Distribusi Markov-Binomial Negatif
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Markov-binomial negatif merupakan distribusi yang diperoleh melalui
pengembangan distribusi Markov-binomial. Sedangkan distribusi Markov-binomial
merupakan distribusi yang diperoleh melalui penggabungan kejadian-kejadian binomial dan membentuk rantai Markov (Omey et al., 2008). Distribusi binomial erat
kaitannya dengan distribusi Bernoulli karena distribusi binomial diperoleh dari penjumlahan percobaan yang berdistribusi Bernoulli. Percobaan Bernoulli merupakan
percobaan yang terdiri dari barisan variabel {0,1}, dimana 1 berarti muncul ”sukses”
dengan peluang p dan 0 berarti muncul ”gagal” dengan peluang q = 1 − p (Omey et
al., 2008).
Beberapa artikel membahas tentang distribusi Markov-Binomial serta pendekatannya melalui beberapa distribusi. Omey et al. (2008) melakukan perhitungan waktu tunggu untuk percobaan-percobaan Bernoulli yang membentuk rantai
Markov. Kemudian penelitiannya dilanjutkan pada tahun yang sama dengan menjumlahkan percobaan binomial yang berupa barisan variabel {0,1} dan mengandaikan
bahwa barisan tersebut membentuk rantai Markov. Lain halnya dengan penelitian
yang dilakukan Omey dan van Gulck (2006) yang mengasumsikan beberapa ketergantungan dalam barisan percobaan Bernoulli dan memberikan sebuah parameter
tambahan sehingga model dapat digunakan lebih realistis.
Ghitany et al. (2002) menginvestigasi beberapa sifat penting dari distribusi
hipergeometrik binomial negatif diperumum. Distribusi baru tersebut diperoleh dengan cara penggabungan distribusi. Distribusi binomial negatif diperoleh dengan
cara menggabungkan distribusi Poisson dan distribusi gamma.
Barbour dan Lindvall (2006) menggunakan distribusi Poisson yang ditranslasi
untuk mendekati distribusi suatu penjumlahan peubah acak bernilai integer yang
distribusinya bergantung pada state rantai Markov. Dalam kondisi aperiodik, Barbour dan Lindvall (2006) mengembangkan batas error yang berkenaan dengan jarak
total varians kemudian membandingkannya dengan perolehan melalui pendekatan
distribusi normal yang berkenaan dengan jarak Kolmogorov terlemah.
6
Universitas Sumatera Utara
7
Cekanavicius dan Roos (2007) mendemonstrasikan bahwa distribusi binomial
merupakan pendekatan yang sesuai untuk distribusi Markov-binomial dengan sebuah
√
pendekatan error, yang dihitung dalam norm variasi total, yaitu 1/ n. Kemudian,
Xia dan Zhang (2009) melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh Barbour dan Lindvall (2006) dan Cekanavicius dan Roos (2007), yakni mencari distribusi pendekatan
yang paling sesuai dengan distribusi Markov-binomial dan mengembangkan batas
error sebagai fungsi eksplisit dari parameter-parameter distribusi Markov-binomial.
Inoue dan Aki (2007) melakukan penggabungan distribusi dari banyaknya sukses yang muncul dalam barisan percobaan Markov yang dependen dan terdiri dari
banyak state.
Economou dan Kapodistria (2009) melakukan ilustrasi kegunaan
framework barisan q-hipergeometrik dalam perhitungan sistem transisi binomial
yang muncul dari proses sinkronisasi serta mempelajari karakteristik sinkronisasi
yang juga bersesuaian dengan rantai Markov spasial yang tidak homogen.
Pada tahun 2010, Yang dan Miao menggunakan distribusi Markov-binomial
untuk mengestimasi simpangan (deviasi) sedang dan simpangan (deviasi) luas untuk
banyaknya sukses Sn dan banyaknya kejadian Yr hingga muncul sukses ke-r.
Penelitian ini berhubungan dengan distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial negatif. Suatu proses binomial negatif didasarkan pada banyaknya tak
terhingga percobaan yang dilakukan sepanjang waktu, dengan hanya dua kejadian
diskrit sebagai outcome yang mungkin muncul untuk sembarang percobaan yakni
sukses dan gagal dengan peluang muncul sebuah sukses diasumsikan tetap sepanjang waktu. Proses binomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari
banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses (Taylor dan Karlin, 1994). Kemudian, peneliti menggabungkan
antara barisan {0,1} percobaan yang berdistribusi binomial negatif dan memben-
tuk rantai Markov untuk mendefinisikan suatu distribusi penggabungan yang disebut distribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, penelitian ini juga menentukan
karakteristik dari distribusi Markov-binomial negatif tersebut.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Markov-binomial negatif merupakan distribusi yang diperoleh melalui
pengembangan distribusi Markov-binomial. Sedangkan distribusi Markov-binomial
merupakan distribusi yang diperoleh melalui penggabungan kejadian-kejadian binomial dan membentuk rantai Markov (Omey et al., 2008). Distribusi binomial erat
kaitannya dengan distribusi Bernoulli karena distribusi binomial diperoleh dari penjumlahan percobaan yang berdistribusi Bernoulli. Percobaan Bernoulli merupakan
percobaan yang terdiri dari barisan variabel {0,1}, dimana 1 berarti muncul ”sukses”
dengan peluang p dan 0 berarti muncul ”gagal” dengan peluang q = 1 − p (Omey et
al., 2008).
