Distribusi Markov-Binomial Negatif
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome
(kemunculan) yang mungkin yakni ”sukses” dan ”gagal” yang masing-masing dinotasikan dengan nilai n = 1 dan n = 0. Apabila nilai n = 1, berarti muncul sukses. memiliki peluang p sedangkan n = 0 berarti muncul gagal memiliki peluang
q = 1 − p, (Evans, et al., 2000). Saat ini, banyak aplikasi percobaan Bernoulli dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya proses pencocokan barisan
DNA (Clay, 2001), pemeriksaan kualitas produk dalam quality control (Ross, et al.,
2012), banyaknya produk berkualitas baik dalam stok pasar, dan pengujian keacakan
suatu sampel (Omey, et al., 2008). Apabila percobaan Bernoulli dilakukan berkalikali kemudian masing-masing hasilnya dijumlahkan maka percobaan tersebut akan
berdistribusi binomial.
Dalam teori peluang dan statistika, distribusi binomial merupakan distribusi
peluang diskrit yang menyatakan jumlah sukses dalam barisan n percobaan (sukses/gagal) yang independen. Andaikan bahwa setiap Xi bernilai {0,1} dan untuk
Pn
n ≥ 1, ambil Sn = i=1 Xi sebagai jumlah sukses dalam barisan (X1 , X2 , . . . , Xn ).
Jika Xi terdistribusi secara independen dan identik dengan P(Xi = 1) = p dan P(Xi
= 0) = q = 1− p, maka Sn tersebut diketahui berdistribusi binomial Sn ∼ BIN(n, p)
(Omey, et al., 2008). Namun, apabila suatu percobaan dilakukan berkali-kali sampai muncul sukses atau gagal, maka tidak lagi dikatakan berdistribusi binomial
melainkan berdistribusi geometri. Jumlah n distribusi geometri akan menghasilkan
suatu percobaan berdistribusi binomial negatif.
Berbeda dengan distribusi binomial, Markov chain (rantai Markov) merupakan
model yang digunakan untuk menggambarkan proses-proses stokastik. Suatu proses
stokastik dikatakan termasuk Markov chain apabila memenuhi Markovian property
(sifat Markov) yang menyatakan bahwa peluang bersyarat suatu kejadian pada (t+1)
(dengan dietahui kejadian pada (t − 1) dan keadaan sekarang,(t)), tidak bergantung
pada kejadian (t − 1) melainkan hanya bergantung pada kejadian (t).
1
Universitas Sumatera Utara
2
Kini, banyak distribusi peluang yang didefinisikan melalui pencampuran atau
penggabungan dua distribusi peluang atau lebih. Salah satu untuk memperoleh suatu distribusi diskrit baru adalah mendefinisikan perhitungan distribusi-distribusi
yang berhubungan dengan rantai Markov. Omey, et al. (2008) melakukan penggabungan distribusi binomial dan rantai Markov yang disebut dengan distribusi
Markov-binomial.
Distribusi Markov-binomial adalah suatu distribusi peluang diskrit dari kejadian sukses atau gagal yang membentuk suatu rantai Markov. Ilustrasi yang dapat menggambarkan distribusi ini yakni, dalam quality control diputuskan untuk
memeriksa semua unit yang diproduksi. Alternatif yang muncul dari persoalan tersebut yaitu hanya memeriksa satu unit dan kemudian menerima atau menolak semua
unit yang diproduksi. Namun, distribusi ini kurang cocok digunakan dalam situasi
kegiatan yang memperhatikan muncul sukses atau gagal ke-k setelah melakukan r
kali percobaan yang sering dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif
yang juga membentuk suatu rantai Markov. Oleh karena itu, penelitian ini diajukan
untuk mendefinisikan perhitu-ngan distribusi binomial negatif yang berhubungan
dengan rantai Markov sehingga terbentuk suatu distribusi diskrit baru yang disebut
distribusi Markov-binomial negatif.
Pada penelitian tentang Markov-binomial sebelumnya, Wang (1981) mengadakan penelitian tentang limit distribusi Markov-binomial. Cekanavicius dan Roos
(2007) menggunakan distribusi binomial untuk pendekatan distribusi Markov binomial begitu juga dengan Xia dan Zhang (2009) yang menganalisis pendekatanpendekatan pada distribusi Markov-binomial. Namun, penelitian yang paling mendasari penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008).
