Partikel Dirac Bebas

2. Partikel Dirac Bebas

2 , disajikan dalam persamaan Dirac menurut

Partikel Dirac bebas bermassa m, operator momentum p dan spin 1

∂Ψ(r, t)

i~

=H D Ψ(r, t),

(IV.2)

∂t ∂t

D = −i~cα.∇ + mc β = cα.p + mc 2 β

= (α.p + βm),

(IV.3)

dan α, β adalah matriks Hermitan 4 × 4 yang memenuhi persamaan

Swafungsi operator Hamiltonian memenuhi persamaan

(βm + α · p)Ψ = EΨ

Pada pendekatan nonrelativistik, yaitu ketika momentum partikel bernilai ke- cil jika dibandingkan dengan m (p << m), partikel Dirac spin 1 2 dapat disajikan dalam fungsi gelombang komponen-dua pada teori Pauli. Metode yang biasanya di- gunakan untuk menunjukkan bahwa teori Dirac adalah teori Pauli pada pendekatan ini berdasarkan kenyataan bahwa dua dari empat komponen fungsi Dirac nilainya menjadi kecil ketika momentumnya kecil. Kemudian ditulis persamaaan yang me- menuhi empat komponen dan menyelesaikannya dengan pendekatan: dua dari per- Pada pendekatan nonrelativistik, yaitu ketika momentum partikel bernilai ke- cil jika dibandingkan dengan m (p << m), partikel Dirac spin 1 2 dapat disajikan dalam fungsi gelombang komponen-dua pada teori Pauli. Metode yang biasanya di- gunakan untuk menunjukkan bahwa teori Dirac adalah teori Pauli pada pendekatan ini berdasarkan kenyataan bahwa dua dari empat komponen fungsi Dirac nilainya menjadi kecil ketika momentumnya kecil. Kemudian ditulis persamaaan yang me- menuhi empat komponen dan menyelesaikannya dengan pendekatan: dua dari per-

Metode tersebut menunjukkan kesetaraan teori Dirac dan Pauli yang mene- mui kesulitan, jika dianggap pada pendekatan yang melebihi derajat terendah.Pada teori Dirac, operator yang mewakili kecepatan partikel adalah operator α yang kom- ponennya hanya memiliki swanilai ±1. Sedangkan pada teori Pauli, operator yang mewakili kecepatan partikel adalah p/m yang berupa komponen dengan swanilai be- rupa semua bilangan real. Komponen yang berbeda dalam operator kecepatan pada teori Dirac tidak rukun dan diukur serentak dengan ketepatan berubah-ubah, sedang- kan komponen yang berbeda dalam operator kecepatan pada teori Pauli bersifat rukun serta dapat diukur serentak dengan ketelitian yang berubah-ubah. Dari sini lalu timbul pertanyaan, bagaimana mungkin operator yang wakilan pada peubah fisisnya sama namun pada dua teori tersebut mempunyai sifat-sifat yang berbeda?

Dari penjelasan di atas dapat diperoleh pernyataan bahwa hubungan antara teori Dirac dan teori Pauli sama sekali tidak bisa dijelaskan dari metode yang bi- asanya, yaitu fungsi gelombang komponen-empat diubah ke komponen-dua, dan pada penjelasan selanjutnya sangat diperlukan hubungan antara kedua teori tersebut. Pem- bahasan selanjutnya akan ditampilkan metode lain untuk mengubah dari fungsi ge- lombang komponen-empat ke komponen-dua pada teori Dirac. Metode ini berupa alih ragam ke wakilan baru untuk teori Dirac, dengan meletakkan teori dalam bentuk tertutup analogi dengan teori Pauli dan memperbolehkan perbandingan langsung dari keduanya. Secara khusus akan ditunjukkan bahwa:

1. Untuk partikel Dirac bebas, ada wakilan teori Dirac untuk tenaga relativistik dan non-relativistik, keadaan tenaga positif dan keadaan tenaga negatif terpisah

2. Ada operator posisi yang lain pada teori Dirac, disamping operator posisi yang biasanya dikenal. Operator ini mempunyai sifat derivatif waktu yang beru- pa p

/(m 2 +p ) untuk keadaan tenaga positif dan 2 −p/(m 1/2 +p ) untuk keadaan tenaga negatif, dalam hubungannya dengan konsep kecepatan partikel.

Operator posisi yang baru ini sering disebut operator rerata posisi, dan dalam pendekatan nonrelativistik ditafsirkan sebagai operator posisi pada teori Pauli.

3. Komponen z dari operator spin, σ = (1/2i)[α × α], pada teori Dirac bukan- lah konstanta gerak, sehingga ada operator spin lain pada teori Dirac yaitu σ (yang dinamakan operator rerata-spin), dengan komponen z berupa konstanta gerak. Pada pendekatan nonrelativistik, operator σ adalah salah satu dari yang diartikan sebagai operator spin pada teori Pauli.

Alasan mendasar untuk menerangkan mengapa komponen empat secara umum digunakan dalam menjelaskan keadaan tenaga positif/negatif dalam wakilan teori Dirac, yaitu persamaan (IV.3), adalah karena Hamiltonan pada persamaan tersebut mengandung operator ganjil, khususnya pada bagian operator α. Jika dimungkin- kan untuk membuat alih ragam kanonik pada persamaan (IV.3) yang mengubahnya menjadi bentuk yang bebas dari operator ganjil, maka akan dimungkinkan pula untuk membuat wakilan keadaan tenaga positif dan negatif dengan fungsi gelombang yang hanya memiliki dua komponen pada tiap keadaan dan pasangan komponen yang lain- nya bernilai nol. Penjelasan selanjutnya akan menunjukkan berlakunya alih ragam kanonik semacam ini.