UVOD: PRIPREMNI MATERIJAL

1.2.2. Relacije

Za svaka dva elementa a, b možemo formirati skup koji kao jedine elemente ima a i b, pri čemu ne isključujemo mogućnost a = b, kada se skup {a, b} svodi na skup {a}. Par elemenata

a , b kod koga se zna koja mu je prva komponenta (koordinata, projekcija), a koja druga, zove se uređen par i označava (najčešće) sa (a, b). Međutim, uređen par može se definirati pomoću pojma skup. Navodimo jednu takvu definiciju (kao jednu od mogućih preciznijih definicija uređenog para) koju su dali N. Wiener i C. Kuratowski:

Definicija 1.2.1. Uređen par redom elemenata a i b, u oznaci (a, b), jeste skup {{a}, {a,b}}. U uređenom paru (a,b) element a se zove prva komponenta, a b – druga

komponenta.

Uređenu trojku redom elemenata a, b, c definiramo kao ((a,b), c), odnosno, uopšte uređena n-torka redom elemenata a 1 ,a 2 , ... , a n- 1 ,a n je, ((a 1 ,a 2 , ... , a n -1 ) , a n ) (n 3). Uvodimo još (a 1 )=a 1 . Za n = 0 posmatra mo uređenu 0-torku kao skup  .

Polazeći od definicije pojma uređenog para pomoću pojma skupa, dokazuje se da vrijedi sljedeća teorema o uređenom paru:

Teorema 1.2.1. Dva uređena para su međusobno jednaka akko su im jednake (međusobno) odgovarajuće komponente, tj.

(a, b) = (c, d) (a = c  b = d).

Ako su A i B skupovi, onda skup svih uređenih parova (a, b) kod kojih je aA, bB označavamo sa A x B i nazivamo Dekartov (ili Kartezijev 2 , ili direktni) proizvod skupa A i

skupa B, tj. A x B: ={(a, b) | aA  bB }.

Kako je (a, b)  (b, a) izuzev kada je a = b , to u opštem slučaju skupovi A x B i B x A nisu jednaki; ovi skupovi jednaki su samo kad je A = B ili kada je bar jedan od skupova A, B prazan. Ako skupovi A i B nisu prazni, onda ni A x B nije prazan skup. Ako je jedan od skupova A i B prazan, onda je i skup A x B prazan.

Analogno kao što smo definirali Dekartov proizvod dvaju skupova, definiramo i Dekartov proizvod triju i više skupova, te imamo ovu definiciju.

Definicija 1.2.2. Dekartov (ili direktni) proizvod redom skupova A 1 ,A 2 , ... , A n , u oznaci

) , jeste skup svih uređenih n-torki (a

A 1 xA 2 x ... x A n (ili  A k , ili k X A 1 ,a 2 , ... , a n ), gdje je

a 1 A 1 ,a 2 A 2 , ... , a n A n , ; odnosno:

A 1 xA 2 x ... x A n :={ (a 1 ,a 2 , ... , a n )|a 1 A 1 ,a 2 A 2 , ... , a n A n }. Ako je A n

1 =A 2 = ... = A n = A, onda A 1 xA 2 x ... x A n označavamo sa A i nazivamo n-tim Dekartovim stepenom skupa A. Pri tome je A 1 = A.

René Descartes (Cartesius) (1596-1650) – francuski filozof, matematičar i fizičar

3 S tim u vezi skup A = (AA) zovemo Dekartov (direktni) kvadrat skupa A, a skup A = (AxAxA) Dekartov kub(us) skupa A.

Podskup skupa A 2 , koji se sastoji od svih uređenih parova kojima je prva komponenta

2 2 jednaka drugoj, zovemo dijagonalom skupa A i označavamo ga sa D (A ) (ili 

A ), tj.

2 D (A ):={(a, a) | aA}.

2 (npr., ako je A={-1, 0, 1}, onda je D ( A ) = {(-1, -1), (0, 0), (1, 1)}.)

Između elemenata nekog skupa A i elemenata nekog skupa B mogu postojati najrazličitije relacije (veze ili odnosi). Evo primjera.

Primjer 1.2.2. Neka je S = {1, 2, 3, ... }. Za element a  S kažemo da je u relaciji ''biti manji od'' s elementom bS i pišemo a < b akko je b – a S. Relaciju ''biti manji od'' označili smo sa <. Lako se vidi da ta relacija određuje jedan podskup skupa SxS, naime podskup

R :={(a, b) S x S | b - aS}, (čiji je grafički prikaz dat na sl. 1.2.4). Skup R je iznad dijagonale D(S 2 ): predstavljen punim

kružićima na sl. 1.2.4. Prema tome, bit će a < b akko je (a, b)R.

