Alih Ragam Foldy-Wouthuysen

3. Alih Ragam Foldy-Wouthuysen

Alih ragam Foldy-Wouthuysen adalah suatu alih ragam uniter yang mengu- bah pasangan operator dari komponen besar ke komponen kecil. Alih ragam ini Alih ragam Foldy-Wouthuysen adalah suatu alih ragam uniter yang mengu- bah pasangan operator dari komponen besar ke komponen kecil. Alih ragam ini

Sebelum dibahas lebih lanjut, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai opera- tor ganjil dan genap pada teori Dirac. Operator ganjil pada teori Dirac adalah matriks Dirac yang mengandung elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, yaitu

α, βα, γ 5 = −iα 1 α 2 α 3 dan βγ 5 . Sedangkan operator genap adalah matriks Dirac yang tidak mempunyai elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, misal-

nya 1 1, β, σ = 2i [α × α] dan βσ. Produk dari dua buah matriks genap atau dua buah matriks ganjil menghasilkan matriks genap, sedangkan produk dari sebuah matriks

genap dan sebuah matriks ganjil menghasilkan matriks ganjil. Jika S adalah operator Hermitan, dan berlaku alih ragam sebagai berikut

Ψ ′ =U Ψ=e iS F Ψ,

(IV.5)

dan jika dikenakan pada persamaan (IV.3) menjadi

i(∂Ψ iS ′ /∂t) = e HΨ =e iS He −iS Ψ ′

=H ′ Ψ ′ .

(IV.6)

Akan dicari S dengan H ′ yang tidak mengandung operator ganjil. Hal ini dapat di- lakukan sebagai berikut

e iS =e βα·ˆpθ

= cos θ + βα · ˆp sin θ,

ˆ p = p/|p|, (IV.7)

H ′ = (cos θ + βα · ˆp sin θ)(α · ˆp + βm)(cos θ − βα · ˆp sin θ)

= (βm + α · p)(cos θ − βα · ˆp sin θ) 2 = (βm + α · p) exp(−2βα · ˆpθ)

+β(m cos 2θ + |p| sin 2θ). (IV.8)

Untuk menghilangkan suku (α · p), dipilih tan 2θ = |p|/m, sehingga

=β m 2 + |p| 2 .

hal ini sama seperti hamilton pertama yang dicoba, kecuali untuk faktor β yang juga memberikan penyelesaian tenaga negatif. Ditinjau untuk kasus

O = α · (p − eA),

E = eΦ,

βO = −Oβ,

βE = Eβ. (IV.10)

Ditinjau alih ragam kanonik yang dibangkitkan oleh operator Hermitan

S = −(i/2m)βO.

Penyajian S dapat dibentuk dengan perluasan nonrelativistik pada hamiltonan H ′ p dalam deret 4 1/m. Akan diekspansikan bentuk ini ke

m 3 dan p×(E,B) m 2 .

S dijabarkan dalam deret 1/m dan nilainya sangat kecil dalam pendekatan nonrelativistik.

e iS He −iS

= H + i[S, H] + [S, [S, H]] + · · · + [S, [S, · · · [S, H]]] .

diharapkan dalam tingkat ketelitian tertentu yaitu

= H + i[S, H] − [S, [S, H]] − [S, [S, [S, H]]]

1 i h i 1 h h ii + [S, [S, [S, [S, βm]]]] − ˙S −

S, ˙ S +

S, S, ˙ S . (IV.12)

Selanjutnya, akan dihilangkan operator ganjil satu demi satu dalam 1/m dan mengu- langinya sampai pada derajat yang diharapkan. Orde pertama [O(1)]:

H ′ = βm + E + O + i[S, β]m.

Untuk menghilangkan

O, dipilih S = − iβO

2m ,

i [S, H] = −O +

[O, E] + βO

2m

2 i 2 βO

[S, [S, H]] = −

[O, [O, E]] − 2m 2

2 2m

8m 2

[S, [S, [S, H]]] =

[S, [S, [S, [S, H]]]] = 4!

Semua suku dikumpulkan sehingga menjadi

= βm + E ′ +O . (IV.14)

Sekarang ′ O 1 adalah O m , H ′ dapat dialihragamkan menjadi S ′ dengan menghi- langkan ′ O ,

2m Setelah alih ragam dalam bentuk S ′ , maka

dengan ′′ O 1 adalah O m 2 yang dapat dihilangkan dengan alih ragam ketiga, S ′′ =

−iβO ′′

2m , berupa

∂ −iS −i ′′ e

iS H ′′ =e H ′′

∂t

2 4 1 i h O i O =β m+

+E−

2 [O, [O, E]] − 8m 2 O, ˙ O 8m .(IV.16)

2m 8m 3

Ditinjau kembali produk operator untuk memperoleh ketelitian yang diinginkan,

2 O 2 (α · (p − eA)) =

Σ·E×p

Jadi, hamiltonan efektif untuk derajat yang diharapkan adalah

Σ·E×p−

(∇ · E) . (IV.18) 8m 2 8m 2

4m 2

Tiap suku mempunyai arti fisis masing-masing. Suku pertama dalam tanda kurung adalah perluasan dari

2 +m (p − eA) 2

dan −p 4 /(8m 3 ) adalah ralat relativistik untuk tenaga kinetik. Suku kedua yaitu

ie

Σ · (∇ × E) −

Σ · E × p,

8m 2

4m 2 4m 2