Proportional Hazard, hanya dapat memberikan pemahaman tentang hubungan penyebab penyakit, sedangkan model Hazard aditif ini lebih berguna untuk perencanaan kesehatan
masyarakat dan pencegahan. Hal tersebut dikarenakan Cox Proportional Hazard lebih fokus pada Hazard ratio, sedangkan aditif Hazard fokus pada estimasi dari koefisien regresi, sehingga
apabila risiko penyakit menjadi perhatian utama maka model aditif Hazard lebih cocok. Model aditif yang dikenalkan ada dua, yang pertama dikenalkan oleh Aalen, dimana koefisien regresi
adalah fungsi yang nilainya berubah setiap waktu. Model aditif kedua dikenalkan oleh Lin Ying dimana koefisien regresinya adalah fungsi yang nilainya konstan Azizah, 2013. Pada
regresi hazard Aalen, koefisien regresi tidak dapat dicari langsung, sedangkan kelebihan dari regresi hazard Lin Ying adalah estimasi koefisien regresinya dapat dicari langsung dengan
menggunakan metode maximum likelihood seperti pada model Cox, sehingga lebih mudah dalam mengintepretasikannya.
Seringnya penyakit yang timbul dikarenakan tidak hanya satu penyebab saja melainkan banyak penyebab, terutama pada penyakit kronis, sehingga perlu mencari akar penyebab
penyakit. Hal tersebut menarik karena terdapat interaksi antar faktor-faktor yang nantinya dapat memiliki dampak yang tak terduga. Inilah mengapa penelitian ini dinamakan multivariat
survival. Tujuan untuk mempelajari teknik ini adalah agar lebih memahami bahwa perubahan penyebab penyakit seringnya akan menghasilkan perubahan dalam risiko juga, untuk itu perlu
upaya dalam mengendalikan faktor risiko dengan mengetahui faktor risiko yang dapat memicu timbulnya serangan stroke berulang. Faktor risiko inilah yang akan dianalisis menggunakan
cause specifik, yaitu penyebab khusus yang mengakibatkan serangan stroke berulang. Di dalam kasus penelitian ini, penyebab terjadinya stroke berulang adalah adanya beberapa penyakit,
seperti kelainan jantung, infeksi paru-paru dan dislipidemia.
Atas dasar inilah penulis ingin membahas kajian tentang pemodelan regresi Hazard aditif Lin Ying untuk waktu tunggu kejadian berulang dengan cause specific.
2. Model Regresi Hazard Aditif
Model aditif yang dikenalkan oleh Lin Ying 1995 dimana mengganti
i
t
dengan
i
. Untuk mengestimasi model ini berdasarkan pada persamaan estimasi yang diperoleh dari
persamaan skor. Metode yang digunakan menyerupai maximum partial likelihood pada regresi Cox. Menurut penelitian Rahma 2013, Hazard aditif model Lin Ying memiliki kelebihan
dibandingkan dengan model Aalen, dikarenakan koefisen regresinya dapat diestimasi secara langsung sehingga lebih mudah dalam mengintepretasikannya. Berbeda dengan Hazard aditif
model Aalen, koefisien regresi tidak dapat dicari secara langsung. Berikut akan dibahas sedikit tentang Model Hazard Aditif Lin dan Ying.
Model Hazard Aditif Lin dan Ying yang koefisien regresinya konstan dengan laju Hazard bersyarat pada individu j dengan vector kovariat
ij
Z t , yaitu :
1 p
j i
ij i
t Z t
t Z
t
, 1
dengan
i
= parameter tidak diketahui, dengan
1,..., i
p
.
t
= fungsi baseline.
Jika proses counting
j
N t
didefinisikan sebagai kumpulan individu sebanyak n dengan individu ke-j dicatat sebagai event yang terjadi sampai waktu t, maka fungsi intensitas untuk
j
N t diberikan :
;
j j
j j
Y t d t Z
Y t d
t Z
t dt
2 dengan
j
Y t bernilai 1 jika individu j berisiko pada waktu t, sebaliknya
j
Y t bernilai 0 jika individu j tidak berisiko pada waktu t.
Misalkan
N t sebuah proses Counting dan Kumulatif baseline Hazard didefinisikan oleh :
t
t u du
. Jika diketahui
t
N t u du
adalah suatu proses Martingale, maka
t
disebut intensitas dari
N t . Dari proses Counting dan proses intensitas tersebut, dapat dibentuk proses Martingale, yaitu
M t N t
t
. Proses Martingale mempunyai sifat
ekspektasi selisih dari proses tersebut bila diberikan informasi sampai sesaat sebelum t, sama dengan nol atau
t
E dM t
F
. Aalen, 2008. Fungsi kumulatif Hazard
t
dapat diestimasi sebagai berikut dengan menggunakan maksimum likelihood :
1 1
ˆ ˆ
n t
j j
j j
n j
j
dN u
Y u Z
u du t
Y u
3 Fungsi skor partial likelihood untuk mengestimasi
adalah :
1
ˆ ,
n t
j j
j j
j
U Z t
dN t
Y t d t
Y t Z
t dt
1 n
j j
j j
j
U Z
t Z t
dN t
Y t Z
t dt
4 Dengan
Z t yang merupakan rata-rata dari kovariat pada waktu t, yaitu :
1 1
n j
j j
n j
j
Z Y t Z t
Y t
Hasil estimasinya adalah :
1 2
1 1
ˆ
n n
i i
i i
i i
Y t Z t
Z t dt
Z t Z t dN t
5
3. Model Regresi Hazard Aditif untuk Kejadian Berulang