Mereka melakukan penelitian tentang hal-hal yang berkaitan dengan distribusi binomial dan membentuk rantai Markov yakni melakukan analisis pada Xi , i ≥ 1
yang dinyatakan sebagai barisan {0,1} dan membentuk suatu rantai Markov serta
mempelajari jumlah sukses kejadian binomial Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . Dengan
mempelajari hal-hal dasar dalam penelitian Omey et al. (2008), peneliti mencoba
memodelkan fungsi massa peluang, fungsi ekspektasi dan fungsi varians suatu kejadian yang mengamati sukses ke-s muncul pada percobaan ke-n dan membentuk
rantai Markov dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kejadian terdistribusi secara identik dan independen tersebut yang dinotasikan Nb(s). Pada bagian akhir
Universitas Sumatera Utara
3
penelitian ini, akan ditunjukkan aplikasi distribusi Markov-binomial negatif dalam
kalibrasi alat sistem quality control. Namun, pada hakikatnya aplikasi ini tidak hanya
diharapkan dapat diterapkan dalam sistem quality control, tetapi dapat diterapkan
dalam penyebaran penyakit bidang ilmu epidemik, pencocokan DNA, stok pasar,
dan percobaan Bernoulli lainnya.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diungkapkan pada bagian latar belakang, distribusi
Markov-binomial ialah distribusi diskrit yang diperoleh melalui penggabungan antara distribusi binomial dan rantai Markov. Distribusi ini hanya dapat digunakan
untuk persoalan yang memperhitungkan percobaan muncul sukses atau gagal tanpa memperhatikan apakah sukses atau gagal ke-s muncul pada percobaan ke-n
yang dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif. Persoalan muncul,
bagaimanakah model suatu distribusi diskrit dari percobaan-percobaan yang berdistribusi binomial negatif dengan mengaitkan bahwa setiap percobaan membentuk
rantai Markov dan bagaimana pula model diagram kontrol sebagai terapan dalam
quality control.
1.3 Tujuan Penelitian
Mengembangkan model distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial
negatif menjadi suatu distribusi Markov-binomial negatif serta memodelkan aplikasinya dalam sistem quality control.
1.4 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur distribusi peluang diskrit dalam statistika yang dapat
diaplikasikan dalam bidang riset operasi.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai
berikut:
1. Menguraikan fungsi distribusi peluang geometri menjadi distribusi peluang binomial negatif.
2. Mengidentifikasi kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk rantai Markov.
3. Menentukan asumsi awal dan notasi terkait.
4. Mempartisi kejadian pada waktu t dan t + 1 ke dalam 2 kemungkinan, Apabila
pada waktu t + 1 muncul 1 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1.
Sebaliknya, apabila pada waktu t + 1 muncul 0 maka kejadian pada waktu t
mungkin 0 atau 1 juga.
5. Menentukan fungsi massa peluang (fmp), fungsi rata-rata (ekspektasi), dan
fungsi varians pada 2 kondisi tersebut.
6. Memodelkan diagram kontrol menggunakan fungsi varians sebagai terapan
dalam sistem quality control.
Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah dilakukan
Omey, et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar sebagai berikut.
Definisi Sn
Dengan menggunakan teknik dalam distribusi binomial dan rantai Markov, akan didefinisikan barisan kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara
5
Modifikasi Distribusi Markov-Binomial
Setelah Sn telah didefinisikan pada proses di atas, langkah selanjutnya adalah modifikasi distribusi Markov-binomial berikut.
Distribusi awal P (ξ0 = 1) = p0 , P (ξ0 = 0) = 1 − p0 , p0 ∈ [0, 1] dan peluang transisi
P (ξi = 1 | ξi−1 = 1) = p, P (ξi = 0 | ξi−1 = 1) = q
P (ξi = 1 | ξi−1 = 0) = ¯q, P (ξi = 0 | ξi−1 = 0) = p
¯
p + q = ¯q +¯
p=1, p, q ∈ (0, 1), i ∈ N.
Distribusi Geometri
p(k) = P {Z(r) = k} = q k .p = (1 − p)k .p
Distribusi binomial negatif
pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . , n.
p(k)=P {Y (r) = k}= (k+r−1)!
(r−1)!k!
