Aproksimasi Pada Pemrograman Stokastik Linier
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK
LINIER
TESIS
Oleh
LIZA SETYANING PERTIWI
127021022/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK
LINIER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
LIZA SETYANING PERTIWI
127021022/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK
LINIER
Nama Mahasiswa : Liza Setyaning Pertiwi
Nomor Pokok
: 127021022
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Anggota :
Prof. Dr. Herman Mawengkang
1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Dr. Sutarman, M.Sc
3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 4 Juni 2014
Penulis,
Liza Setyaning Pertiwi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Algoritma aproksimasi merupakan metode solusi yang lazim dalam program stokastik karena masalah dalam program stokastik sangat sulit dipecahkan. Oleh
karena itu, paling banyak penelitian dalam kasus ini difokuskan untuk mendesain
metode solusi yang mengaproksimasi solusi optimal. Penelitian ini mengemukakan
atau menjelaskan suatu strategi untuk menyelesaikan masalah program stokastik
linier melalui aproksimasi dengan metode L-Shaped. Tesis ini mendapatkan hasil
dari aproksimasi untuk model program stokastik dengan memenuhi semua kendala
linier dimana solusi optimal tercapai tergantung pada partisi yang dipilih.
Kata kunci
: Program stokastik linier, Aproksimasi konveks, Metode L-Shaped
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Approximation algorithm is inveterate solution method in stochastic programming
because the problem of stochastic programming is very difficult solved. Therefore,
most research in this case is focussed for designing the solution method which approximate optimal solution. This research tells a strategy to finish the problem
of stochastic linear programming by approximation with L-Shaped method. This
thesis gets result of approximation for stochastic model by fulfilling all linear constraint where optimal solution reached depend on selected partition.
Keyword
: Stochastic linear program, Convex approximation, L-Shaped method
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”Aproksimasi Pada Pemrograman Stokastik Linier”.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program
Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Satu
yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembanding Dua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Lembaga Pengelola Dana Pendidikan pada Kementrian keuangan RI yang
telah banyak memberikan beasiswa dana penelitian tesis 2014 sehingga penulis
dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2012 ganjil (Teteh Wilma, Kak Rini, Romy-Isna, Hari-P’LeAdi, Arie-Dilla, Ugie, Silvi, P’Mail, K’Juli, K’Fitra, K’Hana, Weni,
Sari, B’Well, K’Tiur, B’Sus, Ryandi) yang telah memberikan bantuan moril
dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada suami tercinta Sudarman Damanik dan Orang
tuaku tercinta yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis
serta dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada anak-anakku
Raisa Adila Husna Br. Damanik dan Syauqi Firdaus Damanik yang
telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada
sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang
telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.
Medan,
4 Juni 2014
Penulis,
Liza Setyaning Pertiwi
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Liza Setyaning Pertiwi dilahirkan di Pematang Siantar pada tanggal 17 Juni
1987 dari pasangan Ibu Parinah & Bapak Sutiono. Penulis lulus dari pendidikan
Sekolah Dasar Negeri 091655 Pematang Bandar pada tahun 1998, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Siantar Bangun pada tahun 2001, Sekolah Menengah Atas
Negeri 4 Pematang Siantar tahun 2004. Pada tahun 2004 memasuki tingkat Perguruan Tinggi di Universitas Padjadjaran Bandung Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam jurusan (S-I) Matematika lulus tahun 2008. Alhamdulillah penulis sudah menikah dengan Sudarman Damanik dan dikaruniai dua orang
anak yaitu Raisa Adila Husna Br. Damanik, dan Syauqi Firdaus Damanik.
Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metodologi Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
2.1 Program Stokastik
4
2.2 Program Stokastik Linier
5
2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer
6
2.4 Metode Simpleks
7
2.5 Metode L-Shaped
8
BAB 3 PEMBAHASAN
11
3.1 Batas
11
3.1.1 Batas bawah Jensen
13
3.1.2 Batas atas Edmundson-Madansky
14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Kombinasi
16
3.3 Menggunakan Metode L-Shaped dengan Skema Aproksimasi
20
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
22
4.1 KESIMPULAN
22
4.2 SARAN
22
DAFTAR PUSTAKA
23
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Hala-
man
2.1
Algoritma metode L-Shaped
10
2.2
Ilustrasi penerapan algoritma L-Shaped
10
3.1
Grafik kebutuhan pembelian minyak
12
3.2
Ilustrasi pencarian batas bawah
14
3.3
Batas atas dan batas bawah
15
3.4
Batas atas dan batas bawah
16
3.5
Ilustrasi kegunaan batas pada metode L-Shaped
20
ix
Universitas Sumatera Utara
LINIER
TESIS
Oleh
LIZA SETYANING PERTIWI
127021022/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK
LINIER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
LIZA SETYANING PERTIWI
127021022/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK
LINIER
Nama Mahasiswa : Liza Setyaning Pertiwi
Nomor Pokok
: 127021022
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 4 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Anggota :
Prof. Dr. Herman Mawengkang
1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Dr. Sutarman, M.Sc
3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 4 Juni 2014
Penulis,
Liza Setyaning Pertiwi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Algoritma aproksimasi merupakan metode solusi yang lazim dalam program stokastik karena masalah dalam program stokastik sangat sulit dipecahkan. Oleh
karena itu, paling banyak penelitian dalam kasus ini difokuskan untuk mendesain
metode solusi yang mengaproksimasi solusi optimal. Penelitian ini mengemukakan
atau menjelaskan suatu strategi untuk menyelesaikan masalah program stokastik
linier melalui aproksimasi dengan metode L-Shaped. Tesis ini mendapatkan hasil
dari aproksimasi untuk model program stokastik dengan memenuhi semua kendala
linier dimana solusi optimal tercapai tergantung pada partisi yang dipilih.
Kata kunci
: Program stokastik linier, Aproksimasi konveks, Metode L-Shaped
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Approximation algorithm is inveterate solution method in stochastic programming
because the problem of stochastic programming is very difficult solved. Therefore,
most research in this case is focussed for designing the solution method which approximate optimal solution. This research tells a strategy to finish the problem
of stochastic linear programming by approximation with L-Shaped method. This
thesis gets result of approximation for stochastic model by fulfilling all linear constraint where optimal solution reached depend on selected partition.
Keyword
: Stochastic linear program, Convex approximation, L-Shaped method
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”Aproksimasi Pada Pemrograman Stokastik Linier”.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program
Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Satu
yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembanding Dua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Lembaga Pengelola Dana Pendidikan pada Kementrian keuangan RI yang
telah banyak memberikan beasiswa dana penelitian tesis 2014 sehingga penulis
dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2012 ganjil (Teteh Wilma, Kak Rini, Romy-Isna, Hari-P’LeAdi, Arie-Dilla, Ugie, Silvi, P’Mail, K’Juli, K’Fitra, K’Hana, Weni,
Sari, B’Well, K’Tiur, B’Sus, Ryandi) yang telah memberikan bantuan moril
dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada suami tercinta Sudarman Damanik dan Orang
tuaku tercinta yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis
serta dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada anak-anakku
Raisa Adila Husna Br. Damanik dan Syauqi Firdaus Damanik yang
telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada
sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang
telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.
Medan,
4 Juni 2014
Penulis,
Liza Setyaning Pertiwi
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Liza Setyaning Pertiwi dilahirkan di Pematang Siantar pada tanggal 17 Juni
1987 dari pasangan Ibu Parinah & Bapak Sutiono. Penulis lulus dari pendidikan
Sekolah Dasar Negeri 091655 Pematang Bandar pada tahun 1998, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Siantar Bangun pada tahun 2001, Sekolah Menengah Atas
Negeri 4 Pematang Siantar tahun 2004. Pada tahun 2004 memasuki tingkat Perguruan Tinggi di Universitas Padjadjaran Bandung Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam jurusan (S-I) Matematika lulus tahun 2008. Alhamdulillah penulis sudah menikah dengan Sudarman Damanik dan dikaruniai dua orang
anak yaitu Raisa Adila Husna Br. Damanik, dan Syauqi Firdaus Damanik.
Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metodologi Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
2.1 Program Stokastik
4
2.2 Program Stokastik Linier
5
2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer
6
2.4 Metode Simpleks
7
2.5 Metode L-Shaped
8
BAB 3 PEMBAHASAN
11
3.1 Batas
11
3.1.1 Batas bawah Jensen
13
3.1.2 Batas atas Edmundson-Madansky
14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Kombinasi
16
3.3 Menggunakan Metode L-Shaped dengan Skema Aproksimasi
20
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
22
4.1 KESIMPULAN
22
4.2 SARAN
22
DAFTAR PUSTAKA
23
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Hala-
man
2.1
Algoritma metode L-Shaped
10
2.2
Ilustrasi penerapan algoritma L-Shaped
10
3.1
Grafik kebutuhan pembelian minyak
12
3.2
Ilustrasi pencarian batas bawah
14
3.3
Batas atas dan batas bawah
15
3.4
Batas atas dan batas bawah
16
3.5
Ilustrasi kegunaan batas pada metode L-Shaped
20
ix
Universitas Sumatera Utara