Evaluasi Numerik dari Metode Aproksimasi dalam Program Stokastik

  Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda ter- cinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak tercinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muham- mad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

  Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

  Medan, Juni 2014 Penulis, Muhammad Ismail v RIWAYAT HIDUP Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Ja- nuari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997.

  Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakul- tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd)pada tahun 2002. Pada tahun 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Mate- matika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. vi

  DAFTAR ISI Halaman

  3

  3.1 Ukuran Kualitas Pohon Skenario

  15

  13 BAB 3 POHON SKENARIO

  2.3 Metode Numerik

  7

  2.2 Metode Aproksimasi

  5

  2.1 Program Stokastik

  5

  3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

  1.5 Metode Penelitian

  3

  1.4 Manfaat Penelitian

  1.3 Tujuan Penelitian

  PERNYATAAN i

  3

  1.2 Perumusan Masalah

  1

  1.1 Latar Belakang

  1

  BAB 1 PENDAHULUAN

  DAFTAR GAMBAR x

  DAFTAR TABEL ix

  DAFTAR ISI vii

  RIWAYAT HIDUP vi

  KATA PENGANTAR iv

  ABSTRACT iii

  ABSTRAK ii

  15 vii

  3.2 Membangkitkan Pohon Skenario

  16 BAB 4 EVALUASI NUMERIK

  22

  4.1 Model Statistik

  22

  4.2 Konstruksi Pohon Skenario

  23 BAB 5 KESIMPULAN

  26 DAFTAR PUSTAKA

  27 viii DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman

  4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi

  23

  4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan tahunan

  24 ix DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman

  3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu T = 5

  20

  4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk- si ε rel = 0, 4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2

  24

  4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk- si ε rel = 0, 55 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2

  25 x BAB 1 PENDAHULUAN

  1.1 Latar Belakang Dalam beberapa tahun terakhir, program stokastik memiliki popularitas yang semakin meningkat dalam komunitas pemograman matematika. Model pemogra- man stokastik dapat dilihat sebagai model pemograman matematika dengan keti- dakpastian nilai beberapa parameter. Pada nilai tunggal, parameter ini kemudi- an dijelaskan dengan distribusi (pada kasus periode tunggal), atau dengan proses stokastik (pada kasus multi periode). Kesulitan utama dalam masalah program stokastik adalah dalam menghitung nilai dan gradien (atau subgradien) fungsi ma- salah.

  Untuk membahas hal seperti ini lebih rinci, anggap bahwa fungsi objektif F (x) dalam masalah program stokastik didefinisikan sebagai ekspektasi matema- _n tika fungsi f(x, ξ), dimana x ∈ R adalah vektor dari variabel keputusan dan ξ adalah vektor berdimensi m dari parameter random. Secara umum, fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai berikut :

  F (x) = Ef(x, ξ) = f f(x, ξ(w))P (dω) (1.1)

  

Ω

  dimana Ω menunjukkan ruang probabilitas abstrak dan P adalah ukuran probabi- litas.

  Menurut Kall et al., (1984) ada 2 pendekatan utama yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan ini, yaitu metode aproksimasi dan metode stokastik quasigradien. Dalam metode aproksimasi masalah yang sebenarnya diganti dengan hal yang sederhana dengan melakukan aproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ˜ ξ pada integral yang lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ˜ ξ sebagai vektor random diskrit dan hanya digunakan dalam bentuk penjumlahan. Metode stokastik quasigradien tidak menggunakan perhitungan integral. Ide pokok dari

  1

  2 metode ini adalah membuat langkah random dalam aturan perhitungan dasar dari beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada setiap langkah.

  Kebaikan dari metode aproksimasi adalah tidak cenderung untuk mendapat- _k kan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai random f(x, ξ ) dan penyesuaian gradien (atau subgradien dalam kasus nondiferensiasi) dihitung pada _k beberapa realisasi sampel ξ dari ξ, k = 0, 1, 2, ... (Kall et al., 1984).

  Kuchler dan Vigerske (2009) menyatakan bahwa ketika membentuk aproksi- masi untuk masalah program stokastik, harus dianalisis hal-hal yang saling terkait berikut.

