pada f(x, ξ) diperoleh titik konvergen dari nilai fungsi : F L(x) → F (x) sampai L → ∞. Hal ini menjadi dasar dan sangat diperlukan, akan tetapi, tidak cukup, karena terdapat konvergensi dari urutan solusi xˆL dari masalah aproksimasi, atau paling tidak bagian urutan konvergen untuk solusi yang sebenarnya dari masalah optimisasi. Beberapa kondisi tambahan, misalnya kepadatan dari himpunan yang mungkin dari x dengan konvergensi seragam dari F L ke F , dibutuhkan untuk kepastian jenis konvergensi. Hal yang sering terjadi, yaitu bahwa dalam prakteknya nilai x˜ memuaskan, dimana nilai objektif terletak antara nilai toleransi tertentu dengan tujuan ke nilai minimum, dan hal ini mungkin tercapai pada masalah yang lebih luas.
Akan tetapi, masih sangat sulit untuk menentukan terlebih dahulu bagaimana sebaiknya partisi dapat memastikan keakuratan aproksimasi. Pembagian Ξ ke dalam beberapa bentuk kecil Ξl, l = 1, 2, ..., L, tanpa strategi apapun secara langsung dapat meningkatkan kompleksitas komputasi dari masalah aproksimasi. Untuk mengilustrasikan kesulitan yang mungkin timbul, andaikan bahwa terdapat 10 variabel acak skalar bebas dalam masalah yang sebenarnya, sehingga ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξ10). Jika dukungan dari setiap ξj, j = 1, 2, ..., 10, dibagi menjadi
Universitas Sumatera Utara
11
10 subinterval, diperoleh 1010 himpunan bagian Ξl dari dukungan Ξ pada ξ, jumlah yang nyata di luar kemampuan komputasi.
Untuk menghindari jumlah berlebihan dari subset Ξl harus digunakan partisi yang tidak seragam yang sesuai untuk sifat dari f(x, ξ) sebagai fungsi ξ. Masalah membentuk beberapa partisi berkaitan erat dengan cara memilih titik-titik ξlεΞl. Dari segi konvergensi, ini dapat menjadi titik bebas; namun, jika lebih berhati-hati dalam memilih, dinamakan ekspektasi bersyarat
ξl = E{ξ(ω)/ξ(ω)εΞl}
(2.15)
dengan probabilitas
pl = P {ξ(ω)εΞl}
(2.16)
maka dapat meningkatkan akurasi aproksimasi pada banyak kasus, tetapi juga memperoleh informasi yang dapat membantu untuk memperbaiki partisi yang benar jika akurasi tidak mencukupi.
Memang, jika fungsi f(x, ξ) linier terhadap ξ pada himpunan Ξl, maka dengan ξl didefinisikan oleh (2.13) diperoleh kesetaraan pada (2.10),
f (x, ξ)P (dξ) = f (x, ξl)P {ξεΞl}
Ξl
(2.17)
Ini berarti bahwa pembagian selanjutnya dari subset Ξl tidak menggunakan peningkatan akurasi dari aproksimasi pada x. Di sisi lain, jika f(x, .) nonlinier pada Ξl, aproksimasi pada Ξl dapat agak kasar dan partisi halus dari Ξl diinginkan. Oleh karena itu, kepadatan partisi pada berbagai sub-wilayah dari bentuk Ξl harus terkait dengan sifat nonlinier dari f(x, .).
Umumnya, tidak diketahui sifat rinci fungsi f(x, ξ), beberapa informasi dapat diperoleh dalam memecahkan masalah aproksimasi yang pasti. Selain itu, sifat dari fungsi f(x, .) berubah ketika x berubah, dan perlu untuk memiliki partisi yang baikmdari x mendekati solusi masalah.
Jadi, metode aproksimasi yang membentuk partisi Ξ dan mengaproksimasi sebuah solusi menjadi masalah asli yang saling terkait adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
12
1. Pilih partisi awal Ξl, l = 1, 2, ..., L yang memenuhi (2.6) dan (2.7);
2. Pilih titik ξlεΞ dan probabilitas pl, l = 1, 2, ..., L sesuai dengan (2.13) dan (2.14);
3. Memecahkan masalah aproksimasi;
4. Pada solusi x˜L dianalisis akurasi aproksimasi dengan menyelidiki sifat fungsi f (x˜L, ξ) pada masing-masing subset Ξl, l = 1, 2, ..., L, memilih hal-hal yang harus dibagi lagi, jika akurasi tidak cukup, dan ulangi langkah 3.
Realisasi rinci dari prosedur ini tergantung pada sifat dari kelas masalah yang diterapkan.
Pendekatan untuk evaluasi aproksimasi dan metode solusi untuk multi stage linier program stokastik dengan mengukur kinerja solusi yang diperoleh pada suatu himpunan skenario out-of-sample. Titik utama dari pendekatan adalah untuk mengembalikan kelayakan solusi untuk masalah aproksimasi sepanjang skenario out-of-sample. Untuk tujuan ini, dipertimbangkan dan dibandingkan kelayakan yang berbeda dan mengoptimalkan berdasarkan metode proyeksi. Dengan demikian, dipelajari bahwa kualitas solusi untuk tes model berdasarkan pada keklasikkan serta mengkombinasikan pohon skenario.
Secara umum, metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk memiliki dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario atau pohon skenario terbatas. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti random sampling, momen pencocokan, ukuran probabilitas, Quasi Monte-Carlo sampling. Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu dan sifat perkiraan statistik dan berbatas telah ditetapkan. Analisis stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlibat.
Disatu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus kepentingan
Universitas Sumatera Utara
13
praktis. Di sisi lain, kuantitatif batas kesalahan dan sifat statistik tidak tersedia untuk semua kelas masalah. Selanjutnya, karena kompleksitas numerik dari model program stokastik. kadang-kadang perlu menggunakan aproksimasi yang terlalu kasar untuk mendapatkan batas kesalahan yang berarti atau interval kepercayaan melalui hasil asimtotik.
Dalam kasus tersebut, harus menggunakan metode numerik untuk mengukur kinerja dan kualitas dari metode aproksimsi dan solusi. Karena tugas utama program stokastik adalah untuk memberikan strategi keputusan yang cukup kuat yang dapat diterapkan dalam skenario kehidupan nyata, hal itu menunjukkan program tersebut untuk mengukur kualitas suatu metode aproksimsi dengan mengevaluasi solusi (optimal) diperoleh dari pemecahan masalah aproksimasi. Hal ini dapat dilakukan, misalnya, dengan mengevaluasi solusi ini bersama metode pohon skenario.
2.3 Metode Numerik
Menurut Ralston dan Rabinowitz (1978) metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Atau bisa dikatakan bahwa metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis, dan memasuki wilayah simulasi. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Deret Taylor.
Aproksimasi orde ke-0 dilakukan dengan mengambil 1 suku pertama, yaitu nilai
sebelumnya.
f (xi+1) ≈ f (xi)
(2.18)
Aproksimasi orde ke-1 dilakukan dengan menambahi suku lainnya. f (xi+1) ≈ f (xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi) → f ′(xi) adalah kemiringan/slope (2.19)
Aproksimasi orde ke-2 dilakukan dengan menambahi lagi suku lainnya.
f (xi+1)
≈
f (xi)
+
f ′(xi)(xi+1
−
xi)
+
f
′′(xi 2!
)
(xi+1
−
xi)2
(2.20)
Universitas Sumatera Utara
14
Sehingga Deret Taylor selengkapnya adalah sebagai berikut:
f (xi+1)
=
f (xi)
+
f ′(xi)(xi+1
−
xi)
+
f ′′(xi) 2!
(xi+1
−
xi)2
+
f
′′′(xi) 3!
(xi+1
−
xi)3
+
...
+
f
n (xi n!
)
(xi+1
−
xi)n
+
Rn
(2.21)
dimana
Rn
=
f n+1(ξ) (n+1)!
(xi+1
− xi)n+1
dan
ξ
adalah
suatu
harga
x
pada
interval
h
=
xi+1 − xi.
Seringkali ada baiknya untuk memudahkan Deret Taylor dengan mendefinisikan suatu ukuran langkah h = xi+1 − xi dan menyatakan persamaan (2.4) sebagai :
f (xi+1)
=
f (xi)
+
f ′(xi)h
+
f
′′(xi) 2!
h2
+
f
′′′(xi) 3!
h3
+
...
