Eucledian yang dapat menghitung faktor persekutuan terbesar dari dua buah bilangan bulat.
1.2. Algoritma Euclidean
g =1
while a mod 2=0 and b mod 2=0 do
a = a2 b = b2
g =2.g
end while a 0 do
while a mod 2=0 do a = a2 while b mod 2=0 do b = b2
if a b then a =a-b2 else b =b a2
end return g.b
2.2.4. Kekongruenan
Notasi a ≡ b mod n dibaca a adalah kongruen ke b modulo n. Dimana untuk
integer a, b dan n ≠ 0 jika dan hanya jika, untuk beberapa k, � = � + � ∗ �. Oleh
sebab itu n | a – b yang mana disebut juga n dibagi a - b. Jika a ≡ b mod n, b
disebut sisa dari a modulo n. Kekongruenan dalam perancangan algoritma berhubungan dengan perhitungan nilai GCD yang akan digunakan dalam
penentuan kunci tambahan multiple-key.
Misalkan 17 ≡ 5 mod 12 dan 5 adalah sisa dari 17 modulo 12. a adalah
himpunan {r
1
, r
2
, …,r
n
} disebut semua himpunan sisa mod n jika setiap bilangan bulat a, tepat berpasangan dengan satu r
i
di dalam himpunan yang memenuhi a
≡ r
i
mod n. Kekongruenan a ≡ b mod m dapat pula dituliskan dalam
hubungan, � = � + � ∗ �, dalam hal ini k adalah bilangan bulat. Berdasarkan
definisi aritmetika modulo, kita juga dapat dinuliskan a ��� � ≡ � sebagai,
� ≡ � ��� �
Universitas Sumatera Utara
Pembagian bilangan bulat n untuk penjumlahan dan perkalian dengan hukum assosiatif, komutatif, dan distributif terbentuk. Untuk faktanya kita dapat
menurunkan modulo n dari yang lain dan kemudian dilakukan operasi dan kemudian dilakukan penurunan dari modulo n, karena sisa modulo n adalah
homomorphism dari lingkaran bilangan bulat kelingkaran bilangan bulat mod n Mollin, 2007. Maka dapat dituliskan bahwa,
� ± � ��� � ≡ [���� � ± � ��� �] ��� � 2.2.4
� ∗ ���� �≡ [���� � ∗ ���� �] ��� �
Dalam teoremanya dapat dimisalkan m adalah bilangan bulat positif 1. Jika a
≡ b mod m dan c adalah sembarang bilangan bulat maka: -
� + �≡� + � ��� � -
� ∗ � ≡ � ∗ � ��� � -
�
�
≡�
�
��� � ; p = bilangan bulat tak negatif 2. Jika a
≡ b mod m dan c ≡ d mod m, maka -
� + � ≡ � + � ��� � -
� ∗ � ≡� ∗ � ��� �
2.2.5. Invers Modulo
Jika a dan m relatif prima dan m 1, maka kita dapat menemukan inversi dari a modulo m. Inversi dari a mod m, disebut juga inversi perkalian, adalah bilangan
bulat a
-1
� ∗ � − 1≡1 ��� � 2.2.5
, sedemikian sehingga :
dari definisi relatif prima diketahui bahwa GCD a,m=1, dan menurut persamaan terdapat bilangan bulat p dan q, sedemikian sehingga:
� ∗ � + � ∗ � = 1 yang mengimplikasikan bahwa :
� ∗ � + � ∗ � ≡1 ��� � Karena qm
≡ 0 mod m maka nilai � ∗ � ≡ 1 ��� �
Kekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa p adalah invers dari a mod m. Pembuktian diatas juga menceritakan bahwa, untuk mencari invers
Universitas Sumatera Utara
dari a mod m, kita harus membuat kombinasi lanjar dari a dan m = 1. Koefisien a dari kombinasi lanjar tersebut merupakan, invers dari a mod m Mollin, 2007.
2.2.6. Euler Totien Function
Kategori