Y (i)jk =μ+κ k +ρ j +τ (i) +ε (i)jk

Asumsi yang dipakai dan arti dari lambang sama seperti sebelumnya, hanya ada tambahan satu suku, κ k , yang berarti pengaruh kolom ke-k (k = 1,2, ..., t; t = banyaknya

perlakuan). Melalui metode kuadrat terkecil (least squares), penduga tak bias bagi suku-suku pada model tersebut, yaitu

μˆ = Y .. , τ = ˆ ( i ) Y ( i ) .. − Y ... ,

ρ ˆ j = Y . j . − Y ... , κˆ = k Y .. k − Y ... , dan

εˆ ijk = Y ijk − μˆ − τˆ i − ρˆ j - κˆ . k

Untuk teladan, berikut ini adalah data hasil penelitian dengan rancangan segiempat latin menguji empat takaran pupuk dilambangkan dengan huruf A (= 50 kg per ha), B (= 100 kg per ha), C (= 150 kg per ha), dan D (= 200 kg per ha).

Masukkanlah data dan nilai duga bagi setiap suku dalam model ke dalam tabel berikut di spreadsheet MSExcel atau OpenOfficeCalc, seperti sebelumnya.

Y ijk μˆ τˆ i ρˆ j κˆ k εˆ ij

JK Data FK

JK Perl JK B JK K JK S

Derajat bebas (db) data adalah sebanyak data (tr), db FK adalah 1, db Total adalah tr – 1, db Perlakuan adalah banyaknya perlakuan (t) dikurang satu atau (t – 1), db Blok- Baris adalah banyaknya blok atau ulangan (r = t) dikurang satu atau (t – 1), db Blok- Kolom adalah banyaknya blok atau ulangan (r = t) dikurang satu atau (t – 1), dan derajat bebas sesatan sama dengan (t – 1) (t – 2).

Analisis varians untuk LS Design memiliki empat sumber keragaman: Blok-Baris, Blok-Kolom, Grup Perlakuan, dan Sesatan, sehingga tabel analisis variansnya (ANOVA) adalah sbb. Kemudian buatlah tabel berikut dan lengkapi isinya!

Keragaman Blok-Baris

Grup perlakuan

Analisis varian untuk LSDesign secara lebih cepat dapat digunakan perangkat lunak R. Siapkan kolom Perlakuan, Blok-Baris, dan Blok-Kolom sebagai factor (memakai pilihan as.factor() atau factor() , lihat sebelumnya).

Model Matematika dan Syntax R Berbagai Rancangan Lingkungan

Syntax R Lingkungan Perlakuan

Rancangan Rancangan

Model

Matematis

CRD � Hasil ~Perlakuan �� = �+� � + � �� Hasil~Blok +

RCBD Satu faktor � �� = �+� � + � � + � �� Perlakuan Hasil~Kolom + Baris

LS � �� = �+� � + � � + � � + � �� + Perlakuan

Berikut Skema Rancangan Lingkungan

Gradien lingkungan

CRD

kecil

Rancangan Perlakuan ANOVA Klasik (Balanced dan complete)

RCBD (satu arah)

Terdapat gradien lingkungan yang jelas

LS (dua arah)

4. Data hilang (Missing data/unequal sample size/unbalanced) Data hilang merupakan hal yang dapat atau bahkan sering terjadi dalam suatu percobaan. Percobaan yang berkaitan dengan organisme/makhluk hidup sangat 4. Data hilang (Missing data/unequal sample size/unbalanced) Data hilang merupakan hal yang dapat atau bahkan sering terjadi dalam suatu percobaan. Percobaan yang berkaitan dengan organisme/makhluk hidup sangat

Data hilang berbeda dengan rancangan tidak lengkap. Data hilang artinya suatu percobaan dirancang dengan rancangan yang lengkap (complete, balanced, dan ortogonal), tetapi tidak seluruh perlakuan ataupun kombinasi perlakuan bisa didapatkan datanya sehingga tidak diketahui nilainya. Sedangkan, rancangan tidak lengkap terjadi karena keterbatasan bahan ataupun tempat. Contoh rancangan tidak lengkap seperti, blok tidak lengkap (incomplete block design), lattice design, alpha design, dsb.

Untuk rancangan CRD satu faktor, data hilang tidak mempengaruhi nilai rerata per perlakuan maupun penghitungan jumlah kuadrat karena hanya ada satu sumber ragam yaitu perlakuan. Akan tetapi, data hilang akan mengakibatkan nilai residual menjadi lebih besar. Lebih lanjut, data hilang bisa mengakibatkan homoskedastisitas tidak terpenuhi karena varians antar perlakuan menjadi tidak homogen akibat data hilang.

