3.2. Perkalian Titik pada Vektor
Perkalian titik atau dot product dan sifat-sifat ilmu hitung dari perkalian ini akan diberikan dalam definisi berikut : Yang dimaksud
sudut antara vektor u dan v adalah sudut yang dibentuk antara vektor u dan v yang telah dialokasikan sehingga titik asal keduanya berimpit.
Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
dan θ
adalah sudut di antara u dan v 0 § q § p, maka perkalian titik dot
product atau perkalian dalam Eucliden antara u dan v, dinotasikan
dengan u.v didefinisikan dengan
Dari definisi tersebut, jika u = 0 atau v = 0 maka jelas u.v = 0.
Misalkan P
O
= u = u
1
, u
2
, u
3
dan Q O
= v = v
1
, v
2
, v
3
vektor- vektor tak nol di
R
3
Pandang segitiga OPQ. Menurut hukum kosinus pada segitiga, tentu berlaku
O q
v u
Q
v
1
, v
2
, v
3
P u
1
, u
2
,u
3
y x
z
θ =
cos v
u u.v
θ −
+ =
cos v
u v
u
2
2 2
2
Q P
Mengingat bahwa Q P
= v − u maka
2 2
u -
v
= Q
P . Karena definisi hasil
kali titik, persamaan di atas dapat ditulis sebagai
2 2
2
2 1
u -
v v
u u.v
− +
=
Karena
2 3
2 2
2 1
2
u u
u +
+ =
u ,
2 3
2 2
2 1
2
v v
v +
+ =
v , dan
2 3
3 2
2 2
2 1
1 2
u v
u v
u v
− +
− +
− =
u -
v
, dengan penyerdehanaan akan diperoleh
Secara sama berlaku pada
R
2
. Jika u = u
1
, u
2
dan v = v
1
, v
2
vektor- vektor tak nol di
R
2
maka
Teorema : Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
. a.
2
v v.v
=
b. Jika u dan v masing-masing tidak nol dan
θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka
θ adalah sudut lancip jika hanya jika u.v 0 θ adalah sudut tumpul jika hanya jika u.v 0
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u
+ +
=
u.v
2 2
1 1
v u
v u
+ =
u.v
θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u.v = 0 Jika sudut antara vektor u dan v siku-siku maka dikatakan bahwa kedua
vektor itu orthogonal dan dituliskan
v u
⊥
. Jadi vektor u dan v akan orthogonal jika u.v = 0.
Teorema : Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
dan k adalah skalar, maka a.
u.v = v.u
Kategori