Aproksimasi Pada Pemrograman Stokastik Linier
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program stokastik merupakan program matematika dimana beberapa data yang
termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan oleh
distribusi peluang pada parameter (Holmes, 2005). Dalam persoalan program
stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya
sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse.
Model program stokastik meningkat sebagai reformulasi atau tujuan dari
masalah optimisasi dengan parameter acak. Secara esensial program stokastik
diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana koefisien dan parameter yang tidak diketahui bersifat acak dengan pengandaian sebaran peluang
bebas dan peubah keputusan. Karena perkembangan metode komputasi yang
sangat pesat mengakibatkan teknik program stokastik dipakai untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dunia nyata. Program stokastik memberikan model
dari ketidakpastian secara eksplisit pada proses pembuatan keputusan dengan
menggunakan algoritma optimisasi. Model stokastik dapat memberikan solusi
yang lebih baik digunakan dalam penelitian di bidang industri.
Birge dan Tang (1993) telah memodelkan program stokastik konveks dengan rekursif. Algoritma yang dihasilkan merupakan sejenis metode dekomposisi
sehingga implementasinya mudah dan memiliki kekonvergenan tertentu. Namun,
aplikasi algoritma lebih efektif hanya untuk kasus program kuadratik konveks,
tidak untuk kasus program stokastik linier.
Shiina (1999) telah memodelkan masalah penempatan pengendali lalu lintas dimana lokasi masing-masing terminal tidak pasti. Masalah diformulasikan
sebagai program stokastik integer linier multi tahap, dengan variabel biner tahap
pertama merupakan desain jaringan dan variabel rekursif bertahap merupakan
kapasitas ekspansi. Algoritma yang didapatkan merupakan kombinasi dari metode L-Shaped dan metode Branch and Bound. Algoritma didemonstrasikan secara
komputasi yang menghasilkan solusi dengan waktu lebih singkat dari pada pendekatan program integer campuran.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Liu et al. (2009) telah memodelkan perlindungan jaringan transportasi dengan menggunakan program stokastik dua tahap dan pendekatan algoritma pengembangan metode L-Shaped dengan dekomposisi benders. Liu et al. (2009)
memfokuskan permasalahan pada pengalokasian perlindungan sumber daya untuk meningkatkan ketahanan dan kedinamisan sistem transportasi.
Alvarado dan Ntaimo (2013) memodelkan respon serangan api berskala
besar (kebakaran) sebagai pemrograman stokastik integer dengan menggunakan
jarak pada tiap titik (lokasi penyebaran). Penelitian ini menentukan lokasi dan
waktu optimal sumber kebakaran di bawah kondisi cuaca yang tidak pasti dengan
menggunakan metode batas atas dan batas bawah.
Pendekatan program stokastik yang dimodelkan pada penelitian ini adalah
mengasumsikan bahwa ketidakpastian ini dapat dimodelkan oleh variabel acak
dengan distribusi probabilitas yang diketahui, dan mereformulasikan model untuk mendapatkan masalah optimisasi yang lebih bermakna dan terdefinisi dengan baik. Program stokastik dibedakan menjadi program stokastik linier dan
non linier. Program stokastik linier bercirikan fungsi kendala dan fungsi tujuan
yang linier, sedangkan program stokastik non linier bercirikan fungsi kendala dan
fungsi tujuan yang berbentuk non linier. Program stokastik non linier mungkin
akan menghasilkan solusi optimum global maupun lokal tergantung fungsi kendala
yang diberikan. Hal ini menyebabkan proses iterasi dan perhitungan yang cukup
panjang dan rumit sehingga dibutuhkan program komputasi yang tepat untuk
perhitungan. Pemilihan program stokastik linier pada penelitian ini agar penerapan metode L-Shaped dengan menetapkan partisi yang tepat untuk mendapatkan
solusi optimal lebih mudah diperlihatkan.
Aproksimasi adalah suatu pendekatan yang menggunakan proses atau model
yang lebih simpel atau lebih mudah ketika model seharusnya sulit digunakan. Misalnya 3,14 adalah aproksimasi dari pi (π = 3,14159265...). Algoritma aproksimasi
merupakan metode solusi yang lazim dalam program stokastik karena masalah
dalam program stokastik sangat sulit dipecahkan.
Metode yang akan digunakan untuk mengaproksimasi program stokastik linier pada penelitian ini adalah metode L-Shaped. Metode L-Shaped adalah metode dekomposisi yang berguna untuk menyelesaikan masalah dengan kendala linier.
Metode L-Shaped merupakan proses iterasi dengan pemotongan daerah layak dan
Universitas Sumatera Utara
3
optimal berdasarkan partisi yang diberikan. Oleh karena itu, penelitian ini dimaksudkan mengkombinasi metode batas atas dan batas bawah (tahap pertama) dan
metode L-Shaped (tahap kedua) untuk mendapatkan hasil yang optimal.
1.2 Perumusan Masalah
Mendapatkan solusi optimal pada program stokastik melalui metode aproksimasi
telah banyak dilakukan namun solusi dengan error terkecil sangat sulit didapat
sehingga dilakukan penentuan partisi yang tepat untuk mendapatkan φ(ξ) yang
optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan solusi optimal dengan error
terkecil melalui penentuan partisi awal yang tepat dengan menerapkan metode LShaped dalam menyelesaikan aproksimasi pada problema program stokastik linier.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memperoleh metode pengembangan aproksimasi untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian.
1.5 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah :
1
2
3
Menjelaskan pengertian program stokastik
Menjelaskan program stokastik linier
Menjelaskan program stokastik integer campuran
4
Menjelaskan batas (batas atas dan batas bawah)
5
Menggunakan metode L-Shaped dengan skema aproksimasi.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program stokastik merupakan program matematika dimana beberapa data yang
termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan oleh
distribusi peluang pada parameter (Holmes, 2005). Dalam persoalan program
stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya
sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse.