+
f
n(xi) n!
hn
+
Rn
(2.22)
Dimana suku sisa sekarang adalah
Rn
=
f n+1 (n +
(ξ) 1)!
hn
+
1
(2.23)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 POHON SKENARIO
3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Kesalahan aproksimasi vektor random ξ˜ dengan distribusi G oleh diskritisasi ξˆ dengan distribusi Gˆ, untuk masalah pemograman stokastik pada (2.1), mengakibatkan kesenjangan optimal, yaitu perbedaan antara nilai fungsi objektif sebenarnya pada solusi optimal dari masalah masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi:
e(F, Fˆ) = ef (G, Gˆ) = F (arg min Fˆ(x)) − F (arg min F (x))
x∈x
x∈x
= F (arg min Fˆ(x) − min F (x) = F (xˆ∗) − z∗,
x∈X
x
(3.1)
dimana Fˆ(x) = EGˆ[f (x, ξ˜)] dan xˆ∗ adalah solusi optimal dari masalah aproksimasi. Jika terdapat beberapa solusi optimal yang lebih baik, xˆ∗ dan fungsi arg min harus dipahami sebagai salah satu solusi optimal. Bentuk f pada ef (G, Gˆ) digunakan untuk menekankan ketergantungan pada masalah optimisasi.
Perhatikan bahwa ef (G, Gˆ) ≥ 0, karena bentuk kedua adalah minimum sebenarnya, sedangkan yang pertama adalah nilai fungsi objektif (sebenarnya) pada solusi aproksimasi. Perhatikan juga bahwa solusi optimal tidak dibandingkan, tetapi membandingkan nilai-nilai yang sesuai dari fungsi objektif. Alasannya adalah bahwa fungsi objektif masalah pemograman stokastik biasanya datar, sehingga terdapat solusi berbeda yang memberikan nilai objektif yang sangat mirip. Tapi bukan berarti solusi yang mengarah ke fungsi objektif (hampir) sama dan mewakili nilainilai ketidakstabilan.
Definisi (3.1) memiliki satu masalah agak jelas: kesenjangan optimal, yaitu
pada banyak masalah praktis mustahil untuk dikalkulasi. Pflug (2001) memecah-
kan hal ini dengan membuktikan bahwa persamaan 3.2 kondisi Lipshitz seragam
tertentu,
ef (G, Gˆ) ≤ 2 sup|Fˆ(x) − F (x)| ≤ 2Ld(Gˆ, G),
x∈x
(3.2)
15
Universitas Sumatera Utara
16
L adalah konstanta Lipshitz dari f dan d(Gˆ, G) adalah jarak (transportasi) Wasserstein dari fungsi distribusi Gˆ dan G. Sebuah algoritma kemudian dikembangkan untuk membangun pohon skenario yang meminimalkan batas atas, yaitu jarak Wasserstein d(Gˆ, G).
Perlu dicatat bahwa secara umum batas ini cukup renggang, sehingga walaupun ditemukan pohon skenario yang meminimalkan batas atas, tidak menjamin akan mendekati nilai minimum ef . Alasannya adalah bahwa meminimalkan batas atas tidak bergantung pada masalah optimisasi, jadi hubungan generasi skenario dan masalah telah hilang. Hanya konstanta L, yaitu keketatan batas yang tergantung pada masalah. Dalam konteks ini, metode generasi skenario dapat dipandang sebagai heuristik untuk meminimalkan kesenjangan optimalitas ef . Tentu saja, metode yang ditetapkan untuk meminimalkan batas atas pada ef mungkin diuji.
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario
Misalkan ξ proses stokastik asli pada ruang probabilitas (Ω, F , P) dengan parameter {1, ..., T } dan ruang semesta Rd. Tujuannya untuk menghasilkan pohon skenario ξtr sehingga jarak
ξ − ξtr r dan Df∗(ξ, ξtr)
(3.3)
adalah kecil dan karenanya, nilai optimal υ(ξ) dan υ(ξtr), dan solusi aproksimasi menetapkan Sε(ξ) dan Sε(ξtr) saling berdekatan.
Idenya adalah untuk memulai dengan aproksimasi awal yang baik ξˆ dari ξ memiliki jumlah terbatas skenario ξi = (ξ1i , ..., ξTi ) ∈ RT d dengan probabilitas pi > 0, i = 1, ..., N , dan akar umum, misalnya, ξ11 = ... = ξ1N =: ξ1∗. Skenario ini mungkin diperoleh dengan teknik kuantisasi, seperti yang dinyatakan oleh Graf dan Luschgy (2000), atau dengan teknik sampling atau resampling berdasarkan model stokastik parametrik dan nonparametrik ξ.
Berikut ini diasumsikan bahwa
ξ − ξˆ r + Df∗(ξ, ξˆ) ≤ ε
(3.4)
Universitas Sumatera Utara
17
berlaku untuk beberapa toleransi (awal) yang diberikan ε > 0. Sebagai contoh, kondisi (3.4) mungkin cukup untuk Df∗ dan untuk setiap toleransi ε > 0 jika ξˆ diperoleh dengan sampling dari himpunan berhingga dengan ukuran sampel yang
cukup besar. Heitsch dan Romisch (2009) memberikan contoh mengenai masalah
ini.
Selanjutnya digambarkan prosedur algoritma yang dimulai dengan ξ dan be-
rakhir dengan proses pohon skenario ξtr memiliki node (simpul) akar yang sama ξ1∗, mengurangi node dari ξˆ dan memungkinkan untuk perkiraan konstruktif dari
ξˆ − ξtr r
(3.5)
Menurut Heitsch dan Rmisch (2008) ide dari algoritma ini adalah membentuk kelompok skenario berdasarkan pada reduksi skenario pada waktu hirizon {1, ..., t} secara rekursif untuk meningkatkan waktu t.
Untuk itu, bentuk semi Lr r,t pada Lr(Ω, F , P; Rs) (dengan s = T d)
diberikan oleh
ξ
r,t
:=
(E[|ξ|tr
])
1 r
(3.6)
digunakan pada langkah t, dimana t adalah nilai semi pada Rs , untuk setiap ξ = (ξ1, ..., ξT ∈ Rs, diberikan oleh |ξ|t := |(ξ1, ..., ξt, 0, ..., 0)|.
Prosedur berikut menentukan proses rekursif stokastik ξˆt memiliki skenario ξˆt,i diberikan dengan probabilitas pi, i ∈ I := {1, ..., N }, dan, di samping itu, partisi C = {Ct1, ..., CtKt} dari himpunan indeks I, yaitu,
Ctk ∩ Ctk′ = ∅
(k = k′)
dan
Kt
Ctk = I
k=1
(3.7)
Indeks menghasilkan Ctk ∈ Ct, k = 1, ..., Kt, mencirikan kelompok skenario. Inisialisasi prosedur terdiri dari membentuk ξˆ1 := ξˆ, yaitu, ξˆ1,i = ξi, i ∈ I, dan
C1 = {I}. Pada langkah t (dengan t > 1) dipertimbangkan bahwa setiap kelompok
Ctk−1, yaitu, setiap subset skenario {ξˆt−1,i}i∈Ctk−1, secara terpisah dan menghapus skenario {ξˆt−1,j}j∈Jtk dengan algoritma seleksi sehingga
Kt−1
(
k=1
j∈Jtk
pj
min|ξˆt−1,i
i∈Itk
−
ξˆt−1,j
|rt )
1 r
(3.8)
Universitas Sumatera Utara
18
dibatasi dari atas oleh beberapa toleransi yang dibutuhkan. Disini, himpunan indeks Itk skenario yang tersisa diberikan oleh
Itk = Ctk−1\Jtk
(3.9)
Seperti dalam prosedur reduksi skenario umum, himpunan indeks Jtk dibagi ke dalam himpunan indeks Jtk,i, i ∈ Itk sehingga
Jtk =
Jtk,i,
i∈Itk
dan
Jtk,i := {j ∈ Jtk : i = ikt (j)}
ikt (j)
∈
arg
min|ξˆt−1,i
i∈Itk
−
ξˆt−1,j |tr
(3.10)
Selanjutnya didefinisikan pemetaan αt : I → I sehingga
αt(j) =
i = itk(j),
j ∈ Jtkj,,
k = 1, ..., Kt−1 lainnya
(3.11)
Kemudian skenario proses stokastik ξˆt = {ξˆτt }Tτ=1 didefinisikan oleh
ξˆτt,i =
ξτατ (i), τ ≤ t ξτi , lainnya
(3.12)
dengan probabilitas pi untuk setiap i ∈ I. Proses ξˆt diilustrasikan pada Gambar 3.1, dimana ξˆt sesuai dengan gambar ke-t untuk t = 1, ..., T . Partisi Ct pada t
didefinisikan dengan
Ct = {αt−1(i) : i ∈ Itk, k = 1, ..., Kt−1}
(3.13)
yaitu, setiap elemen himpunan indeks Itk mendefinisikan sebuah kelompok baru dan partisi baru Ct adalah penyempurnaan dari bentuk partisi Ct−1.
