Supersimetri dan Hamiltonan Dirac

4. Supersimetri dan Hamiltonan Dirac

Dalam subbab ini akan diteliti keberadaan SUSY untuk partikel pada sistem yang dijelaskan masing-masing oleh Hamiltonan Dirac orde pertama H D , persamaan (V.13) dan (V.14). Dari hasil yang diperoleh pada pembahasan sebelumnya, yaitu

pada subbab 3, selanjutnya akan dibuktikan bahwa operator † Q

D dan Q D adalah akar dari H D .

D dan Q D yaitu pertama, men- emukan bentuk diagonal H D ′ dari H D . Untuk melihat bahwa bentuk diagonal H D ′ dapat dibangun, perlu dicatat bahwa

Cara yang paling mudah untuk memperoleh † Q

D ) = (H ) RP adalah diagonal namun H D ′ dimasukkan sebagai bagian dari akar diagonal

Kedua, setelah diperoleh operator

D dan Q ′ D dari H D ′ , keduanya harus diubah ke D dan Q ′ D dari H D ′ , keduanya harus diubah ke

U = exp( γ Π ⊥ ·γ ⊥ θ)

(V.23)

dalam persamaan (V.23) didefinisikan sebagai

Π 1 =k

x − eBy, Π 2 =k

(V.24)

Lebih lanjut, didefinisikan

Persamaan (V.22) dan (V.23) dapat dikombinasikan pada H D ′ sebagai 

 (D D + 2 ) 2

−∂ z 

−(D + − −∂ z )

−(D − D +

1  (D D + 2 2 − −∂ z )

Dalam kasus supersimetri tak rusak, diambil batasan 3 k z = 0, sehingga menjadi

H D (k z = 0) = 

 . (V.26)

Spektrum H D ′ (k z = 0) tersusun atas 4 bagian. Tiap-tiap bagian tersebut dihubungkan dengan sebuah operator yang berada pada diagonal persamaan (V.26). Mulai dari bagian kiri paling atas dan menuju ke bagian kanan paling bawah, 4 operator tersebut menunjukkan

1. tenaga positif dan e~ B·~ S z > 0,

2. tenaga negatif dan e~ B·~ S z > 0,

3. tenaga negatif dan e~ B·~ S z < 0,

4. tenaga positif dan e~ B·~ S z < 0, dengan ~ S z menunjukkan operator spin dalam arah sumbu z. Namun perlu diingat bah-

wa pembangkit SUSY pada SUSYQM (2) menghubungkan satu spektrum bosonik menjadi satu spektrum fermionik. Hanya dua dari keempat spektrum di atas yang dapat ditampung secara bersamaan. Selanjutnya, akan didiskusikan pilihan berbeda yang dapat diijinkan oleh persamaan (V.26).

Pembahasan diawali dengan membentuk SUSYQM(2) yang berhubungan de-

3 Meskipun pada dasarnya kerusakan supersimetri dapat diwujudkan dalam bentuk k z 6= 0, rancan- gan ini sulit untuk diterapkan.

ngan dua spektrum tenaga-positif. Pembangkit SUSY dapat ditulis 

0 D + 000 Operator tersebut membangkitkan spektrum tenaga positif, karena

Kemudian, ditinjau superaljabar yang berhubungan dengan keadaan tenaga negatif pada persamaan (V.26). Dalam subbab sebelumnya telah dikemukakan bah- wa hamiltonan yang dihubungkan dengan superaljabar SUSYQM(2) harus memiliki swanilai positif atau nol. Oleh karena itu, keadaan tenaga negatif tidak dihubungkan dengan SUSYQM(2). Jika didefinisikan

Q e ′ =  00 D − 0 

 dan

 , (V.29)

0 D + 00      

kecuali untuk tanda minus di depan hamiltonan, superaljabar ini mematuhi hubungan komutasi SUSYQM(2) pada persamaan (II.13)-(II.15). Hubungan superaljabar ini dan SUSYQM(2) setara dengan hubungan antara aljabar kompak SO(3) dan aljabar nonkompak SO(2,1).

Kemudian menurut

H ′ (k z = 0) = Q ′

D D ,Q D − Q e D ,e Q D , (V.31)

juga diperoleh bahwa

H D (k = 0) = Q D ,Q z † D − Q e D ,e Q † D , (V.32)

Dapat dibangun aljabar yang berhubungan dengan spektrum tenaga positif dan Dapat dibangun aljabar yang berhubungan dengan spektrum tenaga positif dan

0 D − 0 0  00   

D  D + 00  ,  (V.34) 

dan

0 0 0 0 00 maka diperoleh

X D ,X D =H ′ D (k z = 0, τ = +1)

 . (V.35)

D dan X D ′ bersifat komutatif meng- hasilkan

Namun, aljabar ini bukan superaljabar karena † X ′

D (k z = 0, τ = +1). Lebih lanjut, X ′ D dan X D ′ tidak tetap dalam ger- aknya.