Beberapa artikel membahas tentang distribusi Markov-Binomial serta pendekatannya melalui beberapa distribusi. Omey et al. (2008) melakukan perhitungan waktu tunggu untuk percobaan-percobaan Bernoulli yang membentuk rantai
Markov. Kemudian penelitiannya dilanjutkan pada tahun yang sama dengan menjumlahkan percobaan binomial yang berupa barisan variabel {0,1} dan mengandaikan
bahwa barisan tersebut membentuk rantai Markov. Lain halnya dengan penelitian
yang dilakukan Omey dan van Gulck (2006) yang mengasumsikan beberapa ketergantungan dalam barisan percobaan Bernoulli dan memberikan sebuah parameter
tambahan sehingga model dapat digunakan lebih realistis.
Ghitany et al. (2002) menginvestigasi beberapa sifat penting dari distribusi
hipergeometrik binomial negatif diperumum. Distribusi baru tersebut diperoleh dengan cara penggabungan distribusi. Distribusi binomial negatif diperoleh dengan
cara menggabungkan distribusi Poisson dan distribusi gamma.
Barbour dan Lindvall (2006) menggunakan distribusi Poisson yang ditranslasi
untuk mendekati distribusi suatu penjumlahan peubah acak bernilai integer yang
distribusinya bergantung pada state rantai Markov. Dalam kondisi aperiodik, Barbour dan Lindvall (2006) mengembangkan batas error yang berkenaan dengan jarak
total varians kemudian membandingkannya dengan perolehan melalui pendekatan
distribusi normal yang berkenaan dengan jarak Kolmogorov terlemah.
6
Universitas Sumatera Utara
7
Cekanavicius dan Roos (2007) mendemonstrasikan bahwa distribusi binomial
merupakan pendekatan yang sesuai untuk distribusi Markov-binomial dengan sebuah
√
pendekatan error, yang dihitung dalam norm variasi total, yaitu 1/ n. Kemudian,
Xia dan Zhang (2009) melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh Barbour dan Lindvall (2006) dan Cekanavicius dan Roos (2007), yakni mencari distribusi pendekatan
yang paling sesuai dengan distribusi Markov-binomial dan mengembangkan batas
error sebagai fungsi eksplisit dari parameter-parameter distribusi Markov-binomial.
Inoue dan Aki (2007) melakukan penggabungan distribusi dari banyaknya sukses yang muncul dalam barisan percobaan Markov yang dependen dan terdiri dari
banyak state.
Economou dan Kapodistria (2009) melakukan ilustrasi kegunaan
framework barisan q-hipergeometrik dalam perhitungan sistem transisi binomial
yang muncul dari proses sinkronisasi serta mempelajari karakteristik sinkronisasi
yang juga bersesuaian dengan rantai Markov spasial yang tidak homogen.
Pada tahun 2010, Yang dan Miao menggunakan distribusi Markov-binomial
untuk mengestimasi simpangan (deviasi) sedang dan simpangan (deviasi) luas untuk
banyaknya sukses Sn dan banyaknya kejadian Yr hingga muncul sukses ke-r.
Penelitian ini berhubungan dengan distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial negatif. Suatu proses binomial negatif didasarkan pada banyaknya tak
terhingga percobaan yang dilakukan sepanjang waktu, dengan hanya dua kejadian
diskrit sebagai outcome yang mungkin muncul untuk sembarang percobaan yakni
sukses dan gagal dengan peluang muncul sebuah sukses diasumsikan tetap sepanjang waktu. Proses binomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari
banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses (Taylor dan Karlin, 1994). Kemudian, peneliti menggabungkan
antara barisan {0,1} percobaan yang berdistribusi binomial negatif dan memben-
tuk rantai Markov untuk mendefinisikan suatu distribusi penggabungan yang disebut distribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, penelitian ini juga menentukan
karakteristik dari distribusi Markov-binomial negatif tersebut.
Universitas Sumatera Utara