Bilangan Bulat

2. Bilangan Bulat

Mula-mula orang hanya memerlukan himpunan bilangan asli untuk perhitungan sehari-hari, misalnya seorang peternak mencacah banyak hewan ternak yang dimilikinya. Pada suatu saat, sang peternak tersebut mendapat musibah karena

Modul PKB Guru Matematika SMA

semua hewan ternaknya mati terserang wabah penyakit. Misalkan semula peternak tersebut mempunyai 100 ekor ternak. Karena mati semua maka hewan ternaknya habis tidak tersisa. Dalam kasus peternak tersebut, operasi hitung yang terjadi adalah

. Untuk semesta himpunan bilangan asli , kita tidak dapat menemukan suatu bilangan yang memenuhi hasil operasi

. Oleh karena itu perlu dilakukan perluasan dengan menambah satu bilangan baru, yaitu yang

merupakan hasil operasi . Himpunan bilangan asli yang sudah diperluas dengan menambah bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah (whole numbers), dinotasikan dengan . Dengan demikian { }.

Himpunan bilangan cacah diperluas lagi dengan menambahkan lawan dari setiap bilangan asli. Sebagai contoh, lawan dari bilangan , yang dinotasikan dengan , adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan dengan

akan memberikan hasil . Jika lawan dari semua bilangan asli tersebut ditambahkan ke dalam himpunan bilangan cacah , maka akan diperoleh himpunan bilangan baru yang dinamakan

himpunan bilangan bulat (integers), dan dinotasikan dengan (berasal dari bahasa Jerman “Zahlen”). Dengan demikian { }.

Himpunan bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok, yaitu:

1) himpunan bilangan bulat positif: { }

2) himpunan bilangan nol: {}

3) himpunan bilangan bulat negatif: { }.

a. Pembagian bilangan bulat

Pembagian didefinisikan sebagai lawan dari operasi perkalian. Jika dan masing-masing adalah bilangan bulat, dengan , maka pembagian

, dinyatakan sebagai

, dan didefinisikan sebagai

Karena pembagian didefinisikan dalam bentuk perkalian, aturan-aturan pembagian bilangan bulat identik dengan aturan-aturan perkalian bilangan bulat. Hal yang perlu diperhatikan adalah pada pembagian

, syarat harus dipenuhi karena pembagian dengan tidak didefinisikan.

Kegiatan Pembelajaran 1

Perhatikan dua situasi berikut.

a) Pembagian bilangan bukan dengan .

Sebelum Anda melanjutkan membaca, coba Anda berikan penjelasan tentang apa

artinya dan apakah terdapat suatu bilangan yang menyebabkan menjadi bermakna?

Menurut definisi pembagian, bilangan seharusnya adalah bilangan yang menyebabkan

. Akan tetapi untuk setiap . Karena diketahui , maka situasi tersebut menjadi tidak mungkin. Dengan demikian tidak

ada atau tidak didefinisikan.

b) Pembagian dengan .

jelaskan makna dan apakah terdapat suatu bilangan yang menyebabkan

Berdasarkan kasus

menjadi bermakna?

Menurut definisi pembagian, jelas bahwa setiap nilai dapat memenuhi karena untuk setiap . Akan tetapi hal ini akan mengakibatkan terjadi

keabsurdan. Perhatikan contoh berikut:

Jika maka dan jika

maka .

Karena perkalian masing-masing dengan dan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu , maka dapat kita simpulkan bahwa . Hal ini jelas salah sehingga

dinyatakan sebagai tidak tentu (indeterminate). Himpunan tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Untuk membuktikan, pilih

4, 5  dan , dengan

b. Sifat tertutup bilangan bulat

a) tertutup terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk semua , maka ( ) .

Modul PKB Guru Matematika SMA

b) tertutup terhadap operasi perkalian, yaitu u ntuk semua , maka ( ) .

c. Sifat asosiatif bilangan bulat

a) asosiatif terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk semua berlaku

b) asosiatif terhadap operasi perkalian, yaitu untuk semua berlaku

d. Sifat komutatif bilangan bulat

a) asosiatif terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk berlaku

b) asosiatif terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk berlaku

e. Sifat distributif bilangan bulat

Untuk berlaku ( ) .

f. Elemen identitas

a) Terhadap operasi penjumlahan, yaitu terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga untuk setiap

berlaku .

b) Terhadap operasi perkalian, yaitu terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga untuk setiap

berlaku .

g. Invers penjumlahan

Untuk setiap terdapat dengan tunggal elemen ( ) sedemikian hingga ( ) ( ) , dengan merupakan identitas penjumlahan.

Kegiatan Pembelajaran 1

h. Aturan kanselasi bilangan bulat

a) Terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk semua , apabila

maka .

Bukti: Akan dibuktikan bahwa

maka .

b) Terhadap operasi perkalian, yaitu untuk , jika dan

maka

Coba Anda buktikan aturan kanselasi perkalian dengan kontraposisi dari implikasinya dan Anda bandingkan kedua cara bukti tersebut !