Alih Ragam Foldy-Wouthuysen
3. Alih Ragam Foldy-Wouthuysen
Alih ragam Foldy-Wouthuysen adalah suatu alih ragam uniter yang mengu- bah pasangan operator dari komponen besar ke komponen kecil. Alih ragam ini Alih ragam Foldy-Wouthuysen adalah suatu alih ragam uniter yang mengu- bah pasangan operator dari komponen besar ke komponen kecil. Alih ragam ini
Sebelum dibahas lebih lanjut, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai opera- tor ganjil dan genap pada teori Dirac. Operator ganjil pada teori Dirac adalah matriks Dirac yang mengandung elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, yaitu
α, βα, γ 5 = −iα 1 α 2 α 3 dan βγ 5 . Sedangkan operator genap adalah matriks Dirac yang tidak mempunyai elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, misal-
nya 1 1, β, σ = 2i [α × α] dan βσ. Produk dari dua buah matriks genap atau dua buah matriks ganjil menghasilkan matriks genap, sedangkan produk dari sebuah matriks
genap dan sebuah matriks ganjil menghasilkan matriks ganjil. Jika S adalah operator Hermitan, dan berlaku alih ragam sebagai berikut
Ψ ′ =U Ψ=e iS F Ψ,
(IV.5)
dan jika dikenakan pada persamaan (IV.3) menjadi
i(∂Ψ iS ′ /∂t) = e HΨ =e iS He −iS Ψ ′
=H ′ Ψ ′ .
(IV.6)
Akan dicari S dengan H ′ yang tidak mengandung operator ganjil. Hal ini dapat di- lakukan sebagai berikut
e iS =e βα·ˆpθ
= cos θ + βα · ˆp sin θ,
ˆ p = p/|p|, (IV.7)
H ′ = (cos θ + βα · ˆp sin θ)(α · ˆp + βm)(cos θ − βα · ˆp sin θ)
= (βm + α · p)(cos θ − βα · ˆp sin θ) 2 = (βm + α · p) exp(−2βα · ˆpθ)
+β(m cos 2θ + |p| sin 2θ). (IV.8)
Untuk menghilangkan suku (α · p), dipilih tan 2θ = |p|/m, sehingga
=β m 2 + |p| 2 .
hal ini sama seperti hamilton pertama yang dicoba, kecuali untuk faktor β yang juga memberikan penyelesaian tenaga negatif. Ditinjau untuk kasus
O = α · (p − eA),
E = eΦ,
βO = −Oβ,
βE = Eβ. (IV.10)
Ditinjau alih ragam kanonik yang dibangkitkan oleh operator Hermitan
S = −(i/2m)βO.
Penyajian S dapat dibentuk dengan perluasan nonrelativistik pada hamiltonan H ′ p dalam deret 4 1/m. Akan diekspansikan bentuk ini ke
m 3 dan p×(E,B) m 2 .
S dijabarkan dalam deret 1/m dan nilainya sangat kecil dalam pendekatan nonrelativistik.
e iS He −iS
= H + i[S, H] + [S, [S, H]] + · · · + [S, [S, · · · [S, H]]] .
diharapkan dalam tingkat ketelitian tertentu yaitu
= H + i[S, H] − [S, [S, H]] − [S, [S, [S, H]]]
1 i h i 1 h h ii + [S, [S, [S, [S, βm]]]] − ˙S −
S, ˙ S +
S, S, ˙ S . (IV.12)
Selanjutnya, akan dihilangkan operator ganjil satu demi satu dalam 1/m dan mengu- langinya sampai pada derajat yang diharapkan. Orde pertama [O(1)]:
H ′ = βm + E + O + i[S, β]m.
Untuk menghilangkan
O, dipilih S = − iβO
2m ,
i [S, H] = −O +
[O, E] + βO
2m
2 i 2 βO
[S, [S, H]] = −
[O, [O, E]] − 2m 2
2 2m
8m 2
[S, [S, [S, H]]] =
[S, [S, [S, [S, H]]]] = 4!
Semua suku dikumpulkan sehingga menjadi
= βm + E ′ +O . (IV.14)
Sekarang ′ O 1 adalah O m , H ′ dapat dialihragamkan menjadi S ′ dengan menghi- langkan ′ O ,
2m Setelah alih ragam dalam bentuk S ′ , maka
dengan ′′ O 1 adalah O m 2 yang dapat dihilangkan dengan alih ragam ketiga, S ′′ =
−iβO ′′
2m , berupa
∂ −iS −i ′′ e
iS H ′′ =e H ′′
∂t
2 4 1 i h O i O =β m+
+E−
2 [O, [O, E]] − 8m 2 O, ˙ O 8m .(IV.16)
2m 8m 3
Ditinjau kembali produk operator untuk memperoleh ketelitian yang diinginkan,
2 O 2 (α · (p − eA)) =
Σ·E×p
Jadi, hamiltonan efektif untuk derajat yang diharapkan adalah
Σ·E×p−
(∇ · E) . (IV.18) 8m 2 8m 2
4m 2
Tiap suku mempunyai arti fisis masing-masing. Suku pertama dalam tanda kurung adalah perluasan dari
2 +m (p − eA) 2
dan −p 4 /(8m 3 ) adalah ralat relativistik untuk tenaga kinetik. Suku kedua yaitu
ie
Σ · (∇ × E) −
Σ · E × p,
8m 2
4m 2 4m 2