DESIGN BY : LIA PRABA KUSUMA PUTRI S.Si

NUMERIK

DESIGN BY : LIA PRABA KUSUMA PUTRI S.Si

TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

JAKARTA

KATA PENGANTAR

Segala sesuatu yang berawal dari keingintahuan dan proses pembelajaran akan membuat seseorang menjadi semakin berilmu. Bagai ilmu padi, semakin berisi maka sebaiknya ia semakin menunduk. Semakin banyak ilmu yang dimiliki, maka semakin memahami bahwa semua ini hanya milik Tuhan semata. Segala yang dijalani, segala yang dialami, segala yang dini’mati hanyalah kepunyaan Tuhan semata. Segala ujian

yang dihadapi akan menambah ilmu dan kemampuan yang dimiliki adalah semata untuk selalu mensyukuri ni’mat Tuhan YME. Kehilangan, kepunyaan hanyalah sebuah benda

yang datang dan pergi. Manusia akan sangat kaya dan sukses ketika ia menjadi berarti dan berilmu serta mempunyai akhlak yang mulia.

Alhamdulillah, berkat restu dari Allah SWT diktat METODE NUMERIK ini telah diselesaikan dengan baik. Segala kesempurnaan hanya milik Allah SWT, begitu juga dengan diktat ini, yang merupakan intisari dari perjalanan seorang mahasiswa yang mengontrak mata kuliah METODE NUMERIK pada semester V program studi TEKNIK INFORMATIKA UNINDRA.

Materi pada diktat ini mencakup seluruh materi yang ada sebagai aplikasi pemrograman berbasis matematika. Perumusan yang telah dipelajari sejak semester I sampai dengan semester IV akan digunakan untuk pembuatan program sesuai dengan studi kasus yang diberikan per individu sebagai tugas besar di akhir semester. Waktu pengerjaan adalah ± 1 bulan.

Suatu kebanggaan bagi saya untuk dapat menyelesaikan diktat ini serta mengaplikasikannya sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu kinerja mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta penyelesaian pembelajaran sebagai mahasiswa pada umumnya.

Jakarta, Juli 2010

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .......................

2 Daftar Isi

3 Satuan Acara Pengajaran

6 Materi Ujian Tengah Semester

a. Teori Kesalahan .......................

b. Solusi Persamaan Linier .......................

c. Solusi Persamaan Non .......................

13 Linier

Studi Kasus .......................

24 Sistematika Penulisan Makalah

31 Aturan Penilaian

33 Materi Ujian Akhir Semester

a. Interpolasi .......................

b. Integrasi Numerik .......................

42 Daftar Pustaka

c. Persamaan Diferensial .......................

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

TEMU POKOK BAHASAN

TUJUAN

MATERI

I Pendahuluan Memberi gambaran singkat tentang - Dasar Numerik konsep dasar metode numerik dalam

- Perkembangan

hubungannya dengan matematika dan

Komputer

kaitannya dengan komputer serta aturan perkuliahan.

II Teori Kesalahan Memahami dan memperhitungkan - Angka Signifikan dan berbagai macam kesalahan yang

Keterbatasan Komputer

timbul dalam pendekatan secara

- Kesalahan relatif dan

numerik

mutlak - Kesalahan pemotongan

dan pembulatan III

Persamaan Linier Simultan Mampu memahami serta dapat Metode Gauss-Jourdan menggunakan prinsip matriks dan (Identitas Matriks) berbagai metode pendekatan untuk menyelesaikan

IV Metode mencari Akar Mampu memahami dan dapat mencari Metode tertutup : Persamaan

akar-akar persamaan baik aljabar

- Bisection

maupun transenden dengan berbagai metode pendekatan

- False Position (Regula Falsi)

V Metode mencari Akar

Metode Terbuka : Persamaan - Fixed Point

Idem

VI Metode mencari Akar

Metode Terbuka : Persamaan

Idem

- Newton Rhapson

UJIAN TENGAH SEMESTER

IX Studi Kasus

- Sistematika Penulisan

metode numerik dalam aplikasi

- Studi Kasus

penerapannya dalam program.

- Aplikasi

X Regresi dan Interpolasi

Mampu memahami perbedaan

interpolasi serta meggunakannya untuk

mengolah

dan

- a. Linier

memanipulasi data

XI Lanjutan

Lanjutan

Polonomial Lagrange

XII Lanjutan

Lanjutan

Polinomial Newton

XIII Integrasi Numerik Mampu memahami dan dapat Metode Trapezoida menghitung integrasi tertentu

XIV Persamaan Diferensial

Mampu memahami dan dapat

Metode Euler

memecahkan persamaan diferensial biasa dengan berbagai metode pendekatan

XV Lanjutan

Lanjutan

Metode Runge-Kutta

XVI

UJIAN AKHIR SEMESTER

PENDAHULUAN

Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Selain itu, Metode Numerik juga merupakan cara penyelesaian Matematis yang dikembangkan dari cara analisis dan memasuki wilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan dengan menggunakan media komputer.

Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaian mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas problema yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang dipakai dan sebagainya. Apabila jumlah operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah puluhan, maka problema dapat diselesaikan secara manual atau dengan menggunakan kalkulator. Tetapi, jika suatu kasus memerlukan jutaan operasi hitung, maka penyelesaiannya harus dilakukan dengan bantuan komputer berkecepatan tinggi. Disinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam komputasi numerik.

Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan semakin terasa di dalam menyelesaikan problema-problema berskala besar yang melibatkan ribuan variabel.

Selain sumber-sumber tersebut, kesalahan numerik juga dapat disebabkan oleh kekurang-cermatan manusia (human error), penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin hitung, kalkulator atau komputer. Kekurangcermatan manusia dapat menyebabkan kesalahan di dalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil pengukuran (kesalahan membaca alat ukur). Pemakaian alat ukur yang tidak akurat juga akan menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat. Keterbatasan mesin hitung, kalkulator atau komputer dalam menyajikan suatu bilangan akan menghasilkan

Suatu galat dapat disebabkan kekurang-telitian model matematika dan galat bawaan dari data masukan bersifat inherent (bawaan/melekat). Galat ini tetap ada, sekalipun penyelesaiannya diperoleh menggunakan metode eksak. Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam menjelaskan suatu fenomena alam dapat diuji dengan membandingkan hasil-hasil beberapa eksperimen dan beberapa hasil penyelesaian khusus menggunakan beberapa parameter masukan.

6 elemen utama pemrograman yang langsung berkaitan dengan metode numerik adalah sebagai berikut :

- Konstanta dan variable - Masukan-keluaran (input-output) - Komputasi - Kontrol - Subprogram - Dokumentasi

TEORI KESALAHAN / GALAT

Sumber-sumber Galat

Selain kecepatan, aspek lain yang sangat penting untuk diperhatikan di dalam komputasi numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Hal ini disebabkan penyelesaian yang diperoleh melalui komputasi numerik umumnya merupakan solusi hampiran, tentu saja terdapat beberapa galat (kesalahan numerik). Beberapa sumber galat (error) pada suatu solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode komputasi numerik, yaitu:

1. Model matematika untuk suatu fenomena alam.

2. Galat bawaan dari data masukan (parameter masukan).

3. Metode penyelesaian.

4. Adanya pembulatan di dalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasi – operasi jenis lain pada bilangan-bilangan yang terkait.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa galat dalam komputasi numerik dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu:

1. Galat bawaan (inherent error), yaitu galat yang dapat disebabkan oleh kesalahan hasil pengukuran, kesalahan data awal, dan sejenisnya.

2. Galat pemotongan (truncation error), yaitu galat yang berkaitan dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena penghentian proses perhitungan.

3. Galat pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan

Angka Signifikan (Penting) /Angka Bena

Sebagai ilustrasi, misalkan kita menghitung berat badan. Berdasarkan timbangan diperoleh berat badan kita adalah 62 atau 63 kg. Mungkin lebih tepatnya sekitar 63 kg. Jika untuk ketelitian data menginginkan 1 digit di belakang koma dapat diperkirakan nilainya 62,7 kg atau 62,9 kg. Adanya keterbatasan timbangan tadi menyebabkan kita tak dapat memastikan (menduga saja), untuk digit ketiga (digit kedua di belakang koma). Jadi akan menjadi aneh jika diperkirakan bahwa berat badan seseorang 62,897653657 kg.

Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan kita.

SOLUSI PERSAMAAN LINIER

METODE GAUSS JORDAN

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Metode tersebut dinamai eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan matriks identitas dalam dimensi yang sama, serta melalui operasi-operasi matriks:

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Tugas Individu I :

Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk tulisan tangan dan diterima oleh dosen yang bersangkutan di kelas masing-masing. Setiap mahasiswa wajib mengerjakan masing-masing 5 soal dari soal-soal yang ada. ( 1 Soal wajib silahkan dipilih dari soal no 12 – 15, soal no 1-11 yang dikerjakan boleh sama tetapi hanya satu soal saja )

