B. Perjalanan, Perjalanan Kecil, Lintasan, dan Putaran
Definisi 2.6
Perjalanan walk pada suatu graf G ialah barisan simpul dan ruas yang bergantian, dimulai dan diakhiri dengan simpul, dimana setiap ruas bertemu
dengan simpul di kanan kirinya.
Contoh 2.4 :
v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
e
1
e
2
e
4
e
3
e
5
e
6
e
7
Gambar 2.4
Pada graf G di atas contoh perjalanan ialah lintasan P v
1
e
3
v
3
e
4
v
4
e
4
v
3
dan biasa ditulis perjalanan v
1
-v
3
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Menyajikan suatu perjalanan dapat dilakukan dengan hanya menulis simpul- simpul yang dilaluinya, sehingga perjalanan di atas dapat ditulis v
1
v
3
v
4
v
3
ruas- ruas tidak ditulis.
Dalam suatu perjalanan simpul dan ruas boleh di ulang dapat muncul lebih dari satu kali.
Apabila simpul awal sama dengan simpul akhir maka perjalanan itu disebut tertutup, contohnya v
1
v
3
v
4
v
3
v
2
v
3
v
1
pada graf G dalam gambar 2.4 diatas. Apabila
tidak demikian maka perjalanannya disebut terbuka.
Definisi 2.7
Perjalanan kecil trail adalah perjalanan dimana semua ruas dalam barisan tersebut berbeda tidak diulang, tetapi simpul-simpul boleh diulang.
Contoh 2.5 :
Perjalanan kecil pada graf G dalam gambar 2.4 di atas adalah v
1
v
2
v
3
v
1
v
4
. Tampak bahwa semua ruas yang dilalui berlainan tetapi v
1
diulang.
Definisi 2.8
Lintasan path ialah suatu perjalanan kecil dimana semua simpul-simpulnya berlainan kecuali jika perjalanan kecil itu itu tertutup sehingga simpul awal sama
dengan simpul akhir. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.6 :
Lintasan pada graf G dalam gambar 2.4 di atas ialah lintasan Q = v
1
v
2
v
3
v
4
dan biasa ditulis lintasan v
1
-v
4
. Berdasarkan definisi-definisi diatas maka : Pada suatu perjalanan, simpul maupun
ruas boleh diulang. Pada suatu perjalan kecil, simpul-simpulnya boleh diulang, namun ruas-ruasnya semua berlainan. Sedangkan pada suatu lintasan, simpul-
simpul maupun ruas-ruasnya semua berlainan kecuali lintasan tertutup.
Definisi 2.9
Putaran cycle adalah suatu lintasan yang tertutup. Jika putaran itu mempunyai 3 ruas maka disebut segitiga.
Contoh 2.7 :
Gambar 2.5
Pada graf tersebut salah satu putaran adalah v
1
v
2
v
3
v
4
v
1.
Definisi 2.10
Panjang suatu perjalanan ialah banyaknya ruas yang muncul pada perjalanan itu. Suatu ruas yang muncul dua atau tiga kali, dihitung dua atau tiga kali juga pada
perhitungan panjang perjalanan itu. Sebagai catatan bahwa panjang tidak ditentukan dengan menggunakan sentimeter
melainkan dengan menggunakan definisi di atas.
Contoh 2.8 :
v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
e
1
e
2
e
4
e
3
e
5
e
6
e
7
G
Gambar 2.6
Perjalanan pada graf G dalam gambar 2.6 misalnya v
1
v
2
v
3
v
1
v
3
v
4
memilki panjang 5.
Teorema 2.1
Tiap perjalanan u-v dalam graf mengandung lintasan u-v.
Bukti :
Misal W sebuah adalah perjalanan u-w dalam graf G.Jika W tertutup, jelas mengandung lintasan. Diberikan W:u=u
,u
1
,u
2
,…,u
k
=v sebuah perjalanan terbuka u-v dari graf G.Jika tidak ada simpul dari G terdapat dalam W lebih dari
sekali,maka W adalah lintasan u-v. Dilain pihak,jika terdapat simpul dari G yang terdapat dalam W dua kali atau lebih.
Misal i dan j bilangan positif yang berbeda,dengan i ≤ j, sedemikian hingga
u
i
=u
j
.Jika u
i
,u
i+1
,…,u
j-1
dihapus dari W, sebuah perjalanan u-v, diperoleh memiliki simpul lebih sedikit dari W. Jika tidak terdapat pengulangan dari simpul-simpul
dalam W
1
, maka W
1
adalah lintasan u-v. Jika terdapat pengulangan simpul dalam W
1
, lanjutkan langkah di atas sampai akhirnya mendapatkan perjalanan u-v yang mengandung lintasan u-v.
■
C. Derajat Suatu Graf
Kategori