Aproksimasi Pada Pemrograman Stokastik Linier
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Program Stokastik
Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan
yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada, sedangkan pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang dilakukan,
guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik tersebut. Oleh karena itu
diperlukan teknik analisis yang berkenaan dengan pengambilan keputusan melalui berbagai model. Selanjutnya persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan
menggunakan program matematika yang bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum.
Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi
oleh adanya keterbatasan sumber dana, tenaga, waktu dan yang lainnya. Sebagai
contoh misalnya disebabkan bertambahnya biaya marginal atau menurunnya perolehan marginal dari sebuah proses produksi atau proses penjualan atau proses
investasi dan lain sebagainya.
Mujio (2009) menjelaskan bahwa program stokastik merupakan bagian dari
program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada fungsi tujuan
(fungsi objektif) atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan dengan
distribusi peluang pada parameternya. Selanjutnya dalam proses pengambilan keputusan terhadap suatu persoalan secara logis, yang diperlukan adalah membuat
sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai
konsekuensi dari keputusan yang telah diambil, dan ini dikenal sebagai model
rekursif (recourse).
Progran Linier acak dari tipe ini adalah ;
inf
x∈X,y(w)∈R+m
{cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}.
Parameter acak ξ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A)
dan himpunan X ⊂ x ∈ Rn+ : Ax = b, mengandung semua kendala deterministik
pada variabel x. Persamaan kendala di atas dapat dipedomani dengan menambah
4
Universitas Sumatera Utara
5
variabel-variabel slack yang tepat, dan model yang ditunjukkan sebagai model
dengan dua tahap.
Selanjutnya bentuk model rekursif dibentuk dengan menambahkan ukuran
fungsi objektif, yang dinyatakan dengan model seperti berikut;
inf {c(w)x + φ(x, ξ(w))}.
x∈X
dimana,
Φ(x, ξ(w)) = infn+ {qy : T (w)x + W y = h(w)}.
y∈R
Sekarang setiap fungsi R : Z → R, berapa nilai ekspektasi, dan merupakan ukuran resiko atau jumlah bobot keduanya (ekspektasi dan resiko) dapat digunakan
sebagai ukuran fungsi objektifnya.
2.2 Program Stokastik Linier
Berdasarkan paradigma standar program stokastik dua tahap, variabel keputusan
dari sebuah problema optimasi oleh ketidakpastian dibagi menjadi dua himpunan,
yaitu variabel-variabel tahap pertama telah ditentukan sebelum direalisasi secara
nyata dari parameter ketidakpastian dan selanjutnya mendesain atau memperbaiki kebijakan cara kerjanya yang dapat dilakukan dengan memilih sebuah cost
yang pasti pada variabel-variabel dari tahap kedua (recourse).
Variabel-variabel tahap kedua telah dianggap sebagai suatu ukuran untuk
koreksi atau peninjauan kembali suatu ketidaklayakan yang diperoleh dari sebuah fakta yang direalisasikan dari suatu ketidakpastian. Bagaimanapun juga
problema tahap kedua menjadi sebuah cara kerja dalam pengambilan keputusan
yang mengikuti sebuah rencana pada tahap pertama dan merealisasikan suatu
ketidakpastian. Sudah menjadi satu ketentuan dari sebuah ketidakpastian, bahwa biaya pada tahap kedua adalah sebuah variabel acak yang bertujuan untuk
memilih variabel tahap pertama mengenai jumlah dari biaya tahap pertama dan
nilai ekspektasi untuk meminimalkan biaya tahap kedua.
Universitas Sumatera Utara
6
Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep rekursif telah banyak diaplikasikan
pada program stokastik linier, program integer dan program nonlinier. Khusus
untuk program stokastik linier dua tahap mempunyai bentuk standar berikut;
min{C t x + Ew∈Ω[Q(x,w)] untuk x ∈ X}.
dengan,
Q(x, w) = minf (w)t y untuk D(w)y ≥ h(w) + T (w)x, y ∈ Y
dimana x ⊂ Rn1 dan y ⊂ Rn2 adalah himpunan polyhedral. Disini C ∈ Rn1 , dan
w sebuah variabel acak dari ruang probabilitas (Ω, E, IP ) dengan Ω ⊆ Rk , f :
Ω → Rn2 , h : Ω → Rm2 , D : Ω → Rm2×n2 dan T : Ω → Rm2×n1 . Problema di atas
dengan variabel x merupakan tahap pertama yang diperlukan untuk ditentukan
terlebih dahulu guna merealisasikan parameter ketidakpastian w ∈ Ω, sedangkan
y merupakan variabel tahap kedua.
