Teorema 2.1
Tiap perjalanan u-v dalam graf mengandung lintasan u-v.
Bukti :
Misal W sebuah adalah perjalanan u-w dalam graf G.Jika W tertutup, jelas mengandung lintasan. Diberikan W:u=u
,u
1
,u
2
,…,u
k
=v sebuah perjalanan terbuka u-v dari graf G.Jika tidak ada simpul dari G terdapat dalam W lebih dari
sekali,maka W adalah lintasan u-v. Dilain pihak,jika terdapat simpul dari G yang terdapat dalam W dua kali atau lebih.
Misal i dan j bilangan positif yang berbeda,dengan i ≤ j, sedemikian hingga
u
i
=u
j
.Jika u
i
,u
i+1
,…,u
j-1
dihapus dari W, sebuah perjalanan u-v, diperoleh memiliki simpul lebih sedikit dari W. Jika tidak terdapat pengulangan dari simpul-simpul
dalam W
1
, maka W
1
adalah lintasan u-v. Jika terdapat pengulangan simpul dalam W
1
, lanjutkan langkah di atas sampai akhirnya mendapatkan perjalanan u-v yang mengandung lintasan u-v.
■
C. Derajat Suatu Graf
Definisi 2.11
Derajat degree suatu simpul adalah banyaknya ruas yang bertemu di simpul itu. Sedangkan jumlah derajat semua simpul graf G disebut derajat Graf G.
Derajat terkecil dari suatu graf G adalah derajat terkecil dari simpul-simpul dari G, biasa dituliskan dengan
δG. Sedangkan derajat terbesar dari suatu graf G adalah derajat terbesar dari simpul-simpul dari G,biasa ditulis dengan
ΔG . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.9 :
v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
e
1
e
2
e
4
e
3
e
5
e
6
e
7
G
Gambar 2.7
Pada graf G diatas derajat degree dari v
1
disingkat deg v
1
adalah 4, deg v
2
= 2, deg v
3
= 2, deg v
4
= 3, dan deg v
5
= 2. δG=2 dan ΔG=4
Teorema 2.2 The Handshaking Lemma
Hasil penjumlahan derajat-derajat dari semua simpul pada setaip graf adalah sama dengan dua kali banyaknya ruas dari graf tersebut.
Apa bila banyaknya simpul dari graf G di sajikan dengan huruf n dan banyaknya ruas disajikan dengan huruf m disingkat suatu n,m graf maka teorema 2.1
diatas dapat disajikan dengan rumus :
∑ deg v
i
= 2 m
Bukti :
Menurut definisi 2.1 datum 3 tentang konsep graf, setiap ruas terletak antara dua simpul. Sehingga sumbangan tiap ruas pada
∑ deg v
i
adalah 2. Karena banyaknya ruas adalah m maka di dapat
∑ deg v
i
= 2m. ■
Definisi 2.12
Suatu simpul dengan derajat nol disebut simpul terasing isolated vertex sedangkan simpul dengan derajat satu disebut simpul akhir end vertex.
Definisi 2.13
Sebuah graf sebuah graf G adalah beraturan dengan derajat r jika deg v=r untuk tiap simpul v dari G.
Contoh 2.10 :
Dibawah ini disajikan graf-graf beraturan dengan derajat masing- masing simpul 0, 1, dan 3.
Gambar 2.8
Suatu fakta yang harus diperhatikan adalah bahwa pada suatu putaran, banyaknya simpul = banyaknya ruas.
Contoh 2.11 :
C
5
: Putaran dengan 5 simpul dan 5 ruas
Gambar 2.9
Definisi 2.14
Graf G disebut terhubung connected jika dan hanya jika setiap dua simpul yang berlainan dihubungkan dengan sekurang-kurangnya satu lintasan.
Apabila tidak demikian, yaitu jika ada dua simpul yang tidak dihubungkan dengan suatu lintasan, graf itu disebut tidak terhubung disconnected.
Contoh 2.12 :
Gambar 2.10 Definisi 2.15
Suatu graf G disebut lengkap complete jika setiap dua simpulnya bertetangga. Jadi suatu graf lengkap berorder n dan berukuran m adalah sebuah graf beraturan
berderajat n-1 dan mempunyai m=nn-12, dan graf ini ditulis dengan K
n
.
Contoh 2.13
:
Graf K
5
Gambar 2.11
Definisi 2.16
Suatu graf G disebut bipartite disingkat bigraf jika dan hanya jika dipenuhi : 1.
Himpunan simpul-simpul dari G dapat dipisahkan atas dua himpunan V
1
dan V
2
yang saling asing V
1
∩
V
2
= φ .
2. Setiap ruas x dari G menghubungkan simpul di V
1
dengan simpul di V
2
. Sehingga tidak ada simpul-simpul di V
1
yang terhubungkan satu dengan yang lain. Demikian juga dengan simpul-simpul di V
2
. Apabila setiap simpul di V
1
bertetangga dengan setiap simpul di V
2
maka disebut bipartite lengkap graf. Jika V
1
mempunyai m simpul dan V
2
mempunyai n simpul maka complete bipartite tersebut disajikan dengan K
m,n
. Bigraf lengkap K
1,n
disebut “star” bintang.