Model program stokastik meningkat sebagai reformulasi atau tujuan dari
masalah optimisasi dengan parameter acak. Secara esensial program stokastik
diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana koefisien dan parameter yang tidak diketahui bersifat acak dengan pengandaian sebaran peluang
bebas dan peubah keputusan. Karena perkembangan metode komputasi yang
sangat pesat mengakibatkan teknik program stokastik dipakai untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dunia nyata. Program stokastik memberikan model
dari ketidakpastian secara eksplisit pada proses pembuatan keputusan dengan
menggunakan algoritma optimisasi. Model stokastik dapat memberikan solusi
yang lebih baik digunakan dalam penelitian di bidang industri.
Birge dan Tang (1993) telah memodelkan program stokastik konveks dengan rekursif. Algoritma yang dihasilkan merupakan sejenis metode dekomposisi
sehingga implementasinya mudah dan memiliki kekonvergenan tertentu. Namun,
aplikasi algoritma lebih efektif hanya untuk kasus program kuadratik konveks,
tidak untuk kasus program stokastik linier.
Shiina (1999) telah memodelkan masalah penempatan pengendali lalu lintas dimana lokasi masing-masing terminal tidak pasti. Masalah diformulasikan
sebagai program stokastik integer linier multi tahap, dengan variabel biner tahap
pertama merupakan desain jaringan dan variabel rekursif bertahap merupakan
kapasitas ekspansi. Algoritma yang didapatkan merupakan kombinasi dari metode L-Shaped dan metode Branch and Bound. Algoritma didemonstrasikan secara
komputasi yang menghasilkan solusi dengan waktu lebih singkat dari pada pendekatan program integer campuran.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Liu et al. (2009) telah memodelkan perlindungan jaringan transportasi dengan menggunakan program stokastik dua tahap dan pendekatan algoritma pengembangan metode L-Shaped dengan dekomposisi benders. Liu et al. (2009)
memfokuskan permasalahan pada pengalokasian perlindungan sumber daya untuk meningkatkan ketahanan dan kedinamisan sistem transportasi.
Alvarado dan Ntaimo (2013) memodelkan respon serangan api berskala
besar (kebakaran) sebagai pemrograman stokastik integer dengan menggunakan
jarak pada tiap titik (lokasi penyebaran). Penelitian ini menentukan lokasi dan
waktu optimal sumber kebakaran di bawah kondisi cuaca yang tidak pasti dengan
menggunakan metode batas atas dan batas bawah.
Pendekatan program stokastik yang dimodelkan pada penelitian ini adalah
mengasumsikan bahwa ketidakpastian ini dapat dimodelkan oleh variabel acak
dengan distribusi probabilitas yang diketahui, dan mereformulasikan model untuk mendapatkan masalah optimisasi yang lebih bermakna dan terdefinisi dengan baik. Program stokastik dibedakan menjadi program stokastik linier dan
non linier. Program stokastik linier bercirikan fungsi kendala dan fungsi tujuan
yang linier, sedangkan program stokastik non linier bercirikan fungsi kendala dan
fungsi tujuan yang berbentuk non linier. Program stokastik non linier mungkin
akan menghasilkan solusi optimum global maupun lokal tergantung fungsi kendala
yang diberikan. Hal ini menyebabkan proses iterasi dan perhitungan yang cukup
panjang dan rumit sehingga dibutuhkan program komputasi yang tepat untuk
perhitungan. Pemilihan program stokastik linier pada penelitian ini agar penerapan metode L-Shaped dengan menetapkan partisi yang tepat untuk mendapatkan
solusi optimal lebih mudah diperlihatkan.
Aproksimasi adalah suatu pendekatan yang menggunakan proses atau model
yang lebih simpel atau lebih mudah ketika model seharusnya sulit digunakan. Misalnya 3,14 adalah aproksimasi dari pi (π = 3,14159265...). Algoritma aproksimasi
merupakan metode solusi yang lazim dalam program stokastik karena masalah
dalam program stokastik sangat sulit dipecahkan.
Metode yang akan digunakan untuk mengaproksimasi program stokastik linier pada penelitian ini adalah metode L-Shaped. Metode L-Shaped adalah metode dekomposisi yang berguna untuk menyelesaikan masalah dengan kendala linier.
Metode L-Shaped merupakan proses iterasi dengan pemotongan daerah layak dan
Universitas Sumatera Utara
3
optimal berdasarkan partisi yang diberikan. Oleh karena itu, penelitian ini dimaksudkan mengkombinasi metode batas atas dan batas bawah (tahap pertama) dan
metode L-Shaped (tahap kedua) untuk mendapatkan hasil yang optimal.
1.2 Perumusan Masalah
Mendapatkan solusi optimal pada program stokastik melalui metode aproksimasi
telah banyak dilakukan namun solusi dengan error terkecil sangat sulit didapat
sehingga dilakukan penentuan partisi yang tepat untuk mendapatkan φ(ξ) yang
optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan solusi optimal dengan error
terkecil melalui penentuan partisi awal yang tepat dengan menerapkan metode LShaped dalam menyelesaikan aproksimasi pada problema program stokastik linier.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memperoleh metode pengembangan aproksimasi untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian.
1.5 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah :
1
2
3
Menjelaskan pengertian program stokastik
Menjelaskan program stokastik linier
Menjelaskan program stokastik integer campuran
4
Menjelaskan batas (batas atas dan batas bawah)
5
Menggunakan metode L-Shaped dengan skema aproksimasi.
Universitas Sumatera Utara