Berdasarkan asumsi distribusi diskrit pada parameter ketidakpastian, problema dapat diekivalensikan rumusnya sebagai satu program linier untuk skala
yang luas yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik standar program
linier, serta sifat konveksitas dari fungsi rekursif cukup efektif digunakan dalam
strategi penyelesaian berdasarkan dekomposisi, untuk parameter distribusi kontinu. Sifat-sifat ini telah digunakan untuk pengembangan sampling berdasarkan
dekomposisi dan skema aproksimasi sama seperti algoritma dasar gradien. Formulasi dua tahap dengan mudah dapat digunakan untuk problema multi tahap
yang dipasangkan dengan model ketidakpastian sebagai sebuah proses filtrasi.
Berdasarkan distribusi diskrit, reduksi ini untuk sebuah pohon skenario oleh realisasi parameter dan skema dekomposisi membagi waktu secara bertahap sama
seperti membagi ruang skenario yang telah dikembangkan untuk program linier
multi tahap.
2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer
Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep yang mendasari model recourse adalah
dengan asumsi dua tahap dalam pengertian bahwa pada tahap pertama beberapa
variabel x yang ditentukan dan saat yang lain variabel y nilainya dapat ditunda
untuk satu waktu yaitu bila ketidakpastian telah dinyatakan dan dapat ditulis
Universitas Sumatera Utara
7
sebuah program linier acak untuk model ini sebagai berikut ;
inf
x∈X,y(w)∈R+m
{cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}.
Parameter acak ǫ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A)
dan himpunan X ⊂ x ∈ Rn+ : Ax = b, mengandung semua kendala x yang deterministik. Persamaan kendala dapat digunakan untuk persamaan di atas dengan
memperkenalkan slack variabel yang sesuai dan model di atas yang diarahkan
untuk sebuah model dua tahap, sebagai kendala yang mencakup parameter acak
yang berarti feasibel dan optimasi tidak jelas, oleh karenanya dilengkapi model
rekursif dengan menambah sebuah fungsi objektif yang standar.
2.4 Metode Simpleks
Karena kesulitan menggambar grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis
atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini, kebutuhan metode solusi yang lebih
umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Algoritma Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik
yang melibatkan dua variabel maupun lebih dari dua variabel.
Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama
diulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.
Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan
bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simpleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Dimulai pada titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal).
2. Bergerak dari suatu titik pojok yang layak ke titik pojok yang lain yang
berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih
baik (meningkat untuk masalah maksimisasi dan menurun untuk masalah
minimisasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks
dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang
baik.
Universitas Sumatera Utara
8
3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik
tidak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.
Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan
memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam
algoritma simpleks adalah :
1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal dengan menetapkan
(n − m) variabel non basis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan
m banyaknya kendala.
2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non
basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan.
Jika tidak ada, maka berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak,
lanjutkan ke langkah satu.
3. Pilih sebuah leavingvariable diantara yang sedang menjadi variabel basis
yang harus menjadi variabel non basis (nilainya menjadi nol) ketika variabel
entering menjadi variabel basis.
4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat variabel entering dan variabel
leaving menjadi non basis. Kembali ke langkah dua.
2.5 Metode L-Shaped
Cerisola, et al (2005) menjelaskan bahwa Benders atau dekomposisi L-Shaped
mempertimbangkan masalah optimisasi dua tahap yang dapat diformulasikan (P)
sebagai berikut:
min(cx + qy),
T x + W y = h,
x ∈ X, y ∈ Y.
dimana x adalah keputusan tahap pertama dan y meliputi variabel tahap kedua
n1
n2
yang daerah layaknya adalah X = A1 x ≤ a1 , x ∈ R+
dan Y = A2 x ≤ a2 , y ∈ R+
.
Solusi problem (P) ekuivalen terhadap solusi master problem (MP) berikut:
min{cx + Q(x), x ∈ X}
Universitas Sumatera Utara
9
dimana Q(x) adalah fungsi rekursif yang terdefinisi subproblem (SPx ) sebagai
berikut:
Q(x) = min{qy, W y = h − T x, y ∈ Y }
Algoritma L-Shaped menempatkan fungsi rekursif Q(x) dalam master problem (MP) melalui deskripsi parsial yang selanjutnya digunaan sebagai proses algoritma. Deskripsi fungsi rekursif ini diperoleh dari aplikasi dualitas linier. Oleh
karena itu, fungsi rekursif Q(x) juga dipresentasikan sebagai maxi∈I {π i (h − T x) +
ρi a2 }, dimana {(π i , ρi )i∈I } merupakan koleksi solusi dualitas ekstrim. Amati bahwa representasi dari fungsi rekursif ini adalah tergantung pada pemotongan linier.