1. x + y + z = 9; x – y + z = -1; x + y – z = 5

2. 3x + 7y +z = 14; 2x – 5y + 4z = 13; x + 2y + 3z = 15

3. 2x – y +3z = 15; x – y +5z = 19; 4x + 2y +7z = 25

4. –x - 2y + z = 11; x – 3y + 2z = 12; 2x – 7y – 3z = -17

5. 2x – 3y – 2y = 1; x + y + 3z = -9; x – 2y – 5z =12

6. x – 2y – 4z = -1; 7x – 8y +2z = -3; -x – 6y +9z = 24

7. x y

8. x y

z 50 ; x

z 24

12. Mother goes to market, together with Sarimin, to buy “mango, banana, guava.” The price of 2 bananas, 2 mangoes, and 4 guavas is Rp 18.000,00. The price of 4 bananas,

1 mango, and 1 guava is 18.000,00. The price of 2 mangoes, 3 bananas, and 1 guava Rp 16.000,00. By an amount of Rp 50.000,00 find the number of mangoes, bananas, and guavas that can be bought by mother, n.b the number of bananas is as many as possible and the three fruits should be bought ?

13. From two supermarkets of one company it is abtained that data of selling of meat and fish in one week as shown in the following table.

Meat (kg)

Fish (kg)

Total sells (in thousand rupiahs)

Supermarket A

80 20 2960 Supermarket B

70 40 3040 Then the price of fish/kg in the two supermarket is . . .

14. Mr. Agus works for 6 days which 4 days are overtime to get Rp 74.000,00. Mr. Bardi works for 5 days which 2 days are overtime to get Rp 55.000,00. Mr. Agus, Mr. Bandi, and Mr. Dodo work under the same payment system. If Mr. Dodo works for 5 days overtime, then the payment that he shall receive is . . .

15. Evie works for one week which 3 days are overtime to get Rp.120.000,00. Roni works for one week which 5 days are overtime to get Rp 130.000,00. Evie, Roni, and Ina works under the same payment system. If Ina works for one week overtime, Then find the payment that she shall receive.

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER METODE PENCARIAN AKAR

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif (looping). Secara umum metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua jenis , yaitu ; Metode Tertutup (Bracketing Method) dan Metode Terbuka.

1. METODE TERTUTUP Meode ini menggunakan selang [a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang

tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi.

a. Metode bagi dua Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut :

[a,b]

bagi dua di

[a,c]

[c,b]

f(a)f(c) < 0 ?

Ya

tidak

Selang baru: [a,b]←[a,c] Selang baru: [a,b]←[c,b]

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya, kondisi berhenti dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut :

1. Lebar selang baru : , dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar selang yang mengukur akar.

2. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. Tetapi, dapat pula kita uji f(c) = 0 dengan menghampiri nilai f(c) < epsilon mesin.

3. Galat relatif hampiran akar : , dalam hal ini adalah galat relatif yang diinginkan.

Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan :

Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) =

di dalam selang [0,1] dan

Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua. Jumlah iterasi yang dibutuhkan :

Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar

I A c b f(a)

f(c)

f(b)

[c,b] 0,500000 1 0,500000 0,750000 1,000000 0,398721 -0,695500

[a,c] 0,250000 2 0,500000 0,625000 0,750000 0,398721 -0,084879

[a,c] 0,125000 3 0,500000 0,562500 0,625000 0,398721 0,173023

[c,b] 0,062500 4 0,562500 0,593750 0,625000 0,173023 0,048071

[c,b] 0,031250 5 0,593750 0,609375 0,625000 0,048071 -0,017408

[a,c] 0,015625 6 0,593750 0,601563 0,609375 0,048071 0,015581

[c,b] 0,007813 7 0,601563 0,605469 0,609375 0,015581 -0,000851

[a,c] 0,003906 8 0,601563 0,603516 0,605469 0,015581 0,007380

[c,b] 0,001953 9 0,603516 0,604492 0,605469 0,007380 0,003268

[c,b] 0,000977 10 0,604492 0,604980 0,605469 0,003268 0,001210

[c,b] 0,000488 11 0,604980 0,605225 0,605469 0,001210 0,000179

[c,b] 0,000244 12 0,605225 0,605347 0,605469 0,000179 -0,000336

[a,c] 0,000122 13 0,605225 0,605286 0,605347 0,000179 -0,000078

[a,c] 0,000061 14 0,605225 0,605255 0,605286 0,000179 0,000051

[c,b] 0,000031 15 0,605255 0,605270 0,605286 0,000051 -0,000014

[a,c] 0,000015 16 0,605255 0,605263 0,605270 0,000051 0,000018

[c,b] 0,000008

Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,605263

b. Metode Regula Falsi Meskipun metode bagidua selalu menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya

sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Logikanya, jika f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b) tentu akar sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Logikanya, jika f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b) tentu akar

y = f(x)

A Perhatikan gambar di atas : gradien garis AB = gradien garis BC

Yang disederhanakan menjadi,

Pada kondisi yang paling ekstrim, tidak pernah lebih kecil dari , sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk setiap iterasi r = 0,1,2, . . . . Titik ujung selang yang tidak pernah berubah itu dinamakan titik mandek (stagnant point). Pada titik mandek,

r =0,1,2,. . .

Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping.Untuk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma regula-falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(c) sudah sangat kecil sehingga medekati nol.

selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan >

1) yang kemudian menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi setengah kalinya, yang akan dipakai pada iterasi r = 1.

Misalkan, setelah menghitung nilai c 0 pada iterasi, ujung selang b tidak berubah . Titik b menjadi titik mandek. Karena itu, untuk iterasi selanjutnya yang digunakan adalah f(b)/2. Dengan cara ini titik mandek dapat dihilangkan.

Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) =

di dalam selang [0,1] dan

! Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode regula falsi

yang diperbaiki.

Tabel iterasi untuk menghitung f(x) =

di dalam selang [0,1] dan

adalah : selang

baru lebarnya 0 0,000000 0,304718 1,000000 1,000000 0,891976

I A C B f(a)

f(c)

f(b)

[c,b] 0,695282 1 0,304718 0,609797 1,000000 0,891976 -0,019205

[a,c] 0,390203 2 0,304718 0,603367 0,609797 0,891976 0,008005

[c,b] 0,006430 3 0,603367 0,605259 0,609797 0,008005 0,000035

[c,b] 0,004538 4 0,605259 0,605275 0,609797 0,000035 -0,000035

[a,c] 0,004522 5 0,605259 0,605267 0,605275 0,000035 0,000000

[a,c] 0,000008

Hampiran akar x = 0,605267.

2. METODE TERBUKA Dalam metode terbuka tidak diperlukan selang untuk mengurung akar. Yang

diperlukan tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Hampiran akar didasarkan pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur iterasi. Terkadang iterasinya bisa konvergen ke akar, atau isa pula divergen. Jika iterasinya konvergen, makakonvergensi tersebut berlangsung sangat cepat dibandingkan metode tertutup.

a. Metode Iterasi Titik-Tetap (fixed-point itteration) Metode ini kadang-kadang dimakan juga metode iterasi sederhana atau metode

langsung. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya mudah dibentuk.

Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x). Lalu, bentuklah menjadi prosedur iterasi

Dan terkalah sebuah nilai awal x 0 , lalu hitung nilai x 1 ,x 2 , . . . , yang konvergen ke akar sejati s sedemikian sehingga f(s) = 0 dan s = g(s).

Iterasi berhenti jika kondisi berada pada Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = x 2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Iterasi Titik-Tetap, ε = 0,00001 !

Penyelesaian :

2 x – 2x – 3 = 0

2 x = 2x + 3

Dalam hal ini,

. Misalkan x 0 =4

. Prosedur iterasinya adalah

Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000

b. Metode Newton-Rhapson modifikasi Deret Taylor Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Rhapsonlah yang paling

terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Metode Newton-Rhapson yang akan dibahas pada perkuliahan metode numerik untuk Tehnik Informatika adalah yang sudah dimodiikasi dengan bantuan deret Taylor.

Prosedur iterasinya adalah :

Kondisi iterasi berhenti jika

Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x 2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson,

ε = 0,00001 dan tebakan awal x 0 = 2!

Penyelesaian :

2 f(x) = x – 2x – 3 f’(x) = 2x – 2

Prosedur iterasi Newton-Rhapson :

Tabel Iterasinya :

Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000

c. Metode Secant Tahapan iterasi metode Newton-Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi,

f’(x). Tetapi, tidak semua fuungsi dapat dicari turunannya dengan mudah, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan tersebut dapat dihilangkan dengan cara

Prosedur iterasinya adalah :

f ( x r )( x r x r 1 )

Kondisi iterasi berhenti jika

Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x 2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Secant, ε =

0,00001 dan tebakan awal x 0 = 0,5 dan x 1 = 0,75!

Penyelesaian :

2 f(x) = x – 2x – 3

Prosedur iterasi Secant :

f ( x r )( x r x r 1 )

Tabel Iterasinya :

Ternyata, hampiran akarnya mengarah ke akar yang lain x = -1 (yang merupakan solusi dari persamaan tersebut).

