9
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1. Teori Graf
1. Pengertian Graf
Definisi 2.1.1 Goodaire dan Parmenter, 1998:329 Graf adalah himpunan pasangan terurut
� = �, � di mana �� himpunan tak kosong dan
�� adalah himpunan pasangan elemen yang
berbeda di ��. Elemen ��
disebut titik
vertex
dan elemen ��
disebut sisi
edge
. Jadi, jika � ∈ ��, maka
e
merupakan himpunan pasangan
� = �
�
, � , di mana �
�
≠ � , �
�
, � ∈ ��. Selanjutnya, �
�
dan � disebut titik ujung dari
e
, atau dengan kata lain � = �
�
, �
menghubungkan titik �
�
dan � . Selanjutnya sisi � = �
�
, � dinotasikan
dengan �
�,
di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi � = � , �
�
yang dinotasikan dengan �
, �
. Banyaknya unsur di
�� disebut
order
dari
G
dilambangkan dengan
�� dan banyaknya unsur di �� disebut ukuran
size
dari � dilambangkan dengan �� . Secara geometris graf dapat
digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi Chartrand dan Oellermann,
1993:3.
Contoh:
Gambar 2.1 Graf Pada Gambar 2.1 gambar a merupakan graf dengan
�� = 7 dan �� = 8, sedangkan gambar b merupakan graf dengan �� = 6
dan �� = 0.
Gambar 2.2 Bukan Graf Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1
yaitu � � = ∅.
2. Beberapa Istilah dalam Graf
Berikut diberikan definisi berdekatan
adjacent
yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap
complete graph
. a
b
Definisi 2.1.2 Munir, 2001:191 Misal terdapat dua titik
�
�
dan � pada graf
G,
dua titik tersebut dikatakan berdekatan
adjacent
bila terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi
� = �
�
, � ∈ �� di mana �
�
≠ � .
Berikut diberikan definisi bersisian
incident
yang digunakan untuk menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan
total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan � anting.
Definisi 2.1.3 Munir, 2001:191 Diberikan graf
G
dan �
�
, � ∈ � � , jika terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan �
�
dengan � , dinotasikan � = �
�
, � ∈ �� maka
dikatakan bahwa
e
bersisian
incident
dengan titik �
�
dan � .
Berikut diberikan definisi derajat
degree
sebuah titik yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.
Definisi 2.1.4 Chartrand dan Oellermann, 1993:6 Derajat
degree
sebuah titik �
�
pada graf
G
yang dituliskan dengan
deg
�
�
menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan �
�
, dengan kata lain banyak sisi yang memuat
�
�
sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi
isolated vertex
.
Berikut diberikan definisi sisi ganda
multiple edge
yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana. Definisi 2.1.5 Munir, 2001:181
Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi
ganda
multiple edge
. Berikut diberikan definisi sisi ganda
multiple edge
yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana. Definisi 2.1.6 Munir, 2001:181
Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang
loop
. Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6. Contoh :
Gambar 2.3 Graf �
1
�
1
�
2
�
3
�
4
�
7
�
5
�
6
�
1
�
9
�
3
�
5
�
2
�
6
�
8
�
4
�
7
Graf �
1
memuat himpunan titik � �
1
= {�
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5,
�
6
, �
7
} dan himpunan sisi
� �
1
= �
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5,
�
6
, �
7
, �
8
, �
9
. i
Pada graf �
1
, pasangan titik �
2
dan �
3
serta titik �
2
dan �
5
merupakan titik-titik yang
adjacent
karena terhubung langsung oleh sebuah sisi yaitu sisi
�
2
dan sisi �
8
, sedangkan titik �
2
dan �
4
bukan merupakan titik-titik yang
adjacent
karena tidak terdapat sisi yang menghubungkan
�
2
dan �
4
. ii
Pada graf �
1
, sisi �
1
incident
dengan titik �
1
dan �
2
karena �
1
menghubungkan �
1
dan �
2
, tetapi tidak terdapat sisi yang
incident
dengan titik �
1
dan �
3
karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.
iii Pada graf �
1
,
deg
�
3
= 4,
deg
�
5
= 4,
deg
�
1
= 2, �
7
disebut
isolated vertex
karena
deg
�
7
= 0. iv
Graf �
1
memuat
multiple edge
yaitu sisi �
6
dan �
7
karena dua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu
�
5
dan �
6
, serta memuat
loop
yaitu �
3
, �
3
, �
3
dimana sisi �
3
berawal dan berakhir di satu titik yaitu titik
�
3
.