Aproksimasi dari fungsi rekursif ini berkomplemen dalam algoritma dekomposisi
melalui aproksimasi daerah layak tahap pertama, yaitu koleksi solusi tahap pertama yang disajikan pada subproblem (SPx ) adalah feasibel. Daerah layak dapat
direpresentasikan sebagai {x/0 ≥ π
bj (h − T x) + ρbj a2 }j∈J , dimana {(b
π j , ρbj )j∈J }
merupakan koleksi solusi dual ekstrim yang hasilnya berasal dari minimisasi ketidaklayakan (SPx )
Algoritma dekomposisi memecahkan masing-masing iterasi sebagai Relaxed
Master Problem (RMP) sebagai berikut:
min(cx + θ),
0 ≥ θj + π
bj T (xj0 − x), j ∈ J,
θ ≥ θi + π
bi T (xi0 − x), i ∈ I,
x ∈ X.
Masing-masing iterasi dari metode ini dimulai dengan solusi (RMP) dan solusi tahap awal x0 . Solusi ini kemudian digunakan untuk mengevaluasi fungsi
rekursif dengan menyelesaikan (SPx0 ). Deskripsi fungsi rekursif pada (RMP)
dibangun dengan pemotongan optimalitas i pada kelayakan subproblem.
Di
samping itu, daerah layah (RMP) berkendala pada pemotongan kelayakan j. Algoritma L-Shaped ini akan berhenti ketika selisih relatif lebih kecil dari pada nilai
toleransi yang diberikan.
Kall dan Wallace (1994) mengilustrasikan sebuah algoritma L-Shaped yang
memuat tahap pemotongan daerah layak dan pemotongan optimalitas seperti
pada gambar 2.2.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.1 Algoritma metode L-Shaped
Gambar 2.2 Ilustrasi penerapan algoritma L-Shaped
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Program Stokastik
Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan
yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada, sedangkan pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang dilakukan,
guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik tersebut. Oleh karena itu
diperlukan teknik analisis yang berkenaan dengan pengambilan keputusan melalui berbagai model. Selanjutnya persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan
menggunakan program matematika yang bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum.
Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi
oleh adanya keterbatasan sumber dana, tenaga, waktu dan yang lainnya. Sebagai
contoh misalnya disebabkan bertambahnya biaya marginal atau menurunnya perolehan marginal dari sebuah proses produksi atau proses penjualan atau proses
investasi dan lain sebagainya.
Mujio (2009) menjelaskan bahwa program stokastik merupakan bagian dari
program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada fungsi tujuan
(fungsi objektif) atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan dengan
distribusi peluang pada parameternya. Selanjutnya dalam proses pengambilan keputusan terhadap suatu persoalan secara logis, yang diperlukan adalah membuat
sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai
konsekuensi dari keputusan yang telah diambil, dan ini dikenal sebagai model
rekursif (recourse).
Progran Linier acak dari tipe ini adalah ;
inf
x∈X,y(w)∈R+m
{cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}.
Parameter acak ξ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A)
dan himpunan X ⊂ x ∈ Rn+ : Ax = b, mengandung semua kendala deterministik
pada variabel x. Persamaan kendala di atas dapat dipedomani dengan menambah
4
Universitas Sumatera Utara
5
variabel-variabel slack yang tepat, dan model yang ditunjukkan sebagai model
dengan dua tahap.
Selanjutnya bentuk model rekursif dibentuk dengan menambahkan ukuran
fungsi objektif, yang dinyatakan dengan model seperti berikut;
inf {c(w)x + φ(x, ξ(w))}.
x∈X
dimana,
Φ(x, ξ(w)) = infn+ {qy : T (w)x + W y = h(w)}.
y∈R
Sekarang setiap fungsi R : Z → R, berapa nilai ekspektasi, dan merupakan ukuran resiko atau jumlah bobot keduanya (ekspektasi dan resiko) dapat digunakan
sebagai ukuran fungsi objektifnya.