Ketidakortoganalan mengakibatkan estimate/nilai rerata dan penghitungan jumlah kuadrat (sum of squares/SS) menjadi berbeda ketika rancangan sudah memiliki lebih dari satu sumber ragam, seperti, CRD dua faktor, RCBD (satu faktor dan faktorial), dan split-plot. Ketidakortogonalan juga terjadi pada rancangan percobaan tidak lengkap seperti incomplete block, lattice design, alpha design, dan rancangan tidak lengkap lainnya. Dengan demikian, diperlukan metode penghitungan rerata yang lebih baik, yaitu dengan rerata kuadarat terkecil (Least Squars Mean/LSMEANS) dan untuk jumlah kuadrat/SS juga terdapat berbagai pilihan.

Dalam praktikum ini, jumlah kuadrat/SS yang sering dipakai adalah SS type I atau sequential SS. Penghitungan SS ini adalah berurutan. Sebagai contoh, ketika dalam model dituliskan hasil~blok+perlakuan , maka SS blok akan dihitung terlebih dahulu (SS blok) dan SS perlakuan dihitung setelah efek blok dihitung (SS perlakuan | Dalam praktikum ini, jumlah kuadrat/SS yang sering dipakai adalah SS type I atau sequential SS. Penghitungan SS ini adalah berurutan. Sebagai contoh, ketika dalam model dituliskan hasil~blok+perlakuan , maka SS blok akan dihitung terlebih dahulu (SS blok) dan SS perlakuan dihitung setelah efek blok dihitung (SS perlakuan |

Namun, hal tersebut tidak berlaku ketika data hilang terjadi pada rancangan CRD faktorial, RCBD (satu faktor dan faktorial), dan rancangan lainnya. Sebagai contoh, pada RCBD, model hasil~blok+perlakuan (A) , akan memberikan hasil ANOVA yang berbeda dengan hasil~perlakuan+blok (B) , ketika SS yang digunakan ada SS type I. Pada model A, SS perlakuan akan dihitung setelah efek blok (perlakuan adjusted dan blok unadjusted) sehingga SS yang benar hanyalah SS perlakuan. Untuk model B, SS yang benar hanyalah SS blok karena SS blok dihitung setelah efek perlakuan (SS blok adjusted, SS perlakuan unadjusted). Dengan demikian, penggunaan SS type I tidak dianjurkan karena urutan faktor pada model berpengaruh dan menyebabkan hasil yang kurang tepat seandainya salah memasukkan model.

Tipe SS yang sesuai untuk rancangan yang unbalanced dan tidak orthogonal adalah SS type II. SS type II, akan memberikan hasil yang benar walaupun urutan faktor dalam model dibolak-balik. SS pada model A maupun model B di atas akan menghasilkan SS yang sama (adjusted untuk kedua faktor) karena penghitungan SS type II sebagai berikut.

Jika model A dimasukkan, maka SS type II akan menghitung SS blok setelah efek perlakuan (SS blok | perlakuan) dan SS perlakuan setelah efek blok (SS perlakuan | blok). Begitu juga untuk model B sehingga urutan faktor menjadi tidak persoalan. Oleh karena itu, ketika data unbalanced dan tidak ortogonal, gunakan SS type II.

Satu lagi jenis SS adalah SS type III. SS type III akan berguna ketika dalam model terdapat interaksi. SS type III tidak akan dibahas lebih lanjut di sini. Yang perlu ditekankan adalah ketka data balanced, maka SS type I, type II, maupun type III tidak Satu lagi jenis SS adalah SS type III. SS type III akan berguna ketika dalam model terdapat interaksi. SS type III tidak akan dibahas lebih lanjut di sini. Yang perlu ditekankan adalah ketka data balanced, maka SS type I, type II, maupun type III tidak

Tipe SS Model

Type I Y~A+B

Hanya digunakan jika dan (sequential)

SS A

hanya jika data lengkap. Y~B+A

Ketika digunakan pada data

tak lengkap, SS untuk faktor Y~A+B+A:B SS A

yang masuk pertama akan

SS B

SS B | A

unadjusted dan hanya SS untuk faktor yang kedua

SS AB | SS A | SS B yang adjusted. Type II

SS AB

Y~B+A

SS B

SS B | A

Gunakan ketika data tidak

lengkap, terutama untuk Y~A+B

(hierarchical) SS A

model yang lebih dari satu

faktor (RCBD satu faktor, Y~A+B+A:B SS A

lattice satu faktor, blok tidak

SS B

SS B | A

lengkap satu faktor, dll.)

SS AB

SS AB | A | B

Type III Y~A+B+A:B SSA

SS A | B | A:B

Gunakan ketika data tidak

(marginal) SSB

SS B | B | A:B

lengkap, terutama untuk model faktorial dengan

interaksi Untuk CRD satu faktor, SS manapun tidak memiliki pengaruh walaupun rancangan unbalanced

SSAB

SS AB | A | B

Skema Rancangan dan SS yang Sesuai

SS Type I, II, III

Rancangan

tidak berbeda

Tidak ada

lengkap, data

pengaruh untuk

lengkap

tipe SS, semua dibuang ke

CRD satu

residual Rancangan dan

faktor

Y (i)jk =μ+κ k +ρ j +τ (i) +ε (i)jk