Skenario dan probabilitas dari pohon skenario final ξtr := ξˆT diberikan oleh sruktur partisi final CT , yaitu, memiliki bentuk
ξtkr = (ξ1∗, ξ2α2(i), ..., ξ2αt(i), ..., ξ2αT (i)) dan πTk =
pj jika i ∈ CTk (3.14)
j∈CTk
untuk setiap k = 1, ..., KT . Himpunan indeks It dari realisasi ξttr diberikan oleh
Kt−1
It :=
Itk
k=1
(3.15)
Universitas Sumatera Utara
19
Untuk setiap t ∈ {1, ..., T } dan setiap i ∈ I terdapat sebuah indeks unik
kt(i) ∈ {1, ..., Kt} sehingga i ∈ Ctkt(i).
Selain
itu,
diperoleh
Ctkt(i)
=
{i}
∪
J kt−1(i) t,i
untuk setiap i ∈ It. Probabilitas realisasi ke-i dari ξttr adalah πti = p .j∈Ctkt(i) j Derajat percabangan skenario i ∈ It−1 bertepatan dengan kardinilitas Itkt(i).
Hasil berikutnya mengkuantisasi kesalahan relatif dari langkah konstruksi ke-t.
Teorema 3.1 Misalkan proses stokastik ξˆ dengan node awal ξ1∗, skenario ξi dan probabilitas pi, i = 1, ..., N , diberikan. Misalkan ξtr proses stokastik dengan skenario ξtkr = (ξ1∗, ξ2α2(i), ..., ξ2αt(i), ..., ξ2αT (i)) dan probabilitas πTk jika i ∈ CTk , k = 1, ..., KT . Kemudian diperoleh
T Kt−1
|ξˆ − ξtr|r
≤
(
t=2 k=1
pj
j∈Jtk
mi∈iIntk |ξti
−
ξtj
|r)
1 r
(3.16)
Kemudian, disediakan sebuah algoritma fleksibel yang memungkinkan untuk membentuk berbagai pohon skenario yang menunjukkan toleransi aproksimasi dengan hubungan ke jarak Lr.
Algoritma 3.2 Misalkan N skenario ξi dengan probabilitas pi, i = 1, ..., N , akar
tetap ξ1∗ ∈ Rd dan distribusi probabilitas P, r ≥ 1 dan toleransi εr, εt, t = 2, ..., T ,
T
diberikan sehingga εt ≤ εr.
t=2
Langkah 1 : Bentuk ξˆ1 := ξˆ dan C1 = {{1, ..., N }}.
Langkah t : Misalkan Ct−1 = {Ct1−1, ..., CtK−t1−1}. Tentukan adjoin himpunan indeks Itk dan Jtk sehingga Itk ∪ Jtk = Ctk−1, pemetaan αt( ) sesuai persamaan (3.11) dan proses stokastik ξˆt memiliki N skenario ξˆt,i dengan probabilitas pi sesuai persamaan (3.12) dan sehingga
Kt−1
ξˆt − ξˆt−1
r r,t
=
k=1 j∈Jtk pj mi∈Iintk |ξti − ξtj |r ≤ εtr
(3.17)
Bentuk Ct = {α−t 1(i) : i ∈ Itk, k = 1, ..., Kt−1}.
Universitas Sumatera Utara
20
Langkah t + 1 : Misalkan Ct = {CT1 , ..., CTKt}. Buatlah sebuah proses stokastik ξtr memiliki KT skenario ξtkr sehingga ξtkr,t := ξtαt(i), t = 1, ..., T jika i ∈ CTk dengan probabilitas πTk sesuai persamaan (3.12), k = 1, ..., KT .
Gambar 3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu T = 5
Sumber : Heitsch dan Romisch (2008)
Gambar pertama pada Gambar 3.1 mengilustrasikan proses ξˆ, gambar ke-t sesuai dengan Langkah 6 dan mengilustrasikan pohon skenario final ξtr.
Akibat 3.3 Misalkan proses stokastik ξˆ dengan node awal ξ1∗, skenario ξi dan
probabilitas pi, i = 1, ..., N , diberikan. Jika ξtr dibentuk dengan Algoritma 3.2,
diperoleh
T
ξˆ − ξtr r ≤ εt ≤ εr
(3.18)
t=2
Universitas Sumatera Utara
21
Hasil selanjutnya menyatakan bahwa jarak |υ(ξ) − υ(ξtr)| dari nilai optimal akan kecil jika toleransi awal ε pada (3.4) serta εr kecil.
Teorema 3.4 Misalkan (A1), (A2) dan (A3) dinyatakan dengan r′ ∈ [1, ∞) dan himpunan X1(ξˆ1) tidak kosong dan seragam dibatasi pada Rm1 jika |ξˆ1 − ξ1| ≤ δ. Misalkan L > 0, δ > 0 dan C > 0 menjadi konstanta. Jika (ε(rn)) adalah urutan yang cenderung menuju 0 sehingga toleransi yang sesuai εt(n) pada Algoritma 3.2 tidak meningkat untuk semua t = 2, ..., T , urutan yang sesuai (ξt(rn)) memiliki bentuk
lim sup|υ(ξ) − υ(ξt(n))| ≤ L max{1, C}ε n→∞
(3.19)
dimana ε > 0 adalah toleransi awal pada (3.4). Bukti : Estimasi
|υ(ξ) − υ(ξt(rn))| ≤ L(εr(n) + ξ − ξˆ r + CDf∗(ξ, ξˆ) + CDf∗(ξˆ, ξt(rn)))
(3.20)
adalah sah dan bahwa Df∗(ξˆ, ξt(rn)) cenderung menuju 0 sebagai n → ∞. Disimpulkan bahwa perkiraan (3.17) mengakibatkan (3.18).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 EVALUASI NUMERIK
Model optimisasi rata-rata resiko dari perusahaan listrik terdiri dari produksi listrik sendiri, kontrak pasar spot, kontrak penyediaan dan listrik berjangka. Stokastik memasukkan model melalui permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik. Pendekatan menghasilkan skenario dalam bentuk pohon skenario terdiri dari mengembangkan model statistik untuk semua komponen stokastik dan dalam menggunakan Algoritma 3.2 dimulai dengan jumlah terbatas skenario yang disimulasikan dari model statistik.
4.1 Model Statistik
Untuk memasukkan data stokastik dari meodel optimisasi (yaitu, permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik), digunakan data historis yang telah ada (dari periode tahunan pengamatan per jam). Permintaan listrik dipengaruhi oleh iklim yang ditandai dengan siklus khas tahunan dengan permintaan tinggi (rendah) selama musim hujan (musim kemarau). Selain itu permintaan listrik mengandung siklus mingguan karena berbagai konsumsi perilaku konsumen swasta dan industri pada akhir kerja dan akhir pekan. Perilaku konsumsi konsumen mencerminkan perbedaan musiman. Dapat diamati pada hari libur, pada hari-hari kerja, dan pada hari-hari dengan kondisi iklim ekstrim. Harga listrik dipengaruhi oleh kondisi iklim, aktivitas ekonomi, produsen listrik lokal, perilaku konsumen, dan lain-lain. Harga listrik juga ditandai oleh siklus tahunan khas dengan harga tinggi (rendah) selama musim hujan (kemarau) dan menunjukkan siklus mingguan dan harian juga
Oleh karena itu, data (harga dan permintaan) terdiri dari profil intra-day dan nilai rata-rata harian. Sedangkan profil intra-day dimodelkan dengan prosedur resampling distribusi bebas berdasarkan pada pengelompokan standar algoritma, dan model time series tiga dimensi dikembangkan untuk nilai rata-rata harian. Hal ini terdiri dari fungsi tren deterministik dan model ARMA (Auto-Regresive Moving-Average) untuk residual time series (stasioner).
22
Universitas Sumatera Utara
23
Kemudian jumlah dari skenario tiga dimensi dapat dengan mudah diperoleh dengan mensimulasikan proses white noise untuk model ARMA dan dengan menambahkan pada fungsi tren, kecocokan profil intra-day dari cluster dan harga yang dikeluarkan dimodelkan oleh proses lompatan difusi diskrit dengan parameter waktu lompatan yang bervariasi. Skenario harga listrik mendatang secara langsung berasal dari harga listrik saat ini (Heitsch dan Romisch).
4.2 Konstruksi Pohon Skenario
Skenario tiga dimensi (permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik) dari penetapan bagian skenario awal dan berfungsi sebagai masukan untuk konstruksi pohon selanjutnya (Algoritma 3.2). Dalam seri pengujian dimulai dengan jumlah total dari 120 sampel skenario untuk satu tahun dengan diskritisasi per jam. Tabel 4.1 menampilkan dimensi input skenario yang disimulasi. Karena pada kenyataannya produksi listrik hanya dapat diperdagangkan bulanan, percabangan ditetapkan pada akhir setiap bulan.