  1. Harus menemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random sebe- narnya ξ dengan sesuatu yang diskrit.

  2. Mempelajari hubungan antara masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat.

  3. Membutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, dengan memben- tuk aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.

  Metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk mendapatkan dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario. Teknik ini mengikuti prinsip- prinsip yang berbeda seperti Random Sampling, Ukuran Probabilitas, Quasi Monte- Carlo Sampling (Kuchler dan Vigerske, 2009).

  Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu. Analisa stabilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lan- jutan bagaimana aproksimasi akan terlihat seperti yang terdapat pada hasil peneli- tian Heitsch et al., (2006) serta Mirkov dan Pflug (2007). Sayangnya, di satu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan tertentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus.

  3 Tesis ini akan fokus pada evaluasi numerik dari metode aproksimasi dalam program stokastik yang diberikan. Pendekatan ini tidak menghasilkan metode yang terbaik, tetapi mencoba menemukan cara yang netral dalam mengevaluasi metode yang disarankan.

  1.2 Perumusan Masalah Dengan melakukan evaluasi numerik dari metode aproksimasi, persoalan pada tesis ini adalah bagaimana penggunaan pohon skenario untuk mempelajari perilaku dari metode aproksimasi untuk program stokastik.

  1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan evaluasi menggunakan pohon skenario untuk program stokastik yang diilustrasikan dengan evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen.

  1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini penting untuk menunjukkan bahwa terdapat persyaratan- persyaratan minimal yang harus dikenakan pada metode pohon skenario sebelum dapat digunakan untuk menyelesaikan program stokastik.

  1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengum- pulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut :

  1. Menjelaskan program stokastik;

  2. Menjelaskan metode aproksimasi;

  3. Menjelaskan metode pohon skenario;

  4 (a) Ukuran kualitas pohon skenario; (b) Pengujian metode pohon skenario.

  4. Membuat evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen;

  5. Membahas beberapa aspek dan persyaratan pada metode pohon skenario; 6. Membuat kesimpulan.

  BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

  2.1 Program Stokastik Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program sto- kastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya.

  Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x , x , ..., x n ). Sebagai contoh

  1

  2

  x i menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah : Min f(x , x , x , ..., x n )

  1

  

2

  3 Kendala : g 1 (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) ≤ 0

  g (x , x , x , ..., x n ) ≤ 0

  2

  1

  2

  3 .

  . . g n (x , x , x , ..., x n ) ≤ 0

  1

  2

  3

  (x

  1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) ∈ X

  dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g , g , ...g adalah

  1 2 n kendala yang dihadapi dalam program stokastik.

  Menurut Kal dan Wallace (1994) program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data.

  5

  6 Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:

  1. Program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu);

  2. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

  Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Keti- dakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan bebe- rapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak (Kall dan Wallace, 1994).

  Model pemograman stokastik periode tunggal dapat dirumuskan sebagai _{∗ G} Z ξ ξ ξ z = min F (x) = min E [f(x, ˜ )] = min f(x, ˜ )dG( ˜ ) _{x∈X x∈X x∈X ξ ˜ ∗ ∗ ∗} (2.1) x ∈ arg min F (x), jadi z = F (x ), _x∈X

  ξ dimana ˜ adalah vektor random, dan distribusi G harus independen dari vektor ξ keputusan x. Diasumsikan bahwa daerah layak X independen dari ˜ , yaitu dia- sumsikan secara relatif merupakan jalan yang komplit.

  Notasi topi digunakan untuk membedakan antara masalah sebenarnya dan _∗ masalah berbasis skenario, sehingga ˆ G, ˆ F , dan ˆ x masing-masing digunakan untuk fungsi distribusi, fungsi objektif, dan solusi optimal berbasis skenario. Selain itu,

  ξ huruf tebal menunjukkan vektor, sehingga ˆ menyatakan vektor stokastik. Sehing- ga, versi berbasis skenario dari masalah optimisasi adalah

  Z _{∗ G} ˆ ˆ

  ξ ξ ξ z ˆ = min F (x) = min E [f(x, ˆ )] = min f(x, ˆ )d ˆ G( ˆ ) _{x∈X x∈X x∈X ξ ˆ ∗ ∗ ∗} (2.2) ˆ x ˆ ∈ arg min F (x), jadi ˆ z = ˆ F (ˆ x ), _x∈X

