θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u.v = 0 Jika sudut antara vektor u dan v siku-siku maka dikatakan bahwa kedua
vektor itu orthogonal dan dituliskan
v u
⊥
. Jadi vektor u dan v akan orthogonal jika u.v = 0.
Teorema : Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
dan k adalah skalar, maka a.
u.v = v.u
b.
u.v + w = u.v + u.w
c.
ku.v = ku.v = u.kv
d.
v.v 0 jika v ∫ 0 dan v.v = 0 jika v = 0
Adakalanya kita perlu menyatakan suatu vektor u ke dalam bentuk jumlahan dua suku, yang satu sejajar vektor tak nol p sedang yang lain
tegak lurus terhadap p. Keadaan vektor u dan dua vektor jumlahannya
dapat digambarkan sebagai berikut.
Kita dapat melihat bahwa
w
2
= u - w
1
sehingga kita peroleh
w
2
w
1
p u
w
1
+ w
2
= w
1
+ u - w
1
= u Dalam hal ini vektor w
1
dinamakan proyeksi orthogonal u pada p atau disebut pula komponen vektor u sepanjang p, dinotasikan dengan
proy
p
u. Vektor w
2
dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap p. Karena w
2
= u - w
1
maka w
2
= u - proy
p
u. Teorema : Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
dan k
adalah skalar, maka
proy
v
u
v v
u.v
2
=
dan u - proy
v
u
v v
u.v u
2
− =
Pada
R
3
, misalkan i, j, dan k menyatakan vektor satuan siku-siku berturut-turut pada komponen x, y, dan z yaitu i = 1,0,0, j = 0,1,0, dan
k = 0,0,1. Dapat dilihat bahwa
i k
dan k,
j j,
i
⊥ ⊥
⊥
serta berlaku
1 =
= =
k j
i
. Dengan vektor satuan ini, setiap vektor dalam
R
3
dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian skalar dengan vektor i, j, dan k.
Contoh : Vektor 2,-1,3 dapat dinyatakan sebagai 2i - j + 3k sebab 2,-1,3 = 21,0,0 - 0,1,0 + 30,0,1.
3.3. Perkalian Silang pada Vektor
Pada sub bab di atas telah dibahas operasi perkalian dua vektor yang hasilnya berupa skalar, pada sub bab ini akan dibahas operasi
perkalian dua vektor yang hasilnya berupa vektor.
Definisi : Misalkan u = u
1
, u
2
, u
3
dan v = v
1
, v
2
, v
3
vektor-vektor di
R
3
.
Hasil kali silang dari u dan v, dinotasikan dalam u ä v adalah
vektor yang didefinisikan sebagai
u ä v = u
2
v
3
- u
3
v
2
, u
3
v
1
- u
1
v
3
, u
1
v
2
- u
2
v
1
atau dapat
ditulis
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
×
2 1
1 3
3 1
3 2
3 2
2 1
v v
u u
v v
u u
v v
u u
, ,
v u
Hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang diberikan dalam teorema berikut.
Teorema : Jika u dan v adalah vektor-vektor di R
3
, maka a.
u.uäv = 0