Tabel 4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
Komponen
Horizon Skenario Waktu Node
3 (tiga variasi) 1 tahun 120
8760 880 906
Pohon skenario yang dihasilkan Algoritma 3.2 untuk r = r′ = 2 dan tingkat
reduksi relatif yang berbeda εrel. Tingkat relatif diberikan oleh
εrel
:=
ε εmax
dan
εrel,t
:=
εt εmax
(4.1)
dimana εmax menyatakan maksimum kemungkinan terbaik jarak Lr dari ξˆ dan salah satu skenario yang dinotasikan dengan satuan massa. Toleransi individual εt pada titik-titik percabangan diproleh sedemikian rupa sehingga
εrt
TESIS
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Perbedaan sifat dasar masalah program stokastik dengan masalah optimisasi lainnya adalah pada cara mendefinisikan fungsi tujuan atau fungsi kendala. Pada program stokastik nilai dari beberapa fungsi ini bersifat numerik dan tergantung pada pengambilan random dalam variabel keputusan. Secara khusus, hal ini berarti bahwa ekspektasi matematika dari fungsi bergantung pada variabel keputusan dan beberapa parameter random atau probabilitas dari beberapa kejadian random dikendalikan oleh variabel keputusan. Program stokastik hanya dapat diselesaikan dengan distribusi diskrit dari kardinalitas terbatas. Biasanya, data input berbentuk distribusi kontinu atau himpunan data yang besar. Pembangkit skenario membentuk distribusi diskrit terbatas dari data input tersebut. Tesis ini akan memfokuskan evaluasi numerik dengan metode pohon skenario dari metode aproksimasi dalam program stokastik. Prosedur untuk mengevaluasi metode pohon skenario diilustrasikan pada kasus portfolio manajemen. Kata kunci: Numerik, Aproksimasi, Stokastik
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The difference nature problem of stochastic programs with other optimization problem is on how to define objective function or constraint function. The stochastic program value of some numerical function and depends in random decision-making variables. In particular, this means that mathematical expectation of function depends in decision variables and random parameters or probability of some random events is controlled by the decision variables. The program can only be solved with a stochastic discrete distribution of limited cardinality. Typically, the input data form of a continuous distribution or a large data set. Generating scenarios form a finite discrete distribution of the input data. This thesis will focus on the numerical evaluation of scenario tree method or approximation omethods in stochastic programs. Procedures for evaluating the scenario tree method is illustrated in case of portfolio management. Keyword: Numeric, Approximation, Stochastik
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT memberikan anugrah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding II yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Pembimbing-I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik 2.2 Metode Aproksimasi 2.3 Metode Numerik BAB 3 POHON SKENARIO 3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
1 3 3 3 3
5
5 7 13
15
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario BAB 4 EVALUASI NUMERIK
4.1 Model Statistik 4.2 Konstruksi Pohon Skenario BAB 5 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
16 22 22 23 26 27
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
23
4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan
tahunan
24
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu
T =5
20
4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
24
4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
25
x
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MUHAMMAD ISMAIL
127021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
: Muhammad Ismail : 127021006 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda tercinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muhammad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Januari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Stokastik 2.2 Metode Aproksimasi 2.3 Metode Numerik BAB 3 POHON SKENARIO 3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
1 3 3 3 3
5
5 7 13
15
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario BAB 4 EVALUASI NUMERIK
4.1 Model Statistik 4.2 Konstruksi Pohon Skenario BAB 5 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
16 22 22 23 26 27
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
23
4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan
tahunan
24
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu
T =5
20
4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
24
4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-
si εrel = 0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2
25
x
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa tahun terakhir, program stokastik memiliki popularitas yang semakin meningkat dalam komunitas pemograman matematika. Model pemograman stokastik dapat dilihat sebagai model pemograman matematika dengan ketidakpastian nilai beberapa parameter. Pada nilai tunggal, parameter ini kemudian dijelaskan dengan distribusi (pada kasus periode tunggal), atau dengan proses stokastik (pada kasus multi periode). Kesulitan utama dalam masalah program stokastik adalah dalam menghitung nilai dan gradien (atau subgradien) fungsi masalah.
Untuk membahas hal seperti ini lebih rinci, anggap bahwa fungsi objektif F (x) dalam masalah program stokastik didefinisikan sebagai ekspektasi matematika fungsi f(x, ξ), dimana x ∈ Rn adalah vektor dari variabel keputusan dan ξ adalah vektor berdimensi m dari parameter random. Secara umum, fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai berikut :
F (x) = Ef (x, ξ) = fΩf (x, ξ(w))P (dω)
(1.1)
dimana Ω menunjukkan ruang probabilitas abstrak dan P adalah ukuran probabilitas.
Menurut Kall et al., (1984) ada 2 pendekatan utama yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan ini, yaitu metode aproksimasi dan metode stokastik quasigradien. Dalam metode aproksimasi masalah yang sebenarnya diganti dengan hal yang sederhana dengan melakukan aproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ˜ pada integral yang lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ˜ sebagai vektor random diskrit dan hanya digunakan dalam bentuk penjumlahan. Metode stokastik quasigradien tidak menggunakan perhitungan integral. Ide pokok dari
1
Universitas Sumatera Utara
2
metode ini adalah membuat langkah random dalam aturan perhitungan dasar dari beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada setiap langkah.
Kebaikan dari metode aproksimasi adalah tidak cenderung untuk mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f(x, ξk) dan penyesuaian gradien (atau subgradien dalam kasus nondiferensiasi) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξk dari ξ, k = 0, 1, 2, ... (Kall et al., 1984).
Kuchler dan Vigerske (2009) menyatakan bahwa ketika membentuk aproksimasi untuk masalah program stokastik, harus dianalisis hal-hal yang saling terkait berikut.
1. Harus menemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random sebenarnya ξ dengan sesuatu yang diskrit.
2. Mempelajari hubungan antara masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat.
3. Membutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, dengan membentuk aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.
Metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk mendapatkan dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario. Teknik ini mengikuti prinsipprinsip yang berbeda seperti Random Sampling, Ukuran Probabilitas, Quasi MonteCarlo Sampling (Kuchler dan Vigerske, 2009).
Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu. Analisa stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlihat seperti yang terdapat pada hasil penelitian Heitsch et al., (2006) serta Mirkov dan Pflug (2007). Sayangnya, di satu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus.
Universitas Sumatera Utara
3
Tesis ini akan fokus pada evaluasi numerik dari metode aproksimasi dalam program stokastik yang diberikan. Pendekatan ini tidak menghasilkan metode yang terbaik, tetapi mencoba menemukan cara yang netral dalam mengevaluasi metode yang disarankan.
1.2 Perumusan Masalah Dengan melakukan evaluasi numerik dari metode aproksimasi, persoalan pada
tesis ini adalah bagaimana penggunaan pohon skenario untuk mempelajari perilaku dari metode aproksimasi untuk program stokastik.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan evaluasi menggunakan pohon
skenario untuk program stokastik yang diilustrasikan dengan evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen.
1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini penting untuk menunjukkan bahwa terdapat persyaratan-
persyaratan minimal yang harus dikenakan pada metode pohon skenario sebelum dapat digunakan untuk menyelesaikan program stokastik.
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengum-
pulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Menjelaskan program stokastik; 2. Menjelaskan metode aproksimasi; 3. Menjelaskan metode pohon skenario;
Universitas Sumatera Utara
4 (a) Ukuran kualitas pohon skenario; (b) Pengujian metode pohon skenario. 4. Membuat evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen; 5. Membahas beberapa aspek dan persyaratan pada metode pohon skenario; 6. Membuat kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Program Stokastik Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program sto-
kastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya.
Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, ..., xn). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah :
Min f (x1, x2, x3, ..., xn) Kendala : g1(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0
g2(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0 . . .
gn(x1, x2, x3, ..., xn) ≤ 0 (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g1, g2, ...gn adalah kendala yang dihadapi dalam program stokastik.
Menurut Kal dan Wallace (1994) program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data.
5
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:
6
1. Program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu);
2. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak (Kall dan Wallace, 1994).
Model pemograman stokastik periode tunggal dapat dirumuskan sebagai
z∗ = min F (x) = min EG[f (x, ξ˜)] = min f (x, ξ˜)dG(ξ˜)
x∈X
x∈X
x∈X ξ˜
x∗ ∈ arg min F (x), jadi z∗ = F (x∗), x∈X
(2.1)
dimana ξ˜ adalah vektor random, dan distribusi G harus independen dari vektor keputusan x. Diasumsikan bahwa daerah layak X independen dari ξ˜, yaitu dia-
sumsikan secara relatif merupakan jalan yang komplit.