  7

  2.2 Metode Aproksimasi Dalam kasus tertentu, jika ξ pada (1.1) adalah vektor random diskrit yang _{1 2 L} hanya mencapai nilai terbatas dari nilai-nilai ξ , ξ , ..., ξ dengan probabilitas p

  1 >

  P L 0, p > 0, ..., p L > 0, p l = 1, sehingga diperoleh

  2 _{l =1 L}

  X _l F (x) = p l f(x, ξ ) (2.3) _l

  =1 _{1 2} Tetapi dalam kasus tertentu lainnya, jika vektor random ξ = (ξ , ξ , ..., ξ m ) _{1 2} mempunyai fungsi probabilitas kepadatan ϕ(ξ , ξ , ..., ξ m ) rumus umum (1.1) men-

  jadi bentuk integral Riemann Z Z Z ₂ F (x) = · · · f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ ...dξ m (2.4) _{R m}

  Untuk mengevaluasi fungsi objektif F pada titik x tertentu perlu menghi- tung integral ganda yang berhubungan dengan mengukur gambaran ξ. Jika tidak mungkin melakukan integrasi analitis, maka harus digunakan metode numerik, yang biasanya membutuhkan banyak usaha komputasi, yang meningkat pesat de- ngan dimensi ξ dan dengan akurasi yang dibutuhkan.

  Menurut Bazaraa dan Shetty (1979), aplikasi dari metode umum pemogra- man nonlinier untuk masalah pemograman stokastik akan memerlukan perhitung- _k an integral dari bentuk (1.1) pada setiap titik x , k = 0, 1, 2, ..., yang dihasilkan dari algoritma optimisasi. Kesulitan meningkat jika teknik yang dihasilkan dari _k algoritma optimisasi juga memerlukan gradien ∇F (x ), k = 0, 1, 2, ..., yang dalam kasus ini menjadi lebih sulit untuk evaluasi secara objektif. Fungsi f(x, ξ) pada (1.1) secara terus-menerus dideferensialkan terhadap x untuk setiap ξ, kemudian, di bawah kondisi tambahan yang wajar F (x) secara terus-menerus dideferensialkan dan

  Z ∇F (x) = ∇ x f(x, ξ(ω))P (dω) (2.5)

  Ω

  dimana ∇ x f(x, ξ) menunjukkan gradien dari f terhadap x. Dalam dua kasus tertentu di atas diperoleh _L

  X _l ∇F (x) = p l ∇f(x, ξ ) (2.6) _{l =1}

  8 dan

Z Z Z

  ∇F (x) = · · · ∇ _{R m x f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ dξ ...dξ m (2.7)} ^{1 2} Karena metode pemrograman nonlinier biasanya memerlukan banyak peru- langan untuk mencapai daerah hasil, upaya perhitungan total diperlukan di luar biaya yang dapat diberikan.

  Ada dua pendekatan pokok dalam mengatasi kesulitan di atas : teknik aprok- simasi dan metode stokastik quasigradient. Pada teknik aproksimasi masalah sebenarnya diganti dengan hal sederhana melalui mengaproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ˜ ξ agar in-

  ξ tegral pada (1.1) lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ˜ sebagai vektor random diskrit dan digunakan pada (2.1).

  Metode stokastik quasigradient tidak menggunakan perhitungan integral pa- da (1.1). Ide pokok dari metode ini adalah membuat langkah-langkah random dalam perhitungan berdasarkan beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada tiap langkah. Kebalikan dari teknik aproksimasi, metode ini cen- derung tidak mendapatkan gambaran umum dari F (x), tetapi menggunakan nilai _{k k} random f(x, ξ ) dan menyesuaikan gradien ∇ x f(x, ξ ) (atau subgradien pada ka- _k sus nondiferensial) dihitung pada beberapa realisasi sampel ξ dari ξ, k = 0, 1, 2, .... Beberapa jenis metode self-learning dibangun, dimana setiap langkah tertentu mungkin tidak efisien, tetapi nilai yang besar menunjukkan sifat umum statistik yang berarti konvergen dengan satu solusi aproksimasi.