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome
(kemunculan) yang mungkin yakni ”sukses” dan ”gagal” yang masing-masing dinotasikan dengan nilai n = 1 dan n = 0. Apabila nilai n = 1, berarti muncul sukses. memiliki peluang p sedangkan n = 0 berarti muncul gagal memiliki peluang
q = 1 − p, (Evans, et al., 2000). Saat ini, banyak aplikasi percobaan Bernoulli dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya proses pencocokan barisan
DNA (Clay, 2001), pemeriksaan kualitas produk dalam quality control (Ross, et al.,
2012), banyaknya produk berkualitas baik dalam stok pasar, dan pengujian keacakan
suatu sampel (Omey, et al., 2008). Apabila percobaan Bernoulli dilakukan berkalikali kemudian masing-masing hasilnya dijumlahkan maka percobaan tersebut akan
berdistribusi binomial.
Dalam teori peluang dan statistika, distribusi binomial merupakan distribusi
peluang diskrit yang menyatakan jumlah sukses dalam barisan n percobaan (sukses/gagal) yang independen. Andaikan bahwa setiap Xi bernilai {0,1} dan untuk
Pn
n ≥ 1, ambil Sn = i=1 Xi sebagai jumlah sukses dalam barisan (X1 , X2 , . . . , Xn ).
Jika Xi terdistribusi secara independen dan identik dengan P(Xi = 1) = p dan P(Xi
= 0) = q = 1− p, maka Sn tersebut diketahui berdistribusi binomial Sn ∼ BIN(n, p)
(Omey, et al., 2008). Namun, apabila suatu percobaan dilakukan berkali-kali sampai muncul sukses atau gagal, maka tidak lagi dikatakan berdistribusi binomial
melainkan berdistribusi geometri. Jumlah n distribusi geometri akan menghasilkan
suatu percobaan berdistribusi binomial negatif.
Berbeda dengan distribusi binomial, Markov chain (rantai Markov) merupakan
model yang digunakan untuk menggambarkan proses-proses stokastik. Suatu proses
stokastik dikatakan termasuk Markov chain apabila memenuhi Markovian property
(sifat Markov) yang menyatakan bahwa peluang bersyarat suatu kejadian pada (t+1)
(dengan dietahui kejadian pada (t − 1) dan keadaan sekarang,(t)), tidak bergantung
pada kejadian (t − 1) melainkan hanya bergantung pada kejadian (t).
1
Universitas Sumatera Utara
2
Kini, banyak distribusi peluang yang didefinisikan melalui pencampuran atau
penggabungan dua distribusi peluang atau lebih. Salah satu untuk memperoleh suatu distribusi diskrit baru adalah mendefinisikan perhitungan distribusi-distribusi
yang berhubungan dengan rantai Markov. Omey, et al. (2008) melakukan penggabungan distribusi binomial dan rantai Markov yang disebut dengan distribusi
Markov-binomial.
Distribusi Markov-binomial adalah suatu distribusi peluang diskrit dari kejadian sukses atau gagal yang membentuk suatu rantai Markov. Ilustrasi yang dapat menggambarkan distribusi ini yakni, dalam quality control diputuskan untuk
memeriksa semua unit yang diproduksi. Alternatif yang muncul dari persoalan tersebut yaitu hanya memeriksa satu unit dan kemudian menerima atau menolak semua
unit yang diproduksi. Namun, distribusi ini kurang cocok digunakan dalam situasi
kegiatan yang memperhatikan muncul sukses atau gagal ke-k setelah melakukan r
kali percobaan yang sering dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif
yang juga membentuk suatu rantai Markov. Oleh karena itu, penelitian ini diajukan
untuk mendefinisikan perhitu-ngan distribusi binomial negatif yang berhubungan
dengan rantai Markov sehingga terbentuk suatu distribusi diskrit baru yang disebut
distribusi Markov-binomial negatif.
Pada penelitian tentang Markov-binomial sebelumnya, Wang (1981) mengadakan penelitian tentang limit distribusi Markov-binomial. Cekanavicius dan Roos
(2007) menggunakan distribusi binomial untuk pendekatan distribusi Markov binomial begitu juga dengan Xia dan Zhang (2009) yang menganalisis pendekatanpendekatan pada distribusi Markov-binomial. Namun, penelitian yang paling mendasari penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008).