Notasi topi digunakan untuk membedakan antara masalah sebenarnya dan masalah berbasis skenario, sehingga Gˆ, Fˆ, dan xˆ∗ masing-masing digunakan untuk
fungsi distribusi, fungsi objektif, dan solusi optimal berbasis skenario. Selain itu, huruf tebal menunjukkan vektor, sehingga ξˆ menyatakan vektor stokastik. Sehing-
ga, versi berbasis skenario dari masalah optimisasi adalah
zˆ∗ = min Fˆ(x) = min EGˆ[f (x, ξˆ)] = min f (x, ξˆ)dGˆ(ξˆ)
x∈X
x∈X
x∈X ξˆ
xˆ∗ ∈ arg min Fˆ(x), jadi zˆ∗ = Fˆ(xˆ∗), x∈X
(2.2)
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Metode Aproksimasi
Dalam kasus tertentu, jika ξ pada (1.1) adalah vektor random diskrit yang
hanya mencapai nilai terbatas dari nilai-nilai ξ1, ξ2, ..., ξL dengan probabilitas p1 >
0, p2 > 0, ..., pL > 0,
L l=1
pl
=
1,
sehingga
diperoleh
L
F (x) = plf (x, ξl)
l=1
(2.3)
Tetapi dalam kasus tertentu lainnya, jika vektor random ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξm) mempunyai fungsi probabilitas kepadatan ϕ(ξ1, ξ2, ..., ξm) rumus umum (1.1) menjadi bentuk integral Riemann
F (x) =
· · · f (x, ξ)ϕ(ξ)dξ2...dξm
Rm
(2.4)
Untuk mengevaluasi fungsi objektif F pada titik x tertentu perlu menghitung integral ganda yang berhubungan dengan mengukur gambaran ξ. Jika tidak mungkin melakukan integrasi analitis, maka harus digunakan metode numerik, yang biasanya membutuhkan banyak usaha komputasi, yang meningkat pesat dengan dimensi ξ dan dengan akurasi yang dibutuhkan.
Menurut Bazaraa dan Shetty (1979), aplikasi dari metode umum pemogra-
man nonlinier untuk masalah pemograman stokastik akan memerlukan perhitung-
an integral dari bentuk (1.1) pada setiap titik xk, k = 0, 1, 2, ..., yang dihasilkan
dari algoritma optimisasi. Kesulitan meningkat jika teknik yang dihasilkan dari
algoritma optimisasi juga memerlukan gradien ∇F (xk), k = 0, 1, 2, ..., yang dalam
kasus ini menjadi lebih sulit untuk evaluasi secara objektif. Fungsi f(x, ξ) pada
(1.1) secara terus-menerus dideferensialkan terhadap x untuk setiap ξ, kemudian,
di bawah kondisi tambahan yang wajar F (x) secara terus-menerus dideferensialkan
dan
∇F (x) = ∇xf (x, ξ(ω))P (dω)
Ω
(2.5)
dimana ∇xf(x, ξ) menunjukkan gradien dari f terhadap x. Dalam dua kasus tertentu di atas diperoleh
L
∇F (x) = pl∇f (x, ξl)
l=1
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
8
dan
∇F (x) =
· · · ∇xf (x, ξ)ϕ(ξ)dξ1dξ2...dξm
(2.7)
Rm
Karena metode pemrograman nonlinier biasanya memerlukan banyak perulangan untuk mencapai daerah hasil, upaya perhitungan total diperlukan di luar biaya yang dapat diberikan.
Ada dua pendekatan pokok dalam mengatasi kesulitan di atas : teknik aproksimasi dan metode stokastik quasigradient.
Pada teknik aproksimasi masalah sebenarnya diganti dengan hal sederhana melalui mengaproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ˜ agar integral pada (1.1) lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ˜ sebagai vektor
random diskrit dan digunakan pada (2.1).
Metode stokastik quasigradient tidak menggunakan perhitungan integral pada (1.1). Ide pokok dari metode ini adalah membuat langkah-langkah random dalam perhitungan berdasarkan beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada tiap langkah. Kebalikan dari teknik aproksimasi, metode ini cenderung tidak mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f (x, ξk) dan menyesuaikan gradien ∇xf (x, ξk) (atau subgradien pada kasus nondiferensial) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξk dari ξ, k = 0, 1, 2, .... Beberapa jenis metode self-learning dibangun, dimana setiap langkah tertentu mungkin tidak efisien, tetapi nilai yang besar menunjukkan sifat umum statistik yang berarti konvergen dengan satu solusi aproksimasi.
Ketika membentuk aproksimasi untuk masalah pemorgraman stokastik harus dianalisis pertanyaan yang saling terkait berikut.
1. Harus ditemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random asli ξ dengan yang diskrit;
2. Harus dipelajari hubungan antara masalah sebenarnya dengan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat;
Universitas Sumatera Utara
9
3. Dibutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, jika tidak cukup, dengan membangun aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.
Sebelum menyelidiki masalah ini secara detil, berikut beberapa ide dasar dan bentuk matematika dari pendekatan ini.
Misalkan Ξ ⊂ Rm menjadi pendukung dari vektor random ξ (yaitu himpunan terkecil tertutup di Rm sehingga P {ξεΞ} = 1), dan misalkan SL adalah koleksi terbatas dari himpunan bagian Ξl, l = 1, 2, ..., L, dimana Ξ memenuhi kondisi berikut:
L
Ξl = Ξ,
l=1
(2.8)
Ξi ∩ Ξj = ∅; i = j; i, j = 1, 2, ..., L.
(2.9)
Dinyatakan bahwa SL adalah partisi dari Ξ.
Untuk setiap partisi dapat menggunakan integral (1.1) sebagai berikut
L
F (x) = f(x, ξ)P (dξ) =
f(x, ξ)P (dξ),
Ξ l=1 Ξ
(2.10)
dimana integrasi melalui dukungan Ξ ⊂ Rm dan menggunakan deskripsi dari distribusi ξ pada rentang nilai-nilainya.
Pada kasus tertentu (2.2), yang secara khusus berguna, (2.8) menjadi
L
F (x) =
l=1
· · · f (x, ξ)ϕ(ξ)dξ1dξ2...dξm
Ξl
(2.11)
Metode yang paling sederhana untuk menghitung integral pada perkiraan masing-masing integral melalui Ξl sebagai berikut
f (x, ξ)P (dξ) ≈ f (x, ξl) P (dξ) = f (x, ξl)P {ξεΞl}
Ξl Ξl
(2.12)
Universitas Sumatera Utara
10
dimana ξl dipilih mewakili subset Ξl. Dengan kata lain, diaproksimasi fungsi f(x, ξ) dengan fungsi berikutnya pada ξ, yang bernilai konstan pada setiap himpunan Ξl, l = 1, 2, ..., L. Dengan demikian diperoleh aproksimasi F (x):
L
F L(x) = plf (x, ξl)
l=1
(2.13)
dengan
pl = P {ξεΞl}
(2.14)
Dari (2.6) dan (2.7) diperoleh
L l=1
pl
=
1,
aproksimasi
ini
dapat
diinter-
pretasikan secara ekuivalen sebagai aproksimasi ξ dengan sebuah vektor random
diskrit ξ˜ mencapai nilai ξl dengan probabilitas pl, l = 1, 2, ..., L, dan formula aprok-
simasi (2.11) tepat berbentuk (2.1).
Pada umumnya, jika bentuk Ξ terbatas dan jika max P {ξεΞl} → 0 sampai 1≤l≤L
L → ∞, kemudian untuk setiap x, berdasarkan asumsi yang tepat pada f(x, ξ) diperoleh titik konvergen dari nilai fungsi : F L(x) → F (x) sampai L → ∞. Hal ini menjadi dasar dan sangat diperlukan, akan tetapi, tidak cukup, karena terdapat konvergensi dari urutan solusi xˆL dari masalah aproksimasi, atau paling tidak bagian urutan konvergen untuk solusi yang sebenarnya dari masalah optimisasi. Beberapa kondisi tambahan, misalnya kepadatan dari himpunan yang mungkin dari x dengan konvergensi seragam dari F L ke F , dibutuhkan untuk kepastian jenis konvergensi. Hal yang sering terjadi, yaitu bahwa dalam prakteknya nilai x˜ memuaskan, dimana nilai objektif terletak antara nilai toleransi tertentu dengan tujuan ke nilai minimum, dan hal ini mungkin tercapai pada masalah yang lebih luas.
