Model dan Penyelesaiannya

2. Model dan Penyelesaiannya

Persamaan Dirac dengan pasangan elektromagnetik minimal untuk spinor tak bermassa adalah

D Ψ≡ 0 (∂ t − ieA t )γ + (∂ + ieA).γ Ψ

(V.1)

Digunakan wakilan chiral dalam matriks Dirac menurut 

dengan σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , didefinisikan oleh persamaan (II.9). Medan magnet yang seragam dan konstan dapat dituliskan dalam bentuk

A t = 0,

A x = −By,

A y = 0,

A z = 0,

dengan B = ∇ × A = Bˆz. Kemudian partikel akan membentuk gerak siklotron dalam bidang x − y. Operator D diberikan oleh

D 0 =γ 1 ∂/∂t + γ.∇ − ieByγ .

(V.2)

Dipilih batasan eB > 0. Penyelesaian persamaan (V.1) dapat diperoleh melalui metode Feynman–Gell- Mann. Mula-mula persamaan Dirac (V.1) dikalikan dengan operator Dirac

D, sehing-

ga menghasilkan persamaan komponen-empat derajat kedua yang berupa

Persamaan (V.3) memiliki 8 penyelesaian yang tak gayut Φ. Penyelesaian Ψ dari persamaan (V.1) diberikan oleh

Ψ = DΦ.

(V.4)

Penyelesaian yang berjumlah 8 tersebut diperoleh dari dua kali jumlah penyelesaian yang tak gayut. Persamaan (V.2) menunjukkan bahwa

D dapat ditulis sebagai 

D + ≡ ∂/∂x − ieBy + i∂/∂y

dan

≡D + = −∂/∂x + ieBy + i∂/∂y. (V.5)

Kemudian, persamaan (V.3) dapat ditulis sebagai

2 2 2 2 2 2 2 DD 12 Φ≡ ∂

t −∂ x −∂ y −∂ z − 2ieBy∂ x +e B y

I yang dimaksud pada persamaan di atas adalah matriks identitas 4×4 dan σ 12 =

2 i [γ 1 ,γ 2 ] adalah matriks diagonal 4×4 yang elemen-elemennya tidak nol (1,-1,1,-1). Dalam mengamati persamaan (V.6) digunakan kaitan komutasi

[D − ,D + ] = 2eB.

Hal ini menunjukkan bahwa D + dan D − adalah operator naik dan turun pada osilator harmonik yang tidak ternormalisasi. Persamaan (V.6) mengandung rasio giromagnetik yang bernilai dua, yang da- pat diselesaikan dengan cara ansatz. Penyelesaian tersebut adalah

Φ nǫτ σ (t, x, y, z) ≡ exp [iǫ (−ω n t+k x x+k z z)] g nǫσ (y)χ τσ ,

(V.7)

dengan χ τσ dipilih sebagai swaspinor komponen-4 yang bernilai tetap, tak gayut, dan berjumlah 4, dari matriks

dengan τ, σ = ±1. Matriks γ 5 dan σ 12 saling berkomutasi satu dan lainnya dengan operator DD. Kemudian spinor χ τσ berturut-turut mengisi matriks pada kolom per-

tama hingga keempat, dan di tempat lain bernilai nol. Penyelesaian persamaan (V.7) juga diberi label ǫ untuk tenaga, dan bilangan bulat n ≥ 0. Bilangan bulat ini muncul karena fungsi g nǫσ (y) dalam persamaan (V.7) diperoleh berupa fungsi osilator harmonik, yang pusatnya berpindah dari titik asal (origin) dengan jumlah yang bergantung pada momentum x, k x .

Kekekalan, Hermitan, namun produk skalarnya definit-non positif untuk tiap dua penyelesaian Φ dan Φ ′ persamaan (V.6) adalah

hΦ|Φ i≡i d xΦ ∗ (t, x)

∂ /∂tΦ ′ (t, x).

(V.8)

Dalam hubungannya dengan produk skalar, lengkap, set ortogonal dari penyelesa- Dalam hubungannya dengan produk skalar, lengkap, set ortogonal dari penyelesa-

g nǫσ (y) = exp − eB(y − ǫk x /eB)

2 ×H n−1/2−1/2σ (eB) 1/2 (y − ǫk x /eB) ,

(V.9)

n =+k z + 2neB

(V.10)

dan H n adalah polinomial Hermit. Dengan penyelesaian ini untuk Φ nǫτ σ diperoleh identitas

D 1/2 + Φ nǫτ σ (y) = −i(eB) Φ n+1,ǫτ σ (y), dan 1/2 D

− Φ nǫτ σ (y) = +i(eB) (2n − 1 − σ) × Φ n−1,ǫτ σ (y). (V.11)

Persaman (V.7) adalah 4 sistem persamaan diferensial derajat kedua yang menghasilkan 8 penyelesaian yang tak gayut, φ nǫτ σ , untuk setiap nilai momentum k x dan k z . Bentuk fungsional dari penyelesaian tersebut tidak bergantung terhadap τ. Oleh karena itu, terdapat keadaan merosot ganda pada 8 penyelesaian ini, meskipun saling tak gayut karena spinor χ τσ bersifat ortogonal, sesuai dengan persamaan (V.8). Selain itu, tenaganya saling bebas terhadap k x . Hal inilah yang sering dikenal dengan tingkat kemerosotan Landau dan mencerminkan kesetangkupan translasi magnetik pada bidang x − y.

Sebagai lanjutan dari metode Feynman–Gell-Mann, digunakan persamaan (V.4) untuk memperoleh penyelesaian persamaan (V.1). Karena persamaan (V.1) adalah persamaan diferensial derajat pertama, tidak semua penyelesaian Ψ yang diperoleh Sebagai lanjutan dari metode Feynman–Gell-Mann, digunakan persamaan (V.4) untuk memperoleh penyelesaian persamaan (V.1). Karena persamaan (V.1) adalah persamaan diferensial derajat pertama, tidak semua penyelesaian Ψ yang diperoleh

3 hΨ|Ψ 0 i= d x Ψ(t, x)γ Ψ ′ (t, x)

= 3 d xΨ † (t, x)Ψ ′ (t, x).

(V.12)

Aspek penting yang lain dari persamaan di atas adalah jika persamaan tersebut ditulis dalam bentuk Hamiltonian

dengan H D adalah matriks 4 × 4 yang berupa

dan h D adalah matriks 2 × 2 menurut

 −i∂/∂z iD − 

(V.15)

−iD + i∂/∂z

diperoleh bahwa [H

D ,γ 5 ] = 0 tetapi [H D ,σ ] 6= 0. Hal ini berarti bahwa swanilai σ dari σ 12 tidak dapat digunakan sebagai label bagi penyelesaian H D .