BAB III RUANG VEKTOR
R
2
DAN
R
3
Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang
dari vektor-vektor.
Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Menentukan basis pada ruang Euclid R
2
dan R
3
. 2.
Menentukan hasil operasi vektor pada ruang Euclid R
2
dan R
3
.
3.1. Operasi Aljabar Vektor
Sebelum membahas operasi aljabar vektor, terlebih dahulu akan diingatkan kembali pengertian vektor dan skalar.
Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai
pangkal dan ujung.
Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan
ekivalen.
B A
Vektor AB
Definisi : Jika v dan w adalah dua vektor sebarang maka v + w, disebut jumlah vektor v dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan vektor
w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari v, maka vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v ke titik ujung
w.
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan
0 + v = v + 0 = v Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v negatif v adalah vektor yang
mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.
Pengurangan dua vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif vektor.
v − w = v + − w
Vektor-vektor ekivalen
w+v v+w
w
w v
v w
v
Penjumlahan vektor
Definisi : Perkalian vektor tak nol v dengan skalar bilangan real tak nol
k didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v
dan arahnya sama dengan arah v jika k 0, dan berlawanan arah dengan arah v jika k 0.
Vektor pada Bidang
R
2
Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat v
1
, v
2
, maka v
1
, v
2
dinamakan komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = v
1
, v
2
. Secara geometri v
1
menyatakan komponen pada sumbu x dan v
2
menyatakan komponen pada sumbu y.
w-v v-w
w -w
w -v
v v
−v ∑
v
Negatif vektor Pengurangan vektor
-3v 2v
−v
2 1
v v
Perkalian vector dengan skalar
Jika v = v
1
, v
2
dan w = w
1
, w
2
adalah vektor-vektor pada bidang
R
2
,
maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v
1
= w
1
dan v
2
= w
2
.
Jika v = v
1
, v
2
dan w = w
1
, w
2
, maka berlaku 1.
v + w = v
1
+w
1
, v
2
+w
2
2.
k v = kv
1
, kv
2
dengan k suatu skalar
Contoh : Misalkan v = −2, 1 dan w = 1, 3, maka v + w = −2, 1 + 1, 3 = −2+1, 1+3 = −1, 4
2v = 2−2, 1 = 2.−2, 2.1 = −4, 2 v − w = −2, 1 − 1, 3 = −2−1, 1−3 = −3, −2
w − v = 1, 3 − −2, 1 = 1−−2, 3−1 = 3, 2
Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya
adalah P
1
x
1
,y
1
dan titik ujungnya adalah P
2
x
2
,y
2
maka ,
1 2
1 2
2 1
y y
x x
P P
− −
= . Komponen
2 1
P P
didapat dengan mengurangkan
v-w w-v
2v v+w
w v
Operasi aljabar vektor
koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula
, ,
,
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
2 1
y y
x x
y x
y x
P O
P O
P P
− −
= −
= −
= Contoh :
Jika v = v
1
,v
2
adalah vektor di
R
2
maka panjang vektor disebut norm v didefinisikan sebagai
2 2
2 1
v v
+ =
v
Jika P
1
x
1
, y
1
dan P
2
x
2
, y
2
adalah dua titik di
R
2
, maka jarak dua titik
tersebut didefinisikan sebagai norm dari vektor
2 1
P P
, yaitu
2 1
2 2
1 2
y y
x x
d −
+ −
=
P
1
P
2
OP
1
OP
2
Vektor pada Ruang
R
3
Misalkan v suatu vektor pada ruang
R
3
, maka komponen dari v
adalah v
1
, v
2
, v
3
yang secara geometri v
1
menyatakan komponen pada sumbu x dan v
2
menyatakan komponen pada sumbu y dan v
3
menyatakan komponen pada sumbu z.
Jika v = v
1
, v
2
, v
3
dan w = w
1
, w
2
, w
3
, maka 1.
v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v
1
= w
1
, v
2
= w
2
, v
3
= w
3
. 2.
v + w = v
1
+w
1
, v
2
+w
2
, v
3
+w
3
3.
k v = kv
1
, kv
2
, kv
3
dengan k suatu skalar Jika P
1
x
1
, y
1
, z
1
dan P
2
x
2
, y
2
, z
2
adalah titik-titik di
R
3
, maka
2 1
P P
= x
2
-x
1
, y
2
-y
1,
z
2
-z
1
Jika w = w
1
, w
2
, w
3
suatu vektor di
R
3
, maka panjang vektor norm w didefinisikan sebagai
2 3
2 2
2 1
w w
w +
+ =
w
Jika P
1
x
1
, y
1
, z
1
dan P
2
x
2
, y
2
, z
2
adalah dua titik di
R
3
, maka jarak antara
dua titik tersebut adalah norm dari vektor
2 1
P P
, yaitu
2 1
2 2
1 2
2 1
2
z z
y y
x x
d −
+ −
+ −
= Contoh :
Norma vektor v = 3, 4, 0 adalah
5 4
3
2 2
2
= +
+ =
v
Jarak di antara titik P
1
2, 1, 0 dan P
2
4, −3, 1 adalah 21
1 16
4 1
1 3
2 4
2 2
2
= +
+ =
− +
− −
+ −
= d
Kaidah dasar ilmu hitung vektor akan ditunjukkan di dalam teorema berikut ini.
Teorema : Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di dalam
R
2
atau
R
3
dan k , l
adalah skalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku. 1.
u + v = v + u
2.
u + v + w = u + v + w
3.
u +
__
=
__
+ u = u
4.
u + -u =
__
5.
kl u = kl u
6.
ku + v = k u + k v
7.
k +l u = k u + l u
8.
1 u = u
3.2. Perkalian Titik pada Vektor
Kategori