Akan tetapi, masih sangat sulit untuk menentukan terlebih dahulu bagaimana sebaiknya partisi dapat memastikan keakuratan aproksimasi. Pembagian Ξ ke dalam beberapa bentuk kecil Ξl, l = 1, 2, ..., L, tanpa strategi apapun secara langsung dapat meningkatkan kompleksitas komputasi dari masalah aproksimasi. Untuk mengilustrasikan kesulitan yang mungkin timbul, andaikan bahwa terdapat 10 variabel acak skalar bebas dalam masalah yang sebenarnya, sehingga ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξ10). Jika dukungan dari setiap ξj, j = 1, 2, ..., 10, dibagi menjadi
Universitas Sumatera Utara
11
10 subinterval, diperoleh 1010 himpunan bagian Ξl dari dukungan Ξ pada ξ, jumlah yang nyata di luar kemampuan komputasi.
Untuk menghindari jumlah berlebihan dari subset Ξl harus digunakan partisi yang tidak seragam yang sesuai untuk sifat dari f(x, ξ) sebagai fungsi ξ. Masalah membentuk beberapa partisi berkaitan erat dengan cara memilih titik-titik ξlεΞl. Dari segi konvergensi, ini dapat menjadi titik bebas; namun, jika lebih berhati-hati dalam memilih, dinamakan ekspektasi bersyarat
ξl = E{ξ(ω)/ξ(ω)εΞl}
(2.15)
dengan probabilitas
pl = P {ξ(ω)εΞl}
(2.16)
maka dapat meningkatkan akurasi aproksimasi pada banyak kasus, tetapi juga memperoleh informasi yang dapat membantu untuk memperbaiki partisi yang benar jika akurasi tidak mencukupi.
Memang, jika fungsi f(x, ξ) linier terhadap ξ pada himpunan Ξl, maka dengan ξl didefinisikan oleh (2.13) diperoleh kesetaraan pada (2.10),
f (x, ξ)P (dξ) = f (x, ξl)P {ξεΞl}
Ξl
(2.17)
Ini berarti bahwa pembagian selanjutnya dari subset Ξl tidak menggunakan peningkatan akurasi dari aproksimasi pada x. Di sisi lain, jika f(x, .) nonlinier pada Ξl, aproksimasi pada Ξl dapat agak kasar dan partisi halus dari Ξl diinginkan. Oleh karena itu, kepadatan partisi pada berbagai sub-wilayah dari bentuk Ξl harus terkait dengan sifat nonlinier dari f(x, .).
Umumnya, tidak diketahui sifat rinci fungsi f(x, ξ), beberapa informasi dapat diperoleh dalam memecahkan masalah aproksimasi yang pasti. Selain itu, sifat dari fungsi f(x, .) berubah ketika x berubah, dan perlu untuk memiliki partisi yang baikmdari x mendekati solusi masalah.
Jadi, metode aproksimasi yang membentuk partisi Ξ dan mengaproksimasi sebuah solusi menjadi masalah asli yang saling terkait adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
12
1. Pilih partisi awal Ξl, l = 1, 2, ..., L yang memenuhi (2.6) dan (2.7);
2. Pilih titik ξlεΞ dan probabilitas pl, l = 1, 2, ..., L sesuai dengan (2.13) dan (2.14);
3. Memecahkan masalah aproksimasi;
4. Pada solusi x˜L dianalisis akurasi aproksimasi dengan menyelidiki sifat fungsi f (x˜L, ξ) pada masing-masing subset Ξl, l = 1, 2, ..., L, memilih hal-hal yang harus dibagi lagi, jika akurasi tidak cukup, dan ulangi langkah 3.
Realisasi rinci dari prosedur ini tergantung pada sifat dari kelas masalah yang diterapkan.
Pendekatan untuk evaluasi aproksimasi dan metode solusi untuk multi stage linier program stokastik dengan mengukur kinerja solusi yang diperoleh pada suatu himpunan skenario out-of-sample. Titik utama dari pendekatan adalah untuk mengembalikan kelayakan solusi untuk masalah aproksimasi sepanjang skenario out-of-sample. Untuk tujuan ini, dipertimbangkan dan dibandingkan kelayakan yang berbeda dan mengoptimalkan berdasarkan metode proyeksi. Dengan demikian, dipelajari bahwa kualitas solusi untuk tes model berdasarkan pada keklasikkan serta mengkombinasikan pohon skenario.
Secara umum, metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk memiliki dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario atau pohon skenario terbatas. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti random sampling, momen pencocokan, ukuran probabilitas, Quasi Monte-Carlo sampling. Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu dan sifat perkiraan statistik dan berbatas telah ditetapkan. Analisis stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlibat.
Disatu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus kepentingan
Universitas Sumatera Utara
13
praktis. Di sisi lain, kuantitatif batas kesalahan dan sifat statistik tidak tersedia untuk semua kelas masalah. Selanjutnya, karena kompleksitas numerik dari model program stokastik. kadang-kadang perlu menggunakan aproksimasi yang terlalu kasar untuk mendapatkan batas kesalahan yang berarti atau interval kepercayaan melalui hasil asimtotik.
Dalam kasus tersebut, harus menggunakan metode numerik untuk mengukur kinerja dan kualitas dari metode aproksimsi dan solusi. Karena tugas utama program stokastik adalah untuk memberikan strategi keputusan yang cukup kuat yang dapat diterapkan dalam skenario kehidupan nyata, hal itu menunjukkan program tersebut untuk mengukur kualitas suatu metode aproksimsi dengan mengevaluasi solusi (optimal) diperoleh dari pemecahan masalah aproksimasi. Hal ini dapat dilakukan, misalnya, dengan mengevaluasi solusi ini bersama metode pohon skenario.
2.3 Metode Numerik
Menurut Ralston dan Rabinowitz (1978) metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Atau bisa dikatakan bahwa metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis, dan memasuki wilayah simulasi. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Deret Taylor.
Aproksimasi orde ke-0 dilakukan dengan mengambil 1 suku pertama, yaitu nilai
sebelumnya.
f (xi+1) ≈ f (xi)
(2.18)
Aproksimasi orde ke-1 dilakukan dengan menambahi suku lainnya. f (xi+1) ≈ f (xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi) → f ′(xi) adalah kemiringan/slope (2.19)
Aproksimasi orde ke-2 dilakukan dengan menambahi lagi suku lainnya.
f (xi+1)
≈
f (xi)
+
f ′(xi)(xi+1
−
xi)
+
f
′′(xi 2!
)
(xi+1
−
xi)2
(2.20)
Universitas Sumatera Utara
14
Sehingga Deret Taylor selengkapnya adalah sebagai berikut:
f (xi+1)
=
f (xi)
+
f ′(xi)(xi+1
−
xi)
+
f ′′(xi) 2!
(xi+1
−
xi)2
+
f
′′′(xi) 3!
(xi+1
−
xi)3
+
...
+
f
n (xi n!
)
(xi+1
−
xi)n
+
Rn
(2.21)
dimana
Rn
=
f n+1(ξ) (n+1)!
(xi+1
− xi)n+1
dan
ξ
adalah
suatu
harga
x
pada
interval
h
=
xi+1 − xi.
Seringkali ada baiknya untuk memudahkan Deret Taylor dengan mendefinisikan suatu ukuran langkah h = xi+1 − xi dan menyatakan persamaan (2.4) sebagai :
f (xi+1)
=
f (xi)
+
f ′(xi)h
+
f
′′(xi) 2!
h2
+
f
′′′(xi) 3!
h3
+
...
+
f
n(xi) n!
hn
+
Rn
(2.22)
Dimana suku sisa sekarang adalah
Rn
=
f n+1 (n +
(ξ) 1)!
hn
+
1
(2.23)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 POHON SKENARIO
3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario
Kesalahan aproksimasi vektor random ξ˜ dengan distribusi G oleh diskritisasi ξˆ dengan distribusi Gˆ, untuk masalah pemograman stokastik pada (2.1), mengakibatkan kesenjangan optimal, yaitu perbedaan antara nilai fungsi objektif sebenarnya pada solusi optimal dari masalah masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi:
e(F, Fˆ) = ef (G, Gˆ) = F (arg min Fˆ(x)) − F (arg min F (x))
x∈x
x∈x
= F (arg min Fˆ(x) − min F (x) = F (xˆ∗) − z∗,
x∈X
x
(3.1)
dimana Fˆ(x) = EGˆ[f (x, ξ˜)] dan xˆ∗ adalah solusi optimal dari masalah aproksimasi. Jika terdapat beberapa solusi optimal yang lebih baik, xˆ∗ dan fungsi arg min harus dipahami sebagai salah satu solusi optimal. Bentuk f pada ef (G, Gˆ) digunakan untuk menekankan ketergantungan pada masalah optimisasi.