2.2 Program Stokastik Linier
Berdasarkan paradigma standar program stokastik dua tahap, variabel keputusan
dari sebuah problema optimasi oleh ketidakpastian dibagi menjadi dua himpunan,
yaitu variabel-variabel tahap pertama telah ditentukan sebelum direalisasi secara
nyata dari parameter ketidakpastian dan selanjutnya mendesain atau memperbaiki kebijakan cara kerjanya yang dapat dilakukan dengan memilih sebuah cost
yang pasti pada variabel-variabel dari tahap kedua (recourse).
Variabel-variabel tahap kedua telah dianggap sebagai suatu ukuran untuk
koreksi atau peninjauan kembali suatu ketidaklayakan yang diperoleh dari sebuah fakta yang direalisasikan dari suatu ketidakpastian. Bagaimanapun juga
problema tahap kedua menjadi sebuah cara kerja dalam pengambilan keputusan
yang mengikuti sebuah rencana pada tahap pertama dan merealisasikan suatu
ketidakpastian. Sudah menjadi satu ketentuan dari sebuah ketidakpastian, bahwa biaya pada tahap kedua adalah sebuah variabel acak yang bertujuan untuk
memilih variabel tahap pertama mengenai jumlah dari biaya tahap pertama dan
nilai ekspektasi untuk meminimalkan biaya tahap kedua.
Universitas Sumatera Utara
6
Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep rekursif telah banyak diaplikasikan
pada program stokastik linier, program integer dan program nonlinier. Khusus
untuk program stokastik linier dua tahap mempunyai bentuk standar berikut;
min{C t x + Ew∈Ω[Q(x,w)] untuk x ∈ X}.
dengan,
Q(x, w) = minf (w)t y untuk D(w)y ≥ h(w) + T (w)x, y ∈ Y
dimana x ⊂ Rn1 dan y ⊂ Rn2 adalah himpunan polyhedral. Disini C ∈ Rn1 , dan
w sebuah variabel acak dari ruang probabilitas (Ω, E, IP ) dengan Ω ⊆ Rk , f :
Ω → Rn2 , h : Ω → Rm2 , D : Ω → Rm2×n2 dan T : Ω → Rm2×n1 . Problema di atas
dengan variabel x merupakan tahap pertama yang diperlukan untuk ditentukan
terlebih dahulu guna merealisasikan parameter ketidakpastian w ∈ Ω, sedangkan
y merupakan variabel tahap kedua.
Berdasarkan asumsi distribusi diskrit pada parameter ketidakpastian, problema dapat diekivalensikan rumusnya sebagai satu program linier untuk skala
yang luas yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik standar program
linier, serta sifat konveksitas dari fungsi rekursif cukup efektif digunakan dalam
strategi penyelesaian berdasarkan dekomposisi, untuk parameter distribusi kontinu. Sifat-sifat ini telah digunakan untuk pengembangan sampling berdasarkan
dekomposisi dan skema aproksimasi sama seperti algoritma dasar gradien. Formulasi dua tahap dengan mudah dapat digunakan untuk problema multi tahap
yang dipasangkan dengan model ketidakpastian sebagai sebuah proses filtrasi.
Berdasarkan distribusi diskrit, reduksi ini untuk sebuah pohon skenario oleh realisasi parameter dan skema dekomposisi membagi waktu secara bertahap sama
seperti membagi ruang skenario yang telah dikembangkan untuk program linier
multi tahap.
2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer
Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep yang mendasari model recourse adalah
dengan asumsi dua tahap dalam pengertian bahwa pada tahap pertama beberapa
variabel x yang ditentukan dan saat yang lain variabel y nilainya dapat ditunda
untuk satu waktu yaitu bila ketidakpastian telah dinyatakan dan dapat ditulis
Universitas Sumatera Utara
7
sebuah program linier acak untuk model ini sebagai berikut ;
inf
x∈X,y(w)∈R+m
{cx + q(w)y(w) : T (w)x + W (w)y(w) = h(w)}.
Parameter acak ǫ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A)
dan himpunan X ⊂ x ∈ Rn+ : Ax = b, mengandung semua kendala x yang deterministik. Persamaan kendala dapat digunakan untuk persamaan di atas dengan
memperkenalkan slack variabel yang sesuai dan model di atas yang diarahkan
untuk sebuah model dua tahap, sebagai kendala yang mencakup parameter acak
yang berarti feasibel dan optimasi tidak jelas, oleh karenanya dilengkapi model
rekursif dengan menambah sebuah fungsi objektif yang standar.