  Ketika membentuk aproksimasi untuk masalah pemorgraman stokastik harus dianalisis pertanyaan yang saling terkait berikut.

  1. Harus ditemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random asli ξ dengan yang diskrit;

  2. Harus dipelajari hubungan antara masalah sebenarnya dengan masalah aprok- simasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat;

  9

  3. Dibutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, jika tidak cukup, dengan membangun aproksimasi yang lebih baik untuk ξ.

  Sebelum menyelidiki masalah ini secara detil, berikut beberapa ide dasar dan bentuk matematika dari pendekatan ini. _m Misalkan Ξ ⊂ R menjadi pendukung dari vektor random ξ (yaitu himpunan _{m L} terkecil tertutup di R sehingga P {ξεΞ} = 1), dan misalkan S adalah koleksi ter- batas dari himpunan bagian Ξ l , l = 1, 2, ..., L, dimana Ξ memenuhi kondisi berikut: _L

  [ _l Ξ l = Ξ, (2.8)

  =1

  ∩ Ξ _L Ξ i j = ∅; i 6= j; i, j = 1, 2, ..., L. (2.9) Dinyatakan bahwa S adalah partisi dari Ξ.

  Untuk setiap partisi dapat menggunakan integral (1.1) sebagai berikut _L Z Z

  X F (x) = f(x, ξ)P (dξ) = f(x, ξ)P (dξ), (2.10)

  Ξ Ξ _{l m} =1

  dimana integrasi melalui dukungan Ξ ⊂ R dan menggunakan deskripsi dari dis- tribusi ξ pada rentang nilai-nilainya.

  Pada kasus tertentu (2.2), yang secara khusus berguna, (2.8) menjadi _L Z Z Z

  X _{1 2} F (x) = · · · f(x, ξ)ϕ(ξ)dξ dξ ...dξ m (2.11) _{l =1 l}

  Ξ

  Metode yang paling sederhana untuk menghitung integral pada perkiraan masing-masing integral melalui Ξ l sebagai berikut Z Z _{l l l l} f(x, ξ)P (dξ) ≈ f(x, ξ ) P (dξ) = f(x, ξ )P {ξεΞ l } (2.12)

  Ξ Ξ

  _l 10 dimana ξ dipilih mewakili subset Ξ . Dengan kata lain, diaproksimasi fungsi _l f(x, ξ) dengan fungsi berikutnya pada ξ, yang bernilai konstan pada setiap him- punan Ξ l , l = 1, 2, ..., L. Dengan demikian diperoleh aproksimasi F (x): _{L L l}

  X F (x) = p l f(x, ξ ) (2.13) _{l =1} dengan p l = P {ξεΞ l } (2.14)

  P L Dari (2.6) dan (2.7) diperoleh p l = 1, aproksimasi ini dapat diinter- _{l =1} pretasikan secara ekuivalen sebagai aproksimasi ξ dengan sebuah vektor random _l diskrit ˜ ξ mencapai nilai ξ dengan probabilitas p l , l = 1, 2, ..., L, dan formula aprok- simasi (2.11) tepat berbentuk (2.1).

  Pada umumnya, jika bentuk Ξ terbatas dan jika max P {ξεΞ } → 0 sampai _l

  1≤l≤L

  L → ∞, kemudian untuk setiap x, berdasarkan asumsi yang tepat pada f(x, ξ) _L diperoleh titik konvergen dari nilai fungsi : F (x) → F (x) sampai L → ∞. Hal ini menjadi dasar dan sangat diperlukan, akan tetapi, tidak cukup, karena terdapat konvergensi dari urutan solusi ˆ x L dari masalah aproksimasi, atau paling tidak bagian urutan konvergen untuk solusi yang sebenarnya dari masalah optimisasi. Beberapa kondisi tambahan, misalnya kepadatan dari himpunan yang mungkin _L dari x dengan konvergensi seragam dari F ke F , dibutuhkan untuk kepastian jenis konvergensi. Hal yang sering terjadi, yaitu bahwa dalam prakteknya nilai ˜ x memuaskan, dimana nilai objektif terletak antara nilai toleransi tertentu dengan tujuan ke nilai minimum, dan hal ini mungkin tercapai pada masalah yang lebih luas.