3. Jenis-jenis Graf
Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya
titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, graf dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:182, yaitu:
a. Graf Sederhana
Simple Graph
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
Contoh:
Gambar 2.4 Graf Sederhana b.
Graf Tak Sederhana
Unsimple Graph
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua
macam, yaitu graf ganda
multigraph
dan graf semu
pseudograph
. Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu
adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.
Contoh :
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana Pada Gambar 2.5, a merupakan graf ganda karena memiliki sisi
ganda, sedangkan b merupakan graf semu karena selain memiliki sisi ganda juga memiliki gelang.
Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:183, yaitu :
a. Graf Berhingga
Finite Graph
Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga. Contoh:
Gambar 2.6 Graf Berhingga b.
Graf Tak Berhingga
Infinite Graph
Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga. a
b
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:183, yaitu : a.
Graf Tak Berarah
Undirected Graph
Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan
oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi �
�
, � dan � , �
�
adalah sisi yang sama.
Contoh:
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah b.
Graf Berarah
Directed GraphDiagraph
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah
�
�
, � dan � , �
�
menyatakan dua sisi yang berbeda
�
�
, � ≠ � , �
�
. Pada sisi �
�
, � titik �
�
dinamakan titik asal
initial vertex
dan titik � dinamakan titik terminal
terminal vertex
, sedangkan pada sisi � , �
�
titik � dinamakan
titik asal
initial vertex
dan titik �
�
dinamakan titik terminal
terminal vertex
. Contoh :
Gambar 2.9 Graf Berarah
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
� �
�
� �
�
�
� �
�
� �
�
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus Munir, 2001:205 antara lain:
a. Graf Lengkap
Complete Graph
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan
n
buah titik dilambangkan dengan
K
n
. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap yang terdiri dari
n
buah titik adalah �� − 12.
Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap
1
,
2
,
3
,
4
dan
5
dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5. b.
Graf Sikel
Cycle Graph
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan
n
titik dilambangkan dengan
�
�
.
Contoh:
Gambar 2.11 Graf Sikel Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel
�
3
, �
4
, �
5
dan �
6
dengan banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.
c. Graf Roda
Wheels Graph
Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik pada graf sikel
�
�
, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Contoh:
Gambar 2.12 Graf Roda d.
Graf Teratur
Regular Graph
Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah
r
, maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat
r
. Banyak sisi pada graf teratur dengan
n
titik adalah
1 2
�� sisi.
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan
� = 2 dan � = 3. e.
Graf Planar
Planar Graph
dan Graf Bidang
Plane Graph
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang
berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun, suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan
dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling
berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang.
Contoh:
Gambar 2.14 Graf Lengkap
4
merupakan Graf Planar
Gambar 2.15 Graf Lengkap
5
merupakan Graf Tak Planar
Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap
1
,
2
,
3
merupakan Graf Bidang f.
Graf Bipartit
Bipartite Graph
Suatu graf sederhana
G
disebut bipartit jika mempunyai himpunan titik
V
yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang tak beririsan
�
1
dan �
2
sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam graf menghubungkan suatu titik di
�
1
dengan titik di �
2
, atau tak ada sisi hubung di dalam
G
yang menghubungkan dua titik di �
1
maupun di
�
2
.
Contoh:
Gambar 2.17 Graf Bipartit Dari Gambar 2.17 kedua graf
adalah graf bipartit karena setiap sisinya menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.
2.2. Pelabelan Graf