Mereka melakukan penelitian tentang hal-hal yang berkaitan dengan distribusi binomial dan membentuk rantai Markov yakni melakukan analisis pada Xi , i ≥ 1
yang dinyatakan sebagai barisan {0,1} dan membentuk suatu rantai Markov serta
mempelajari jumlah sukses kejadian binomial Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . Dengan
mempelajari hal-hal dasar dalam penelitian Omey et al. (2008), peneliti mencoba
memodelkan fungsi massa peluang, fungsi ekspektasi dan fungsi varians suatu kejadian yang mengamati sukses ke-s muncul pada percobaan ke-n dan membentuk
rantai Markov dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kejadian terdistribusi secara identik dan independen tersebut yang dinotasikan Nb(s). Pada bagian akhir
Universitas Sumatera Utara
3
penelitian ini, akan ditunjukkan aplikasi distribusi Markov-binomial negatif dalam
kalibrasi alat sistem quality control. Namun, pada hakikatnya aplikasi ini tidak hanya
diharapkan dapat diterapkan dalam sistem quality control, tetapi dapat diterapkan
dalam penyebaran penyakit bidang ilmu epidemik, pencocokan DNA, stok pasar,
dan percobaan Bernoulli lainnya.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diungkapkan pada bagian latar belakang, distribusi
Markov-binomial ialah distribusi diskrit yang diperoleh melalui penggabungan antara distribusi binomial dan rantai Markov. Distribusi ini hanya dapat digunakan
untuk persoalan yang memperhitungkan percobaan muncul sukses atau gagal tanpa memperhatikan apakah sukses atau gagal ke-s muncul pada percobaan ke-n
yang dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif. Persoalan muncul,
bagaimanakah model suatu distribusi diskrit dari percobaan-percobaan yang berdistribusi binomial negatif dengan mengaitkan bahwa setiap percobaan membentuk
rantai Markov dan bagaimana pula model diagram kontrol sebagai terapan dalam
quality control.
1.3 Tujuan Penelitian
Mengembangkan model distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial
negatif menjadi suatu distribusi Markov-binomial negatif serta memodelkan aplikasinya dalam sistem quality control.
1.4 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur distribusi peluang diskrit dalam statistika yang dapat
diaplikasikan dalam bidang riset operasi.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai
berikut:
1. Menguraikan fungsi distribusi peluang geometri menjadi distribusi peluang binomial negatif.
2. Mengidentifikasi kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk rantai Markov.
3. Menentukan asumsi awal dan notasi terkait.
4. Mempartisi kejadian pada waktu t dan t + 1 ke dalam 2 kemungkinan, Apabila
pada waktu t + 1 muncul 1 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1.
Sebaliknya, apabila pada waktu t + 1 muncul 0 maka kejadian pada waktu t
mungkin 0 atau 1 juga.
5. Menentukan fungsi massa peluang (fmp), fungsi rata-rata (ekspektasi), dan
fungsi varians pada 2 kondisi tersebut.
6. Memodelkan diagram kontrol menggunakan fungsi varians sebagai terapan
dalam sistem quality control.
Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah dilakukan
Omey, et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar sebagai berikut.
Definisi Sn
Dengan menggunakan teknik dalam distribusi binomial dan rantai Markov, akan didefinisikan barisan kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara
5
Modifikasi Distribusi Markov-Binomial
Setelah Sn telah didefinisikan pada proses di atas, langkah selanjutnya adalah modifikasi distribusi Markov-binomial berikut.
Distribusi awal P (ξ0 = 1) = p0 , P (ξ0 = 0) = 1 − p0 , p0 ∈ [0, 1] dan peluang transisi
P (ξi = 1 | ξi−1 = 1) = p, P (ξi = 0 | ξi−1 = 1) = q
P (ξi = 1 | ξi−1 = 0) = ¯q, P (ξi = 0 | ξi−1 = 0) = p
¯
p + q = ¯q +¯
p=1, p, q ∈ (0, 1), i ∈ N.
Distribusi Geometri
p(k) = P {Z(r) = k} = q k .p = (1 − p)k .p
Distribusi binomial negatif
pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . , n.
p(k)=P {Y (r) = k}= (k+r−1)!
(r−1)!k!
Universitas Sumatera Utara