Tugas Individu II :

Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk tulisan komputer (dihitung secara manual atau komputasi) dan diterima oleh dosen yang bersangkutan di kelas masing-masing. Setiap mahasiswa wajib mengerjakan masing- masing satu soal. (Setiap mahasiswa dalam satu kelas tidak boleh mengerjakan soal yang sama ! ). Tentukan solusi dari persamaan non linier berikut dengan metode terbuka 1 buah dan metode tertutup 2 buah, bandingkan hasil yang anda peroleh dan jelaskan! !

1. f x

7. f x

x 2 4 x 9 x 20

2. f x

8. f x

x 2 1 x 7 x 16

3. f x

9. f x

4. f x

10. f x

x 2 3 11. f x 2 x 7 x 4

5. f x x 1

12. 2 f x x 6 x 8 x 2 2 x 8

6. f x

37. x 2 – 10,1 x +1 = 0

5 4 3 29. 2 f x x 12 x 293 x 3444 x 20884 x 240240

30. f x 5 x 12 x 30

3 31. 2 f x x 5 x 7 x 3

4 3 32. 2 f x x 6 x 12 x 10 x 3

33. 3 f x x 3 x 1

STUDI KASUS UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIK

Makalah ini ditulis berdasarkan studi kasus yang anda ambil untuk menggantikan nilai UAS (Tugas Individu). Kecuali nilai anda tidak memuaskan, silahkan mengerjakan UAS untuk tambahan nilai. Jika anda mengumpulkan paling lambat :

Kelas Pagi : 5 Januari 2011 pukul 12.00 Kelas Sore : 5 Januari 2011 pukul 20.00 Maka dosen ybs dapat mengevaluasi lebih dini untuk nilai total Mata Kuliah Metode

Numerik. Jika melewati batas waktu tersebut, makalah tidak akan diterima dengan alasan apaapun! Hasil pengerjaan dilaporkan dalam bentuk PRINT OUT!!!! Tidak diterima dalam bentuk lain.

Silahkan pilih sendiri (tidak ada mahasiswa yang mengerjakan kasus yg sama), satu mahasiswa boleh mengerjakan satu kasus tetapi dengan metode yang berbeda (polinom lagrange atau polinom newton). Ketua kelas melaporkan kepada dosen ybs hasil keputusan pemilihan kasus via email : itowarsito31@yahoo.co.id

A Diketahui jumlah kecelakaan lalu-lintas di DKI Jakarta, 2000- 200743519007A 2008.

200743519001B Thn 00

Jml 2263 2550 2515 3310 2006 1893 1467 Estimasi jumlah kecelakaan di tahun 2004 ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

B Diketahui jumlah pencari kerja yang mendaftarkan di kantor 200743519120A tenaga kerja,DKI Jakarta 1991-1998.

Jml 8679 14310 13396 25218 34633 43001 Estimasi jumlah pencari kerja di tahun 1993 ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

C Diketahui harga rata-rata perdagangan karet dalam rupiah/100kg di Jakarta 1967 – 1972.

Thn 67

Jml 3179 9311 14809 10238 11143 Estimasi harga rata-rata perdagangan karet di tahun 1970! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

D Seorang penerjun payung terjun dari pesawat. Jarak (kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak) adalah :

t gm

c / m d t v t dt 1 e dt

0 0 c Hitung seberapa jauh penerjun jatuh setelah waktu t = 10

detik!

E Berikut adalah table pendinginan angin!

-20 -10 Angin

Kecepatan 0 -30

(mph)

10 -58

-45 -31

-78 -63 Tentukan temperature saat kecepatan angin sebesar 15 mph! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

30 -94

F Suatu dealer mobil ingin mengetahui gambaran hasil penjualan selama 150 hari, diperoleh :

Mobil/hari 0

1 2 4 5 6 Jml

24 32 40 12 9 6 Hitung frekuensi jumlah mobil yang terjual 3 buah/hari ! Polinom Lagrange (A)

Polinom Newton (B)

G Tabel tinggi badan 20 anak balita.

Tinggi

60 65 70 75 80 Frekuensi 1 2 8 6 3

Estimasi jumlah balita yang mempunyai tinggi badan 72 cm ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

H Sebuah perusahaan memiliki data perkembangan hasil produksi sebagai berikut :

Tahun 2002 2003 2004 2006 2007 Hasil

145 Tentukan jumlah produksi tahun 2005! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

I Berikut data hasil penjualan computer di “Toko Angin Ribut” dari bulan Januari sampai bulan April 2007

Bulan Jan

Feb Maret April

Hasil

Estimasi hasil penjualan computer pada bulan ke – 5! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Berikut data jumlah pemakaian tenaga listrik dalam KwH di DKI Jakarta tahun 2009

Maret April Juni Pemakaian 110693 108183 104910 117652 124166 Estimasi jumlah pemakaian tenaga listrik pada bulan ke – 5! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Bulan Jan

Feb

Berikut data jumlah uang yang disimpan di Bank Tabungan Pos di Indonesia(dalam juta) !