Perhatikan bahwa ef (G, Gˆ) ≥ 0, karena bentuk kedua adalah minimum sebenarnya, sedangkan yang pertama adalah nilai fungsi objektif (sebenarnya) pada solusi aproksimasi. Perhatikan juga bahwa solusi optimal tidak dibandingkan, tetapi membandingkan nilai-nilai yang sesuai dari fungsi objektif. Alasannya adalah bahwa fungsi objektif masalah pemograman stokastik biasanya datar, sehingga terdapat solusi berbeda yang memberikan nilai objektif yang sangat mirip. Tapi bukan berarti solusi yang mengarah ke fungsi objektif (hampir) sama dan mewakili nilainilai ketidakstabilan.
Definisi (3.1) memiliki satu masalah agak jelas: kesenjangan optimal, yaitu
pada banyak masalah praktis mustahil untuk dikalkulasi. Pflug (2001) memecah-
kan hal ini dengan membuktikan bahwa persamaan 3.2 kondisi Lipshitz seragam
tertentu,
ef (G, Gˆ) ≤ 2 sup|Fˆ(x) − F (x)| ≤ 2Ld(Gˆ, G),
x∈x
(3.2)
15
Universitas Sumatera Utara
16
L adalah konstanta Lipshitz dari f dan d(Gˆ, G) adalah jarak (transportasi) Wasserstein dari fungsi distribusi Gˆ dan G. Sebuah algoritma kemudian dikembangkan untuk membangun pohon skenario yang meminimalkan batas atas, yaitu jarak Wasserstein d(Gˆ, G).
Perlu dicatat bahwa secara umum batas ini cukup renggang, sehingga walaupun ditemukan pohon skenario yang meminimalkan batas atas, tidak menjamin akan mendekati nilai minimum ef . Alasannya adalah bahwa meminimalkan batas atas tidak bergantung pada masalah optimisasi, jadi hubungan generasi skenario dan masalah telah hilang. Hanya konstanta L, yaitu keketatan batas yang tergantung pada masalah. Dalam konteks ini, metode generasi skenario dapat dipandang sebagai heuristik untuk meminimalkan kesenjangan optimalitas ef . Tentu saja, metode yang ditetapkan untuk meminimalkan batas atas pada ef mungkin diuji.
3.2 Membangkitkan Pohon Skenario
Misalkan ξ proses stokastik asli pada ruang probabilitas (Ω, F , P) dengan parameter {1, ..., T } dan ruang semesta Rd. Tujuannya untuk menghasilkan pohon skenario ξtr sehingga jarak
ξ − ξtr r dan Df∗(ξ, ξtr)
(3.3)
adalah kecil dan karenanya, nilai optimal υ(ξ) dan υ(ξtr), dan solusi aproksimasi menetapkan Sε(ξ) dan Sε(ξtr) saling berdekatan.
Idenya adalah untuk memulai dengan aproksimasi awal yang baik ξˆ dari ξ memiliki jumlah terbatas skenario ξi = (ξ1i , ..., ξTi ) ∈ RT d dengan probabilitas pi > 0, i = 1, ..., N , dan akar umum, misalnya, ξ11 = ... = ξ1N =: ξ1∗. Skenario ini mungkin diperoleh dengan teknik kuantisasi, seperti yang dinyatakan oleh Graf dan Luschgy (2000), atau dengan teknik sampling atau resampling berdasarkan model stokastik parametrik dan nonparametrik ξ.
Berikut ini diasumsikan bahwa
ξ − ξˆ r + Df∗(ξ, ξˆ) ≤ ε
(3.4)
Universitas Sumatera Utara
17
berlaku untuk beberapa toleransi (awal) yang diberikan ε > 0. Sebagai contoh, kondisi (3.4) mungkin cukup untuk Df∗ dan untuk setiap toleransi ε > 0 jika ξˆ diperoleh dengan sampling dari himpunan berhingga dengan ukuran sampel yang
cukup besar. Heitsch dan Romisch (2009) memberikan contoh mengenai masalah
ini.
Selanjutnya digambarkan prosedur algoritma yang dimulai dengan ξ dan be-
rakhir dengan proses pohon skenario ξtr memiliki node (simpul) akar yang sama ξ1∗, mengurangi node dari ξˆ dan memungkinkan untuk perkiraan konstruktif dari
ξˆ − ξtr r
(3.5)
Menurut Heitsch dan Rmisch (2008) ide dari algoritma ini adalah membentuk kelompok skenario berdasarkan pada reduksi skenario pada waktu hirizon {1, ..., t} secara rekursif untuk meningkatkan waktu t.
Untuk itu, bentuk semi Lr r,t pada Lr(Ω, F , P; Rs) (dengan s = T d)
diberikan oleh
ξ
r,t
:=
(E[|ξ|tr
])
1 r
(3.6)
digunakan pada langkah t, dimana t adalah nilai semi pada Rs , untuk setiap ξ = (ξ1, ..., ξT ∈ Rs, diberikan oleh |ξ|t := |(ξ1, ..., ξt, 0, ..., 0)|.
Prosedur berikut menentukan proses rekursif stokastik ξˆt memiliki skenario ξˆt,i diberikan dengan probabilitas pi, i ∈ I := {1, ..., N }, dan, di samping itu, partisi C = {Ct1, ..., CtKt} dari himpunan indeks I, yaitu,
Ctk ∩ Ctk′ = ∅
(k = k′)
dan
Kt
Ctk = I
k=1
(3.7)
Indeks menghasilkan Ctk ∈ Ct, k = 1, ..., Kt, mencirikan kelompok skenario. Inisialisasi prosedur terdiri dari membentuk ξˆ1 := ξˆ, yaitu, ξˆ1,i = ξi, i ∈ I, dan
C1 = {I}. Pada langkah t (dengan t > 1) dipertimbangkan bahwa setiap kelompok
Ctk−1, yaitu, setiap subset skenario {ξˆt−1,i}i∈Ctk−1, secara terpisah dan menghapus skenario {ξˆt−1,j}j∈Jtk dengan algoritma seleksi sehingga
Kt−1
(
k=1
j∈Jtk
pj
min|ξˆt−1,i
i∈Itk
−
ξˆt−1,j
|rt )
1 r
(3.8)
Universitas Sumatera Utara
18
dibatasi dari atas oleh beberapa toleransi yang dibutuhkan. Disini, himpunan indeks Itk skenario yang tersisa diberikan oleh
Itk = Ctk−1\Jtk
(3.9)
Seperti dalam prosedur reduksi skenario umum, himpunan indeks Jtk dibagi ke dalam himpunan indeks Jtk,i, i ∈ Itk sehingga
Jtk =
Jtk,i,
i∈Itk
dan
Jtk,i := {j ∈ Jtk : i = ikt (j)}
ikt (j)
∈
arg
min|ξˆt−1,i
i∈Itk
−
ξˆt−1,j |tr
(3.10)
Selanjutnya didefinisikan pemetaan αt : I → I sehingga
αt(j) =
i = itk(j),
j ∈ Jtkj,,
k = 1, ..., Kt−1 lainnya
(3.11)
Kemudian skenario proses stokastik ξˆt = {ξˆτt }Tτ=1 didefinisikan oleh
ξˆτt,i =
ξτατ (i), τ ≤ t ξτi , lainnya
(3.12)
dengan probabilitas pi untuk setiap i ∈ I. Proses ξˆt diilustrasikan pada Gambar 3.1, dimana ξˆt sesuai dengan gambar ke-t untuk t = 1, ..., T . Partisi Ct pada t
didefinisikan dengan
Ct = {αt−1(i) : i ∈ Itk, k = 1, ..., Kt−1}
(3.13)
yaitu, setiap elemen himpunan indeks Itk mendefinisikan sebuah kelompok baru dan partisi baru Ct adalah penyempurnaan dari bentuk partisi Ct−1.
Skenario dan probabilitas dari pohon skenario final ξtr := ξˆT diberikan oleh sruktur partisi final CT , yaitu, memiliki bentuk
ξtkr = (ξ1∗, ξ2α2(i), ..., ξ2αt(i), ..., ξ2αT (i)) dan πTk =
pj jika i ∈ CTk (3.14)
j∈CTk
untuk setiap k = 1, ..., KT . Himpunan indeks It dari realisasi ξttr diberikan oleh
Kt−1
It :=
Itk
k=1
(3.15)
Universitas Sumatera Utara
19
Untuk setiap t ∈ {1, ..., T } dan setiap i ∈ I terdapat sebuah indeks unik
kt(i) ∈ {1, ..., Kt} sehingga i ∈ Ctkt(i).