Contoh 2.14 :
Graf bipartite PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Graf bipartite lengkap
Gambar 2. 12
Definisi 2.17
Suatu pohon tree adalah graf terhubung yang tidak memuat putaran cycle.
Contoh 2.15 :
Pohon
Gambar 2.13
Definisi 2.18
Misal suatu graf G dengan himpunan simpul V dan himpunan ruas E. Suatu subgraf dari G adalah graf yang semua simpulnya menjadi bagian dari V dan
semua ruasnya menjadi bagian dari E.
Contoh 2.16 :
Jika G suatu graf terhubung dibawah ini, dimana V = {v
1
,v
2
,v
3
,v
4
} dan E = { e
1
,e
2
,e
3
,e
4
,e
5
} dengan e
1
= v
1
,v
2
, e
2
= v
1
,v
3
, e
3
= v
2
,v
4
, e
4
= v
2
,v
3
, e
5
= v
3
,v
4
maka graf berikut ini adalah subgraf dari G.
4
Graf G
Gambar 2.14
Gambar 2.15
V = {v
1
,v
2
,v
3
,v
4
} E = {e
1
,e
2
,e
3
} dimana e
1
= v
1
,v
3
, e
2
= v
2
,v
3
, e
3
= v
3
,v
4
Gambar 2.15 merupakan subgraf dari graf G di atas.
Definisi 2.19
Jika U adalah subhimpunan tidak kosong dari himpunan simpul VG dari graf G, maka subgraf
〈U〉 dari G diinduksi oleh U adalah graf yang memiliki simpul U dan yang himpunan ruasnya terdiri dari ruas-ruas dari G yang bertemu dengan dua
anggota dari U. Sebuah subgraf H dari G disebut simpul-induksi atau diinduksi sederhana jika
H = 〈U〉 untuk suatu subhimpunan U dari VG.
Contoh 2.17 :
VG = {v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
} 〈U〉 = {v
1
,v
2
,v
5
} PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
〈U〉 :
Gambar 2.16
Definisi 2.20
Graf trivial adalah graf yang tidak memiliki ruas.
Definisi 2.21
Misal G suatu graf terhubung. Suatu pohon penyangga spanning tree pada G adalah suatu subgraf dari G yang memuat semua simpul dari G dan juga
merupakan suatu pohon. Ruas dari pohon disebut cabang branches.
Contoh 2.18 :
x y
z v
w
z y
x w
v
graf G pohon penyangga
Gambar 2.17
Definisi 2.22
Sebuah simpul dari graf terhubung adalah cut-vertex jika penghapusannya menghasilkan graf yang tidak terhubung.
Teorema 2.3
Sebuah simpul v dari graf G disebut cut-vertex jika dan hanya jika terdapat simpul-simpul u dan w u,w
≠ v dimana v berada dalam tiap lintasan u-w dari G.
Bukti :
Cukup dibuktikan untuk graf terhubung. Misal v sebuah cut-vertex dari G;maka graf G
− v tidak terhubung. Jika u dan w simpul-simpul dalam komponen berbeda dari G
− v, maka tidak terdapat lintasan u-w dalam G − v. Bagaimanapun,karena G terhubung, terdapat lintasan u-w dalam G. Selanjutnya, tiap lintasan u-w dari G
mengandung v. Kebalikannya, anggap bahwa terdapat simpul u dan w dalam G yaitu simpul v
berada pada tiap lintasan u-w dari G. Maka tidak terdapat lintasan u-w dalam G
− v. Akibatnya G − v tidak terhubung dan v adalah cut-vertex dari G. ■
Definisi 2.23
Sebuah graf terhubung yang tidak kosong tanpa cut-vertices disebut graf yang tidak dapat dipisahkan.
Definisi 2.24
Sebuah ruas dalam graf terhubung adalah jembatan jika penghapusannya mengakibatkan sebuah graf tidak terhubung.
Teorema 2.4
Sebuah ruas e dari graf G adalah jembatan jika dan hanya jika e tidak terdapat dalam putaran dari G.
Bukti :
Anggap, tanpa kehilangan keadaan umum,bahwa G adalah terhubung, karena e=u,v sebuah ruas dari G, dan anggap bahwa e berada pada putaran C dari
G.Selanjutnya, diberikan w
1
dan w
2
sembarang simpul-simpul berbeda dari G.Jika e tidak berada pada w
1
-w
2
lintasan P dari G, maka P juga merupakan lintasan w
1
-w
2
dalam G − e. Jika,bagaimanapun e berada pada lintasan w
1
-w
2
dari G, kemudian menggantikan e dengan lintasan u-v atau lintasan v-u dan C tidak
mengandung e menghasilkan perjalanan w
1
-w
2
dalam G − e.Dengan teorema 2.1
terdapat lintasan w
1
-w
2
dalam G − e. Karena w
1
dan w
2
terhubung dalam G − e
sehingga e bukan jembatan. Kebalikannya, anggap bahwa e bukan jembatan dari G.Karena G
− e terhubung. Oleh karena itu terdapat lintasan u-v dalam G
− e; bagaimanapun P bersama dengan e menghasilkan putaran dalam G mengandung e.
■ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.5
Sebuah graf G yang mempunyai order paling sedikit 3 adalah tidak dapat dipisahkan jika dan hanya jika setiap dua simpul dari G berada pada suatu simpul
umum dari G.
Bukti :
Diberikan G sebuah graf yang tiap dua dari simpul-simpulnya berada pada putaran.Sehingga G terhubung.Anggap bahwa G dapat dipisahkan.Oleh karena itu
G mengandung sebuah cut-verrtex v.Dengan teorema 2.3, terdapat simpul u dan w sedemikian hingga v berada pada lintasan u-w dalam G. Diberikan C sebuah
putaran dari G yang mengandung u dan w. Putaran C menentukan u-w dua lintasan yang berbeda;satu yang tidak mengandung v, berlawanan dengan fakta
bahwa tiap lintasan u-w mengandung v. Karena itu, G tidak dapat dipisahkan. Sebaliknya, diberikan G sebuah graf yang tidak dapat dipisahkan dengan paling
sedikit tiga simpul. Tunjukkan bahwa tiap dua simpul dari G berada pada putaran umum dari G. Diberikan u sebuah simpul sembarang dari G, dan ditulis dengan U
himpunan dari semua simpul-simpul yang berada pada sebuah lintasan yang mengandung u.
Tunjukkan bahwa U=V=VG. Anggap bahwa U ≠ V; maka terdapat sebuah
v .
U V
− ∈
Karena G tidak dapat dipisahkan, sehingga tidak mengandung cut-vertice, dan lebih lanjut,karena derajat dari G paling sedikit 3, graf G tidak mengandung
jembatan. Berdasarkan teorema 2.3, setiap ruas dari G berada pada suatu putaran dari G; karena itu, setiap simpul bertetangga pada u merupakan suatu anggota dari
U. Karena G terhubung, terdapat sebuah lintasan u-v, u = u
0,
u
1,
u
2 ,
...,u
k
=v dalam G. Ambil i bilangan bulat terkecil, 2
≤ i ≤ k, yakni u
i
∉U; demikian u
i-1
∈
U. Ambil C menjadi sebuah putaran mengandung u dan u
i-1
. Karena u
i-1
buka cut-vertex dari G, terdapat suatu lintasan u
i
-u : u
i
= v ,v
1
,v
2
,…v
l
= u tidak mengandung u
i-1
. Jika hanya simpul umumnya pada P dan C adalah u, maka terdapat suatu putaran
bertetangga pada u dan u
i
, yang menghasilkan suatu kontradiksi. Karena itu P dan C memiliki sebuah simpul yang umumnya berbeda dari u. Ambil j menjadi
bilangan bulat terkecil 1 j ≤ ≤ l, yakni v
j
termasuk pada keduannya P dan C. Suatu putaran mengandung u dan u
i
sekarang dapat di kontruksikan yang awalnya dengan u
i
-v
j
bagian lintasan dari P, pada sepanjang C dari v
j
ke u dan lalu ke u
i-1
, dan akhirnya mengambil ruas u
i-1
u
i
kembali ke u
i
. Demikian, kontradiksi timbul lagi, berarti bahwa tidak terdapat simpul v dan bahwa setiap dua simpul berada
pada sebuah putaran. ■
Definisi 2.25
Sebuah blok dari graf G adalah maximal subgraf yang tidak dapat dipisahkan dari G.
Jika suatu graf terhubung G mengandung sebuah blok, maka G adalah graf yang tidak dapat dipisahkan. Dengan alasan ini, suatu graf yang tidak dapat dipisahkan
juga merupakan sebuah blok untuk dirinya sendiri.Tiap dua blok mempunyai paling banyak satu simpul bersama,disebut suatu cut-vertex.
Pada gambar dibawah ini memiliki lima blok B
i,
1 , yang
dismpulkan.Simpul v 5
≤ ≤ i
3
,v
5
dan v
8
adalah cut-vertices. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.18
Definisi 2.26
Setiap graf tidak terhubung dapat dibagi menjadi sejumlah subgraf terhubung yang disebut komponen.
Nilai dari komponen dari graf G dilambangkan dengan kG.
Definisi 2.27
Sebuah jembatan yang bertemu dengan sebuah simpul akhir disebut ruas melingkarpendant edge.
Definisi 2.28
Sebuah simpul bagian dalam dari lintasan u-v dalam P adalah banyaknya simpul dari P yang berbeda dari u atau v.
Definisi 2.29
Suatu himpunan {P
1
,P
2
,…,P
k
} dari lintasan dikatakan memisah secara internal jika tiap simpul dari Pii=1,2,…,k tidak berada pada lintasan P
j
j i. Secara
khusus, dua lintasan u-v disebut memisah secara internal jika mereka tidak memiliki simpul secara umum, selain dari u dan v.
≠ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III GRAF PLANAR