Tahun 2000 2001 2003 2004 2005 Deposit

156 Estimasi jumlah uang yang disimpan pada tahun 2002! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Berikut adalah jumlah uang yang beredar dalam milyar dan harga beras dalam Rp./kg

Jml 183,44 250,29 320,76 474,01 669,00 Harga

Estimasi harga beras jika jumlah uang yang beredar 300! Polinom Lagrange (A)

Polinom Newton (B)

Berikut jumlah pengeluaran untuk iklan (X) dalam juta dan jumlah penjualan produk (Y) dalam juta.

Estimasi jumlah penjualan produk jika jumlah pengeluaran untuk iklan 50 juta!

Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

N Berikut luas tanah panen dalam hektar (X) dan hasil produksi dalam metric ton (Y)

Y 290104 307166 379683 341088 408950 Estimasi hasil produksi jika luas tanah panen adalah 450000! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

O Berikut data rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta di pasar Jakarta (Y) serta jumlah peredaran uang di Indonesia(X).

X 51,47 113,89 183,44 250,29 320,76 Y

Estimasi rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta jika jumlah peredaran uang sebesar 120!

Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

P Berikut pendapatan perkapita (X) dan konsumsi perkapita (Y) negara “Nusantara”

X 189000 220500 245700 252000 270900 283500 Y 151200 176400 196560 201600 216720 226800 Estimasi konsumsi perkapita negara tersebut, jika

pendapatannya 230000! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Berikut jumlah rata-rata pendapatan dalam milyar (X) dan rata-rata biaya pelayanan dalam milyar (Y) dari 94 perusahaan

X 96 83 126 61 59 90 82 88 Y

6 22 18 8 12 10 17 11 Estimasi biaya pelayanan jika pendapatan sebesar 100! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Berikut data PT.Pesona Indah tentang promosi dan penjualan produk Minuman Ringan.

Promosi (juta)

10 20 30 40 Penjualan (Milyar) 25 30 40 50

Estimasi biaya penjualan jika biaya promosi 50 juta! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

S Berikut adalah table pendinginan angin!

-20 -10 Angin

Kecepatan 0 -30

-45 -31 (mph)

Tentukan kecepatan angin saat temperature sebesar -25 0 F!

Berikut data hasil produksi rata-rata padi kering per hektar dalam kuintal!

Jumlah

20 30 10 5 35 Desa

Hasil

Estimasi hasil produksi jika jumlah desa 15! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

V Berikut jumlah rata-rata pendapatan dalam milyar (X) dan rata-rata biaya promosi dalam milyar (Y) dari 94 perusahaan perhotelan di daerah pariwisata

X 80 98 74 76 113 80

Estimasi biaya penerimaan jika biaya promosi sebesar 50! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)

Sistematika Penulisan Makalah

Judul (Kelogisan judul dengan studi kasus dan metode, jika tidak sesuai : -5) Kata Pengantar Daftar Isi Bab I Pendahuluan Bab ini menjelaskan latar belakang penulis mengangkat studi kasus dan seberapa jauh

ketertarikan penulis dengan studi kasus dan bagaimana cara penyelesaiannya Bab II

Penjelasan studi kasus dan metode yang digunakan, teori boleh diambil dari buku,artikel,blog, web atau apapun yang bersifat resmi. Sumber harus ditulis pada daftar pustaka sesuai kaidah EYD.

Bab III Pembahasan Dalam bab ini penulis wajib menjelaskan metode yang diaplikasikan untuk penyelesaian

studi kasus. Penyelesaiannya dengan cara manual atau cara automatis (program). Jelaskan diagram alirnya terlebih dahulu, kemudian tampilkan source code baru kemudian Java Swing (jika menggunakan Java) tampilkan input dan output hasil program tersebut.

Bab IV Kesimpulan dan Saran Jelaskan kesimpulan yang anda dapatkan setelah mengerjakan makalah tersebut dan

berikan saran dan kritik terhadap yang anda kerjakan. Daftar Pustaka Penulisan sesuai dengan EYD, sumber harus dari buku atau jurnal yang terkait (tidak

sesuai : -5)

Aturan Penulisan Makalah

Batas Margin : Batas Atas dan Kiri 4, Batas Bawah dan Kanan 3. (Tidak Sesuai : -5) Huruf Penulisan Times new roman 12, kecuali judul bab : 14 (Tidak sesuai : -5) Cover (Cover tidak sesuai nilai : -5)

Keterangan Cara Penilaian :

Keterangan Skala 100 90 80 70 60 50

Makalah :

1. Kata Pengantar

x Tidak Lengkap

x TEORI DASAR

1. STUDI KASUS

2. METODE

xxxx DAFTAR PUSTAKA

X DAFTAR ISI

xxx

X SOURCE CODE

xxx

xxx DIAGRAM ALIR

xx JAVA SWING (aplikasi) :

Diluar dari cara penilaian di atas, makalah ditolak.