  Akan tetapi, masih sangat sulit untuk menentukan terlebih dahulu bagai- mana sebaiknya partisi dapat memastikan keakuratan aproksimasi. Pembagian Ξ ke dalam beberapa bentuk kecil Ξ l , l = 1, 2, ..., L, tanpa strategi apapun se- cara langsung dapat meningkatkan kompleksitas komputasi dari masalah aprok- simasi. Untuk mengilustrasikan kesulitan yang mungkin timbul, andaikan bahwa terdapat 10 variabel acak skalar bebas dalam masalah yang sebenarnya, sehingga ξ = (ξ ^{1 , ξ 2 , ..., ξ 10 ). Jika dukungan dari setiap ξ j , j = 1, 2, ..., 10, dibagi menjadi}

  11

  10

  10 subinterval, diperoleh 10 himpunan bagian Ξ dari dukungan Ξ pada ξ, jumlah _l yang nyata di luar kemampuan komputasi.

  Untuk menghindari jumlah berlebihan dari subset Ξ l harus digunakan partisi yang tidak seragam yang sesuai untuk sifat dari f(x, ξ) sebagai fungsi ξ. Masalah _l membentuk beberapa partisi berkaitan erat dengan cara memilih titik-titik ξ εΞ l .

  Dari segi konvergensi, ini dapat menjadi titik bebas; namun, jika lebih berhati-hati dalam memilih, dinamakan ekspektasi bersyarat _l ξ }

  = E{ξ(ω)/ξ(ω)εΞ l (2.15) dengan probabilitas p l = P {ξ(ω)εΞ l } (2.16) maka dapat meningkatkan akurasi aproksimasi pada banyak kasus, tetapi juga memperoleh informasi yang dapat membantu untuk memperbaiki partisi yang be- nar jika akurasi tidak mencukupi.

  Memang, jika fungsi f(x, ξ) linier terhadap ξ pada himpunan Ξ l , maka de- _l ngan ξ didefinisikan oleh (2.13) diperoleh kesetaraan pada (2.10), Z _l

  } _l f(x, ξ)P (dξ) = f(x, ξ )P {ξεΞ l (2.17)

  Ξ

  Ini berarti bahwa pembagian selanjutnya dari subset Ξ l tidak menggunakan peningkatan akurasi dari aproksimasi pada x. Di sisi lain, jika f(x, .) nonlinier pada Ξ l , aproksimasi pada Ξ l dapat agak kasar dan partisi halus dari Ξ l diinginkan. Oleh karena itu, kepadatan partisi pada berbagai sub-wilayah dari bentuk Ξ l harus terkait dengan sifat nonlinier dari f(x, .).

  Umumnya, tidak diketahui sifat rinci fungsi f(x, ξ), beberapa informasi dapat diperoleh dalam memecahkan masalah aproksimasi yang pasti. Selain itu, sifat dari fungsi f(x, .) berubah ketika x berubah, dan perlu untuk memiliki partisi yang baikmdari x mendekati solusi masalah.

  Jadi, metode aproksimasi yang membentuk partisi Ξ dan mengaproksimasi sebuah solusi menjadi masalah asli yang saling terkait adalah sebagai berikut:

  12

  1. Pilih partisi awal Ξ , l = 1, 2, ..., L yang memenuhi (2.6) dan (2.7); _{l l}

  2. Pilih titik ξ εΞ dan probabilitas p l , l = 1, 2, ..., L sesuai dengan (2.13) dan (2.14);

  3. Memecahkan masalah aproksimasi;

  4. Pada solusi ˜ x L dianalisis akurasi aproksimasi dengan menyelidiki sifat fungsi f(˜ x L , ξ) pada masing-masing subset Ξ l , l = 1, 2, ..., L, memilih hal-hal yang harus dibagi lagi, jika akurasi tidak cukup, dan ulangi langkah 3. Realisasi rinci dari prosedur ini tergantung pada sifat dari kelas masalah yang diterapkan.