Selain
itu,
diperoleh
Ctkt(i)
=
{i}
∪
J kt−1(i) t,i
untuk setiap i ∈ It. Probabilitas realisasi ke-i dari ξttr adalah πti = p .j∈Ctkt(i) j Derajat percabangan skenario i ∈ It−1 bertepatan dengan kardinilitas Itkt(i).
Hasil berikutnya mengkuantisasi kesalahan relatif dari langkah konstruksi ke-t.
Teorema 3.1 Misalkan proses stokastik ξˆ dengan node awal ξ1∗, skenario ξi dan probabilitas pi, i = 1, ..., N , diberikan. Misalkan ξtr proses stokastik dengan skenario ξtkr = (ξ1∗, ξ2α2(i), ..., ξ2αt(i), ..., ξ2αT (i)) dan probabilitas πTk jika i ∈ CTk , k = 1, ..., KT . Kemudian diperoleh
T Kt−1
|ξˆ − ξtr|r
≤
(
t=2 k=1
pj
j∈Jtk
mi∈iIntk |ξti
−
ξtj
|r)
1 r
(3.16)
Kemudian, disediakan sebuah algoritma fleksibel yang memungkinkan untuk membentuk berbagai pohon skenario yang menunjukkan toleransi aproksimasi dengan hubungan ke jarak Lr.
Algoritma 3.2 Misalkan N skenario ξi dengan probabilitas pi, i = 1, ..., N , akar
tetap ξ1∗ ∈ Rd dan distribusi probabilitas P, r ≥ 1 dan toleransi εr, εt, t = 2, ..., T ,
T
diberikan sehingga εt ≤ εr.
t=2
Langkah 1 : Bentuk ξˆ1 := ξˆ dan C1 = {{1, ..., N }}.
Langkah t : Misalkan Ct−1 = {Ct1−1, ..., CtK−t1−1}. Tentukan adjoin himpunan indeks Itk dan Jtk sehingga Itk ∪ Jtk = Ctk−1, pemetaan αt( ) sesuai persamaan (3.11) dan proses stokastik ξˆt memiliki N skenario ξˆt,i dengan probabilitas pi sesuai persamaan (3.12) dan sehingga
Kt−1
ξˆt − ξˆt−1
r r,t
=
k=1 j∈Jtk pj mi∈Iintk |ξti − ξtj |r ≤ εtr
(3.17)
Bentuk Ct = {α−t 1(i) : i ∈ Itk, k = 1, ..., Kt−1}.
Universitas Sumatera Utara
20
Langkah t + 1 : Misalkan Ct = {CT1 , ..., CTKt}. Buatlah sebuah proses stokastik ξtr memiliki KT skenario ξtkr sehingga ξtkr,t := ξtαt(i), t = 1, ..., T jika i ∈ CTk dengan probabilitas πTk sesuai persamaan (3.12), k = 1, ..., KT .
Gambar 3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu T = 5
Sumber : Heitsch dan Romisch (2008)
Gambar pertama pada Gambar 3.1 mengilustrasikan proses ξˆ, gambar ke-t sesuai dengan Langkah 6 dan mengilustrasikan pohon skenario final ξtr.
Akibat 3.3 Misalkan proses stokastik ξˆ dengan node awal ξ1∗, skenario ξi dan
probabilitas pi, i = 1, ..., N , diberikan. Jika ξtr dibentuk dengan Algoritma 3.2,
diperoleh
T
ξˆ − ξtr r ≤ εt ≤ εr
(3.18)
t=2
Universitas Sumatera Utara
21
Hasil selanjutnya menyatakan bahwa jarak |υ(ξ) − υ(ξtr)| dari nilai optimal akan kecil jika toleransi awal ε pada (3.4) serta εr kecil.
Teorema 3.4 Misalkan (A1), (A2) dan (A3) dinyatakan dengan r′ ∈ [1, ∞) dan himpunan X1(ξˆ1) tidak kosong dan seragam dibatasi pada Rm1 jika |ξˆ1 − ξ1| ≤ δ. Misalkan L > 0, δ > 0 dan C > 0 menjadi konstanta. Jika (ε(rn)) adalah urutan yang cenderung menuju 0 sehingga toleransi yang sesuai εt(n) pada Algoritma 3.2 tidak meningkat untuk semua t = 2, ..., T , urutan yang sesuai (ξt(rn)) memiliki bentuk
lim sup|υ(ξ) − υ(ξt(n))| ≤ L max{1, C}ε n→∞
(3.19)
dimana ε > 0 adalah toleransi awal pada (3.4). Bukti : Estimasi
|υ(ξ) − υ(ξt(rn))| ≤ L(εr(n) + ξ − ξˆ r + CDf∗(ξ, ξˆ) + CDf∗(ξˆ, ξt(rn)))
(3.20)
adalah sah dan bahwa Df∗(ξˆ, ξt(rn)) cenderung menuju 0 sebagai n → ∞. Disimpulkan bahwa perkiraan (3.17) mengakibatkan (3.18).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 EVALUASI NUMERIK
Model optimisasi rata-rata resiko dari perusahaan listrik terdiri dari produksi listrik sendiri, kontrak pasar spot, kontrak penyediaan dan listrik berjangka. Stokastik memasukkan model melalui permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik. Pendekatan menghasilkan skenario dalam bentuk pohon skenario terdiri dari mengembangkan model statistik untuk semua komponen stokastik dan dalam menggunakan Algoritma 3.2 dimulai dengan jumlah terbatas skenario yang disimulasikan dari model statistik.
4.1 Model Statistik
Untuk memasukkan data stokastik dari meodel optimisasi (yaitu, permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik), digunakan data historis yang telah ada (dari periode tahunan pengamatan per jam). Permintaan listrik dipengaruhi oleh iklim yang ditandai dengan siklus khas tahunan dengan permintaan tinggi (rendah) selama musim hujan (musim kemarau). Selain itu permintaan listrik mengandung siklus mingguan karena berbagai konsumsi perilaku konsumen swasta dan industri pada akhir kerja dan akhir pekan. Perilaku konsumsi konsumen mencerminkan perbedaan musiman. Dapat diamati pada hari libur, pada hari-hari kerja, dan pada hari-hari dengan kondisi iklim ekstrim. Harga listrik dipengaruhi oleh kondisi iklim, aktivitas ekonomi, produsen listrik lokal, perilaku konsumen, dan lain-lain. Harga listrik juga ditandai oleh siklus tahunan khas dengan harga tinggi (rendah) selama musim hujan (kemarau) dan menunjukkan siklus mingguan dan harian juga
Oleh karena itu, data (harga dan permintaan) terdiri dari profil intra-day dan nilai rata-rata harian. Sedangkan profil intra-day dimodelkan dengan prosedur resampling distribusi bebas berdasarkan pada pengelompokan standar algoritma, dan model time series tiga dimensi dikembangkan untuk nilai rata-rata harian. Hal ini terdiri dari fungsi tren deterministik dan model ARMA (Auto-Regresive Moving-Average) untuk residual time series (stasioner).
22
Universitas Sumatera Utara
23
Kemudian jumlah dari skenario tiga dimensi dapat dengan mudah diperoleh dengan mensimulasikan proses white noise untuk model ARMA dan dengan menambahkan pada fungsi tren, kecocokan profil intra-day dari cluster dan harga yang dikeluarkan dimodelkan oleh proses lompatan difusi diskrit dengan parameter waktu lompatan yang bervariasi. Skenario harga listrik mendatang secara langsung berasal dari harga listrik saat ini (Heitsch dan Romisch).
4.2 Konstruksi Pohon Skenario
Skenario tiga dimensi (permintaan listrik, perilaku konsumsi, dan harga listrik) dari penetapan bagian skenario awal dan berfungsi sebagai masukan untuk konstruksi pohon selanjutnya (Algoritma 3.2). Dalam seri pengujian dimulai dengan jumlah total dari 120 sampel skenario untuk satu tahun dengan diskritisasi per jam. Tabel 4.1 menampilkan dimensi input skenario yang disimulasi. Karena pada kenyataannya produksi listrik hanya dapat diperdagangkan bulanan, percabangan ditetapkan pada akhir setiap bulan.
Tabel 4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi
Komponen
Horizon Skenario Waktu Node
3 (tiga variasi) 1 tahun 120
8760 880 906
Pohon skenario yang dihasilkan Algoritma 3.2 untuk r = r′ = 2 dan tingkat
reduksi relatif yang berbeda εrel. Tingkat relatif diberikan oleh
εrel
:=
ε εmax
dan
εrel,t
:=
εt εmax
(4.1)
dimana εmax menyatakan maksimum kemungkinan terbaik jarak Lr dari ξˆ dan salah satu skenario yang dinotasikan dengan satuan massa. Toleransi individual εt pada titik-titik percabangan diproleh sedemikian rupa sehingga
εrt