2.4 Metode Simpleks
Karena kesulitan menggambar grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis
atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini, kebutuhan metode solusi yang lebih
umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Algoritma Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik
yang melibatkan dua variabel maupun lebih dari dua variabel.
Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama
diulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.
Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan
bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simpleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Dimulai pada titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal).
2. Bergerak dari suatu titik pojok yang layak ke titik pojok yang lain yang
berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih
baik (meningkat untuk masalah maksimisasi dan menurun untuk masalah
minimisasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks
dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang
baik.
Universitas Sumatera Utara
8
3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik
tidak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.
Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan
memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam
algoritma simpleks adalah :
1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal dengan menetapkan
(n − m) variabel non basis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan
m banyaknya kendala.
2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non
basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan.
Jika tidak ada, maka berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak,
lanjutkan ke langkah satu.
3. Pilih sebuah leavingvariable diantara yang sedang menjadi variabel basis
yang harus menjadi variabel non basis (nilainya menjadi nol) ketika variabel
entering menjadi variabel basis.
4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat variabel entering dan variabel
leaving menjadi non basis. Kembali ke langkah dua.
2.5 Metode L-Shaped
Cerisola, et al (2005) menjelaskan bahwa Benders atau dekomposisi L-Shaped
mempertimbangkan masalah optimisasi dua tahap yang dapat diformulasikan (P)
sebagai berikut:
min(cx + qy),
T x + W y = h,
x ∈ X, y ∈ Y.
dimana x adalah keputusan tahap pertama dan y meliputi variabel tahap kedua
n1
n2
yang daerah layaknya adalah X = A1 x ≤ a1 , x ∈ R+
dan Y = A2 x ≤ a2 , y ∈ R+
.
Solusi problem (P) ekuivalen terhadap solusi master problem (MP) berikut:
min{cx + Q(x), x ∈ X}
Universitas Sumatera Utara
9
dimana Q(x) adalah fungsi rekursif yang terdefinisi subproblem (SPx ) sebagai
berikut:
Q(x) = min{qy, W y = h − T x, y ∈ Y }
Algoritma L-Shaped menempatkan fungsi rekursif Q(x) dalam master problem (MP) melalui deskripsi parsial yang selanjutnya digunaan sebagai proses algoritma. Deskripsi fungsi rekursif ini diperoleh dari aplikasi dualitas linier. Oleh
karena itu, fungsi rekursif Q(x) juga dipresentasikan sebagai maxi∈I {π i (h − T x) +
ρi a2 }, dimana {(π i , ρi )i∈I } merupakan koleksi solusi dualitas ekstrim. Amati bahwa representasi dari fungsi rekursif ini adalah tergantung pada pemotongan linier.
Aproksimasi dari fungsi rekursif ini berkomplemen dalam algoritma dekomposisi
melalui aproksimasi daerah layak tahap pertama, yaitu koleksi solusi tahap pertama yang disajikan pada subproblem (SPx ) adalah feasibel. Daerah layak dapat
direpresentasikan sebagai {x/0 ≥ π
bj (h − T x) + ρbj a2 }j∈J , dimana {(b
π j , ρbj )j∈J }
merupakan koleksi solusi dual ekstrim yang hasilnya berasal dari minimisasi ketidaklayakan (SPx )
Algoritma dekomposisi memecahkan masing-masing iterasi sebagai Relaxed
Master Problem (RMP) sebagai berikut:
min(cx + θ),
0 ≥ θj + π
bj T (xj0 − x), j ∈ J,
θ ≥ θi + π
bi T (xi0 − x), i ∈ I,
x ∈ X.
Masing-masing iterasi dari metode ini dimulai dengan solusi (RMP) dan solusi tahap awal x0 . Solusi ini kemudian digunakan untuk mengevaluasi fungsi
rekursif dengan menyelesaikan (SPx0 ). Deskripsi fungsi rekursif pada (RMP)
dibangun dengan pemotongan optimalitas i pada kelayakan subproblem.
Di
samping itu, daerah layah (RMP) berkendala pada pemotongan kelayakan j. Algoritma L-Shaped ini akan berhenti ketika selisih relatif lebih kecil dari pada nilai
toleransi yang diberikan.
Kall dan Wallace (1994) mengilustrasikan sebuah algoritma L-Shaped yang
memuat tahap pemotongan daerah layak dan pemotongan optimalitas seperti
pada gambar 2.2.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.1 Algoritma metode L-Shaped
Gambar 2.2 Ilustrasi penerapan algoritma L-Shaped
Universitas Sumatera Utara