Transformasi Lorentz

2.7. Transformasi Lorentz

Untuk memudahkan pemahaman pengertian Transformasi Lorentz, kita tulis kembali persamaan-persamaan yang mendasari pembahasan relativitas Galileo, yaitu persamaan (2.1) sehingga (2.1a).

v x ’=v x – v v y ’=v y v z ’=v z

(2.1) x’ = x – vt

y’ = y z’ = z t = t’

(2.1a) Jika benda yang diamati oleh pengamat S dan S’, kita ganti

dengan kerdipan cahaya, maka berdasarkan persamaan (2.1) dapat ditulis,

c x ’=c x – v c x ’=c x – v

persamaan (2.9) tidak dapat dibenarkan, karena gerakkan cahaya tidak tergantung pada keadaan pengamat. Sedangkan persamaan (2.1a) tidak benar jika dibandingkan dengan persamaan (2.8e), karena menurut Einstein waktu adalah besaran relatif, dimana kedua pengamat akan mencatat waktu yang berbeda. Untuk mengatasi masalah tersebut dikemukakan transformasi baru yang dikenal dengan “Transformasi Lorentz”.

Lorentz memandang bahwa transformasi Galileo tidak cukup mampu menjelaskan apa yang terjadi pada dunia elektromagnetis dan Lorentz mengusulkan revisinya. Ia berpegang pada asumsi bahwa tiap pengamat memiliki "waktu tersendiri". Didasarkan pada gambar 2.6 di atas , waktu bagi pengamat O adalah t sementara waktu bagi pengamat O' adalah t', dimana t tidak sama dengan t'. Oleh karena itu Lorentsz menulis kembali persamaan transformasi Galileo (2.1a) dengan memasukkan faktor k, yaitu menjadi :

x’ = k (x - vt) (2.10) dengan k sebuah konstanta yang tidak dipengaruhi oleh waktu.

Persamaan tersebut dikenal dengan "transformasi Lorentz". Persamaan (2.10) yang ditulis oleh Lorentz hanya didasarkan pada instin (tekaan ilmiah) untuk memasukkan faktor yang tidak terpengaruh pada waktu. Pemilihan persamaan secara tekaan tersebut didasarkan pada beberapa pertimbangan ilmiah: (i). Persamaan (2.10) berbentuk linear antara x dan x’, sehingga suatu

kejadian dalam kerangkan S bersesuaian dengan kejadian dalam kerangka S’.

(ii). Persamaan (2.10) dapat direduksi menjadi persamaan klasik (transformasi Galileo) dengan memilih harga k bersesuaian

Agar persamaan (2.10) bersesuaian dengan persamaan yang diamati dalam koordinat S, maka kita cukup mengganti v dengan –v, yaitu:

x = k (x’ + vt’) (2.10a) Faktor k dalam persamaan (2.10) dan (2.10a) harus memiliki

harga yang sama. Untuk kerangkan acuan S dan S’ yang membedakan antara keduanya adalah tanda dari kecepatan v (v dan –v). Sementara untuk koordinat yang tegak lurus terhadap arah rambat cahaya tetap digunakan prinsip Transformasi Galielo, yaitu:

y’ = y z’ = z

(2.10b) Sementara untuk dimensi waktu kita anggap berbeda dan

termasuk dalam parameter relativitas, sehingga antara nilai t dan t’ memiliki nilai yang berbeda. Untuk mencari perbedaan nilai t yang diukur oleh pengamat dalam kerangka S dan nilai t’ yang diukur oleh pengamat dalam kerangkan S’ dapat dilakukan melalui kombinasi persamaan (2.10) dan (2.10a), yaitu:

x = k[k(x – vt) + vt’] x=k 2 (x – vt) + kvt’

sehingga didapat t’ = 2 kt + x(1-k )/kv

(2.10c) Buktikan Persamaan (2.10c) !!!

Persamaan (2.10), (3,10a) dan (2.10c) merupakan transformasi koordinat yang memenuhi prinsip relativitas khusus. Selanjutnya kita akan tentukan besaran k. Untuk mendapatkan nilai k, kita pelajari kembali prinsip relativitas khusus secara mendetail, yaitu dengan mengacu pada gambar 2.7

Gambar 2.7 Diagram Potulat Relativitas Khusus (Sumber: Halim, 2008)

Kondisi awal kedua kerangka berada pada titik yang sama atau t = t’ = 0. Setelah selang waktu tertentu masing-masing pengamat berada pada kerangka S dan S’ dengan mengukur laju cahaya yang sama.

x = ct (menurut pengamat pada kerangka acuan S) x’ = ct’

(menurut pengamat pada kerangka acuan S’). (2.10d) Setelah persamaan (2.10c) dikalikan dengan c dan kemudian

disamakan dengan persamaan (2.10) dan juga persamaan (2.10d), maka kita dapatkan:

atau kalau diselesaikan didapat: 1+/

(2.10e) Buktikan persamaan (2.10e) !!!

Rumusan persamaan (2.10e) akan sama dengan x = ct seperti yang telah dirumuskan dalam persamaan (2.10d), jika parameter dalam kurung petak berharga sama dengan 1 atau,

1−1−1 atau didapat

Buktikan Persamaan (2.11) !!! Persamaan (2.11) merupakan bentuk rumusan kontanta

Transformasi Lorentz k, dimana pola perubahan nilainya terhadap kecepatan benda ditunjukkan dalam gambar 2.7a. Nilai k terkecil adalah 1 dan terus bertambah sesuai dengan penambahan kecepatan Transformasi Lorentz k, dimana pola perubahan nilainya terhadap kecepatan benda ditunjukkan dalam gambar 2.7a. Nilai k terkecil adalah 1 dan terus bertambah sesuai dengan penambahan kecepatan

Gambar 2.7a Karakteristik nilai k terhadap kecepatan benda

(Sumber: Halim, 2008)

Bila persamaan (2.11) disubsitusikan ke persamaan (2.10a) dan (2.10c), maka didapat:

(2.11a) y’ = y

z’ = z −

Buktikan persamaan (2.11b) !!! Persamaan (2.11a) dan (2.11b) merupakan bentuk “Transformasi

Lorentz” yang dirumuskan pertama sekali oleh Fisikawan Belanda

H.A. Lorentz. Sesuatu yang menarik dari transfromasi Lorentz adalah persamaan tersebut dapat direduksi kembali menjadi Transformasi Galileo jika kelajuan relatif antara pengamat sangat kecil dibandingkan dengan kelajuan cahaya (v << c). Nilai parameter untuk pengamat dalam kerangka acuan S dapat diperoleh melalui “Transformasi Lorentz Balik”, yaitu dengan menggantikan v degan – v, sehingga bila syarat ini dimasukkan dalam persamaan(2.11a) dan (2.11b) maka didapat:

Buktikan persamaan (2.11d) !!!

Persamaan (2.11b) dan (2.11d) merupakan selisih waktu kerdipan cahaya dari sumber A (gambar 2.7) yang diamati oleh pengamat bergerak dengan kecepatan relatif v terhadap pengamat yang lain. Sebagai tugas rumah anda diminta untuk menuliskan semua Persamaan (2.11b) dan (2.11d) merupakan selisih waktu kerdipan cahaya dari sumber A (gambar 2.7) yang diamati oleh pengamat bergerak dengan kecepatan relatif v terhadap pengamat yang lain. Sebagai tugas rumah anda diminta untuk menuliskan semua