individu ke-j mengalami kejadian berulang ke-k atau tersensor kanan dan
jk
Z
=
1
,...,
jk pnK
Z Z
adalah vektor kovariat fixed dengan ukuran p, maka dengan mengikuti persamaan 2.20, akan diketahui model Hazard Aditif Lin dan Ying untuk kejadian berulang, yaitu :
1 p
jk k
i ijk
i
t Z t
t Z
t
, 6
dengan
i
= koefisien regresi, dengan ukuran
1,..., i
p
.
0k
t
= fungsi baseline untuk kejadian ke-k
3.1 Estimasi Baseline Hazard
Untuk mencari estimasi koefisien regresinya, perlu dicari terlebih dahulu estimasi untuk fungsi baseline Hazard kumulatifnya. Estimator ini dapat dicari menggunakan teori proses
Counting. Proses Counting
N t M t
t
dapat dijabarkan sebagai berikut :
t jk
jk jk
jk jk
jk
N t
M t
Y u
u Z
u dt
, 7
dengan
jk
M t merupakan Martingale. Klein Moeschberger, 2003
Estimator dari fungsi regresi Hazard Aditif kumulatif dapat diperoleh dari penjabaran proses counting yaitu dengan menurunkan persamaan 3.2 menjadi :
1 1
1 n
n n
jk jk
jk jk
jk jk
j j
j
dN t
dM t
Y t
t Z
t dt
Setelah diturunkan,
kemudian persamaaan
tersebut diintegralkan
agar didapat
1 t
n jk
j
u du
, sebagai berikut :
1 1
1 1
1 n
n t
t t
n jk
jk jk
jk jk
j j
jk n
n j
jk jk
j j
dN u
Y u
Z u
du dM
u u du
Y u
Y u
,
dengan
1 1
n t
jk j
n jk
j
dM u
Y u
merupakan komplemen error, di mana
jk
E dM t
akan dapat
diperoleh estimasi dari
t jk
k
u du u
sebagai berikut :
1 1
ˆ
n t
jk jk
jk jk
j k
n jk
j
dN u
Y u
Z u
du t
Y u
8 Klein Moeschberger, 2003
Estimasi fungsi Hazard akan disubstitusikan pada persamaan skor yang akan diperoleh pada langkah berikutnya.
3.2 Estimasi Koefisien Regresi
Untuk mengestimasi koefisien regresi, Lin dan Ying meniru persamaan skor dari model regresi Cox, dengan mengganti fungsi Hazard pada persamaan skor yang diperoleh dari
penurunan log partial likelihood-nya. Langkah-langkah mencari persamaan skor model Cox adalah sebagai berikut.
Diketahui K sebagai banyaknya event
1, 2,..., k
K
, Partial Likelihood dari model regresi Cox adalah :
1 1 0
1
exp exp
jk
dN t
K n
jk jk
n k
j t
jk jk
j
Y t
Z t
L Y
t Z
t
9 Akan dicari logaritma dari partial likelihood pada persamaan 9 didapat sebagai berikut :
1 1 0
1
exp log
log exp
jk
dN t
K n
jk jk
n k
j t
jk jk
j
Y t
Z t
L Y
t Z
t
1 1
1
log log
exp
K n
n jk
jk jk
jk jk
k j
j
Y t
Z t
Y t
Z t
dN t
10 Untuk mendapatkan persamaan skor model Cox dengan kejadian berulang
K , dapat diperoleh dengan menurunkan
log L terhadap , sebagai berikut :
log L U
1 1
1 1
exp
exp
K n
jk jk
jk jk
jk k
i n
jk i
n jk
jk i
Z t dN
t Z
t Y t
Z t
dN t
Y t
Z t
11
dengan,
1 1
ˆ ,
exp
n jk
i k
n jk
jk i
dN t
d t
Y t
Z t
12 Persamaan 12 adalah estimator Breslow untuk baseline Hazard pada model Cox. Jika
ˆ ,
k
d t
pada persamaan 12 disubstitusikan ke dalam persamaan 11, maka akan diperoleh persamaan skor model regresi Cox sebagai berikut :
1 1
1 1
exp
exp
K n
jk jk
jk jk
jk k
j n
jk j
n jk
jk j
U Z
t dN t
Z t Y
t Z
t dN
t Y
u Z
t
1 1
ˆ exp
,
K n
jk jk
jk jk
jk k
k j
Z t dN
t Z
t Y t
Z t
d t
1 1
ˆ exp
,
K n
jk jk
jk jk
k k
j
Z t
dN t
Y t
Z t
d t
13
Seperti yang dijelaskan sebelumnya, bahwa Lin Ying meniru persamaan skor
U
di atas dengan cara mengganti fungsi Hazard Cox
ˆ exp
,
jk k
Z t
d t
dengan
fungsi Hazard Aditif Lin Ying
ˆ
k jk
d t
Z t dt
sesuai persamaan 2.21 didapat :
1 1
ˆ
K n
jk jk
jk k
jk k
j
U Z
t dN
t Y
t d
t Z
t dt
.
1 1
ˆ
K n
jk jk
jk k
jk jk
k j
Z t
dN t
Y t d
t Y
t Z
t dt
, 14
dengan sebagai koefisien regresi yang akan diestimasi.
Diketahui bahwa
ˆ
k
t
dapat dilakukan penjabaran untuk memperoleh persamaan skor model Hazard Aditif Lin Ying dengan mensubstitusikan
ˆ
k
t
, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
1 1
1 1
n jk
jk K
n j
jk jk
jk jk
n k
j jk
j
Z t Y
t U
Z t
dN t
Y t
Z t dt
Y t
15
dengan
jk
Z t
1 1
n jk
jk j
n jk
j
Z t Y
t Y
t
Estimasi dari koefisien regresi ߚመ, diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
U
sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi log likelihood, maka dilakukan penjabaran sehingga didapat :
1 1
1 1
n jk
jk K
n j
jk jk
jk jk
n k
j jk
j
Z t Y
t U
Z t
dN t
Y t Z
t dt
Y t
,
1 1
1 1
n jk
jk K
n j
jk jk
jk jk
n k
j jk
j
Z t Y
t Z
t dN
t Y
t Z t
dt Y
t
, akan didapat persamaan
1 1
1 1
K n
K n
k k
jk jk
jk jk
k j
k j
k jk
Z t
Z t
dN t
Y t
Z t
Z t
Z t
Z t
dt
16 dari persamaan di atas dapat diperoleh persamaan
, yaitu :
1 1
1 1
1 K
n k
jk jk
k j
K n
k k
jk jk
jk k
j
Z t
Z t
dN t
Y t
Z t
Z t
Z t
Z t
dt
17
3.3 Aditif untuk Cause Specific