Pelajarilah jagad raya ini. Jangan kecewa karena dunia tidak

mengenal anda, tetapi kecewalah karena anda tidak mengenal dunia (Kong Fu Tse – filusuf China)

INTERPOLASI

Pengertian Interpolasi

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva kecocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah (ditelusuri) melalui setiap titik itu. Disebutkan bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi kecocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom

interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi

(dengan ) polinom. Contoh data yang mempunyai ketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah diketahui atau data tabel yang terdapat pada acuan ilmiah (data percepatan gravitasi bumi). Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional (pecahan) atau deret Fourier.

Jenis Interpolasi : a. Linier b. Polinom Newton dan Lagrange

a. Interpolasi Linier

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x 0 ,y 0 ) dan (x 1 ,y 1 ).Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :

Dengan sedikit manipulasi aljabar (lih. Rinaldi Munir hal.194) diperoleh :

Dengan kurva polinom ini adalah berupa garis lurus. Contoh : Perkirakan jumlah telur yang dihasilkan seorang peternak ayam pada bulan ke-5 berdasarkan data

tabulasi berikut : Bulan

Jumlah Telur (Butir)

Penyelesaian : Dengan menggunakan persamaan diatas, diperoleh :

Jadi, diperoleh jumlah telur yang dihasilkan oleh ternak-ternak tersebut pada bulan ke-5 adalah 1629 butir.

b. Polinomial Lagrange

Tinjau kembali persamaan polinom linier pada a. :

Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk :

Ket :

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah :

Ket :

Contoh : Estimasi fungsi f(x) = cos x dengan polinom Interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2].

Gunakan empat titik, . Perkirakan nilai dengan x = 0,5 . (Gunakan 5 angka bena)

Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah :

Sebagai perbandingan nilai sejatinya adalah Note : Polinom Lagrange berlaku untuk semua titik baik yang berjarak sama ataupun tidak

berjarak sama. Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut :

- Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumya yang dapat digunakan.

- Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara

dan pada polinom Lagrange.

c. Polinomial Newton

Polinom Newton dibuat untuk mengatasi kelemahan ini. Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi. Polinom Newton ditulis dalam bentuk rekursif sebagai :

1. Rekurens :

2. Basis :

Atau dalam bentuk polinom lengkap : +

Berikut ini adalah polinom interpolasi selisih terbagi Newton dalam bentuk tabel selisih terbagi. i

ST-1

ST-2

ST-3

Contoh : Hitunglah f(9,2) dari nilai-nilai (x,y) yang diberikan pada tabel di bawahi dengan polinom

berderajat tiga. (7 angka bena dari f(x) = ln x)

Penyelesaian : Tabel selisih terbagi :

0 8 2,079442 0,117783 -0,006433 0,000411 1 9 2,197225 0,108134 -0,005199

Contoh cara menghitung nilai selisih-terbagi pada tabel adalah :

dan seterusnya. Polinom Newton-nya (dengan

sebagai titik data pertama) adalah :

2,079442 + 0,117783(x - 8) - 0,006433(x - 8)(x – 9) + 0,000411(x - 8)(x – 9)(x – 9,5)

Taksiran nilai fungsi pada x = 9,2 adalah

2,079442 + 0,141340 - 0,001544 + 0,000030 = 2,219208

Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya

Jangan ikuti kemana jalan menuju,

tetapi buatlah jalan sendiri dan

tinggalkan jejak (Anonim)

INTEGRASI NUMERIK

Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping turunan. Dalam kuliah kalkulus, anda telah diajarkan cara memperoleh solusi analitik (dan eksak)

dari integral tak-tentu maupun tentu. Integral tak-tentu diyatakan sebagai .

Terapan integral dalam Bidang Sains dan Rekayasa

Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi Gamma, dsb).

Contoh persoalan : 1. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung persamaan

kecepatan.Misalnya kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Jarak total d yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu

t diberikan oleh : 2. Dalam bidang aktuaria (tehnik perhitungan asuransi), integral digunakan untuk

menghitung besar premi tahunan asuransi jiwa dari seseorang berusia x tahun dengan jangka waktu atau periode asuransi selama t tahun, yang benefitnya dibayarkan sesaat

setelah nasabah meninggal, yaitu : Dalam perkuliahan ini hanya dibahas salah satu dasar dari metode Newton-Cotes, yaitu : Kaidah

trapesium.

Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = x 0 sampai x = x 1 berikut: y

Bila selang [a,b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan :

Dengan f r =f(x r ), r = 0,1,2, . . . , n. Menentukan jumlah pias adalah dengan n = (b-a)/h Contoh :

Hitunglah x e dx dengan menggunakan kaidah trapesium, gunakan jarak antar titik h = 0,2.

Perkirakan juga batas-batas galatnya ! Gunakan 5 angka bena. Penyelesaian : Jumlah selang : n = (3.4 – 1.8)/0,2 = 8

f(x r )

5 2.8 16.445 6 3.0 20.086 7 3.2 24.533 8 3.4 29.964

Nilai integrasinya,

h e dx

6 , 050 2 7 , 389 2 9 , 025  2 20 , 086 2 24 , 533 29 , 964

23 , 994 Nilai integrasi sejatinya adalah

3 , 4 1 , e 8 dx e e e 29 , 964 6 , 050 23 , 914

Galat hasil integrasinya adalah : 23,914 =23,944 = -0,080

Rasa ingin tahu

adalah ibu dari semua

ilmu pengetahuan (Anonim)

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi di x r+1 = x r + h, dengan h adalah ukuran langkah (step ) setiap iterasi. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada meode numerik nilai awal (initial value) berfungsi untuk memulai iterasi. Pada perkuliahan ini akan dibahas mengenai metode yang paling dasar,yaitu :

Metode Euler

Diberikan PDB orde satu, y’ = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x 0 )=y 0

Misalkan y r = y(x r ) adalah hampiran nilai y di x r yang dihitung dengan metode euler, yaitu : y(x r+1 ) = y(x r )+hf(x r ,y r ) Contoh : Diketahui PDB dy/dx = x+y dan y(0) = 1 Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h =

0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = e x – x -1. Penyelesaian :

a. Diketahui : a=x 0 =0 b = 0,10 h = 0,05

Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1 ) =

Jadi, y(0,10) = 1,1050 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,

0 , y 10 0 , 10 e 0 , 01 1 1 , 1103

Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1050 = 0,053. b. Diketahui

a=x 0 =0 b = 0,10 h = 0,02

Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1 )= y(x r )+0,02f(x r ,y r )

Jadi, y(0,10) = 1,1082 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,

0 , y 10 0 , 10 e 0 , 01 1 1 , 1103

Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1082 = 0,031. Dari contoh di atas dapat terlihat kita dapat mengurangi galat dengan memperbanyak langkah

(memperkecil h).

Metode Runge Kutta

Diberikan PDB orde satu, y’ = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x 0 )=y 0

Misalkan y r = y(x r ) adalah hampiran nilai y di x r yang dihitung dengan metode euler, yaitu : y(x r+1 ) = y(x r )+hf(x r ,y r ) Contoh : Diketahui PDB dy/dx = x+y dan y(0) = 1 Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h =

0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = e x – x -1. Penyelesaian :

c. Diketahui : a=x 0 =0 b = 0,10 h = 0,05

Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1 ) = y(x r )+0,05f(x r ,y r )

Jadi, y(0,10) = 1,1050 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,

0 , y 10 0 , 10 e 0 , 01 1 1 , 1103

Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1050 = 0,053. d. Diketahui Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1050 = 0,053. d. Diketahui

y(x r )+0,02f(x r ,y r )

0 0.00 1.0000 1 0.02 1.0200 2 0.04 1.0408 3 0.06 1.0624 4 0.08 1.0849 5 0.10 1.1082

Jadi, y(0,10) = 1,1082 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,

0 , y 10 0 , 10 e 0 , 01 1 1 , 1103

Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1082 = 0,031. Dari contoh di atas dapat terlihat kita dapat mengurangi galat dengan memperbanyak langkah

(memperkecil h).

HAVE FUN WITH FINAL TEST OF NUMERIC METHOD DAFTAR PUSTAKA

http://2.bp.blogspot.com/_qVaCsbwu7Ws/SweLw6OZ2uI/AAAAAAAAAPQ/F- veJyQzmcA/s1600/MN+02+%28Teori+Galat%29_01.gif

http://ibumei.wordpress.com/2009/11/24/metode-numerik-bab-1-galat/ http://is.its-sby.edu/subjects/numerical_methods/Irfan_Metode_Numerik.pdf Munir, Rinaldi. 2008. METODE NUMERIK. ITB. Bandung Slamet, Sumantri dan Mia Indrika. 1988. MONOGRAPH : METODA NUMERIK. PAU

Ilmu Komputer UI. Jakarta.