  Pendekatan untuk evaluasi aproksimasi dan metode solusi untuk multi stage linier program stokastik dengan mengukur kinerja solusi yang diperoleh pada su- atu himpunan skenario out-of-sample. Titik utama dari pendekatan adalah un- tuk mengembalikan kelayakan solusi untuk masalah aproksimasi sepanjang ske- nario out-of-sample. Untuk tujuan ini, dipertimbangkan dan dibandingkan ke- layakan yang berbeda dan mengoptimalkan berdasarkan metode proyeksi. De- ngan demikian, dipelajari bahwa kualitas solusi untuk tes model berdasarkan pada keklasikkan serta mengkombinasikan pohon skenario.

  Secara umum, metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk memiliki dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aprok- simasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario atau pohon ske- nario terbatas. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti random sampling, momen pencocokan, ukuran probabilitas, Quasi Monte-Carlo sampling. Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu dan sifat perkiraan statistik dan berbatas telah ditetapkan. Analisis sta- bilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlibat.

  Disatu sisi, hasil teoritis ini mungkin memerlukan masalah optimisasi dan variabel-variabel random yang mendasari untuk memenuhi asumsi keteraturan ter- tentu yang mungkin sulit untuk memverifikasi dalam beberapa kasus kepentingan

  13 praktis. Di sisi lain, kuantitatif batas kesalahan dan sifat statistik tidak tersedia untuk semua kelas masalah. Selanjutnya, karena kompleksitas numerik dari model program stokastik. kadang-kadang perlu menggunakan aproksimasi yang terlalu kasar untuk mendapatkan batas kesalahan yang berarti atau interval kepercayaan melalui hasil asimtotik.

  Dalam kasus tersebut, harus menggunakan metode numerik untuk mengukur kinerja dan kualitas dari metode aproksimsi dan solusi. Karena tugas utama pro- gram stokastik adalah untuk memberikan strategi keputusan yang cukup kuat yang dapat diterapkan dalam skenario kehidupan nyata, hal itu menunjukkan program tersebut untuk mengukur kualitas suatu metode aproksimsi dengan mengevaluasi solusi (optimal) diperoleh dari pemecahan masalah aproksimasi. Hal ini dapat di- lakukan, misalnya, dengan mengevaluasi solusi ini bersama metode pohon skenario.

  2.3 Metode Numerik Menurut Ralston dan Rabinowitz (1978) metode numerik adalah teknik di- mana masalah matematika diformulasikan sedemikian sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Atau bisa dikatakan bahwa metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis, dan memasuki wilayah simulasi. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Deret Taylor.

  Aproksimasi orde ke-0 dilakukan dengan mengambil 1 suku pertama, yaitu nilai sebelumnya. f(x i +1 ) ≈ f(x i ) (2.18) Aproksimasi orde ke-1 dilakukan dengan menambahi suku lainnya. _{′ ′} f(x ) ≈ f(x ) +f (x )(x −x ) → f (x ) adalah kemiringan/slope (2.19) _{i +1 i i i +1 i i} Aproksimasi orde ke-2 dilakukan dengan menambahi lagi suku lainnya. _{′′ ′} f (x i )

  2

  f(x i ) ≈ f(x i ) + f (x i )(x i − x i ) + (x i − x i ) (2.20)

• 1 +1 +1

  2!

  14 Sehingga Deret Taylor selengkapnya adalah sebagai berikut: _{′′ ′} f (x i )

  2

  − x − x f(x i +1 ) = f(x i ) + f (x i )(x i +1 i ) + (x i +1 i ) _{′′′ n} 2! f (x i ) f (x i ) _n

  

3

• (x i − x i ) + ... + (x i − x i ) + R n (2
• 1 +1
_{f n+1} 3! n! (ξ) _{n +1}

  dimana R = (x − x ) dan ξ adalah suatu harga x pada interval h = _{n i +1 i}

  (n+1)!

  − x x i +1 i . Seringkali ada baiknya untuk memudahkan Deret Taylor dengan mendefinisikan suatu ukuran langkah h = x i − x i dan menyatakan persamaan (2.4) sebagai :

• 1 _{′′ ′′′ n}
_′ f (x i ) f (x i ) f (x i ) _n

  2

  3

  f(x + i ) = f(x i ) + f (x i )h + h h + ... + h + R n (2.22)

• 1

  2! 3! n! Dimana suku sisa sekarang adalah _{n +1} f (ξ) _n

  R n = h + 1 (2.23) (n + 1)!