Sl. 1.2.4.

Sl. 1.2.5.

Primjer 1.2.3. Neka je S skup svih trouglova. Za trougao T 1 kažemo da je u relaciji ''biti sličan sa'' trouglom T 2 i pišemo T 1 ~T 2 akko su T 1 2 i T slični trouglovi, tj. trouglovi s jednakim (odgovarajućim) uglovima (v. sl. 1.2.5). Relaciju ''biti sličan sa'', označenu sa ~, određuje podskup R: ={(a, b)S 2 | a ~ b}, koji se sastoji od svih onih parova (a, b)S 2 gdje su trouglovi a i b slični.

Zapravo, često nas zanima samo to jesu li dati element aA i zadani element bB u određenoj relaciji ili nisu, a ne i to šta ta relacija znači. Sa tog stanovišta svaka relacija između elemenata skupa A i elemenata skupa B potpuno je određena podskupom skupa AxB svih uređenih parova (a, b) za koji je a u toj relaciji sa b. Zato je prirodna i svrsishodna sljedeća

3 definicija .

Definicija 1.2.3. Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija iz A u B (ili relacija od A prema B , ili binarna relacija između elemenata skupa A i elemenata skupa B). Pritom A je polazni skup (ili skup polaženja) binarne relacije R, a B je dolazni skup (ili skup dolaženja) binarne relacije R. Za element aA kaže se da je u relaciji R sa

b B i pišemo R(a, b), ili aRb (čita se: a je u relaciji R sa b) akko je (a, b)R. Umjesto simbola R , često se koristi i oznaka .)

Obrazložimo to ovako: Neka su A i B ma kakvi dati skupovi, a P(x, y) ma kakva iskazna funkcija (otvoreni iskaz) na AxB. Istinitosni skup od P(x, y) je podskup od AxB koji sačinjavaju svi oni parovi (x, y) iz AxB za koje je P(x, y) istinit iskaz. Dakle, svakoj iskaznoj funkciji P(x, y) na AxB odgovara jedan podskup R skupa AxB. I obratno vrijedi, tj. svakom podskupu R skupa AxB odgovara iskazna funkcija P(x, y) na AxB.

Općenito, ako su A 1 , A 2 , ... , A n skupovi, onda svaki podskup R od A 1 x A 2 x ... x A n zovemo n- arnom relacijom među elementima tih skupova. Ako je A 1 =A 2 = ... = A n = A, onda

govorimo o n-arnoj relaciji na A (ili relaciji dužine n u A). Binarne relacije je praktično predstavljati i opisivati oslanjajući se na ''geometrijsku intuiciju'', koristeći tzv. grafike (npr. na sl. 1.2.4 je dat grafik binarne relacije R iz primjera

1.2.2, preciznije, kako R ima beskonačno mnogo članova, prikazan je samo jedan konačni dio grafika binarne relacije R , a /kao što je uobičajeno za binarne relacije sa beskonačno mnogo članova/ ostavljeno je mašti čitaoca da sebi ''zamisli'' sav grafik binarne relacije R).

Osobito važan slučaj binarne relacije iz A u A je onaj kada je A : = R. Pri grafičkom predstavljanju bilo koje binarne relacije R R x R važno je znati da je skup R x R (tzv.

Dekartova ravan ) mog uće poistovjetiti sa skupom svih tačaka u ravni u kojoj je uveden

Dekartov koordinatni sistem 2 . Osim Dekartove ravni R (= RxR) i pravougaonika [a, b]x[c,

d ] (={(x, y) | a x  b  c y  d }) u toj ravni, nas će posebno interesovati i skup (za svaki n N)

R n : =R x ... x R (=x

1 , ... , x n )|x i R,  (i{1, ... , n})}.

Ako je R A x B, onda tzv. projekciju P 1 (R):={a | (a, b)R} A, nazivamo još i oblast definisanosti binarne relacije R, a P 2 (R):={b | (a, b) R} B nazivamo još i oblast vrijednosti binarne relacije R. Ako je P 1 (R) = A , onda kažemo da je binarna relacija R svuda definirana

na polaznom skupu A, a ako je P 1 (R) = B , onda kažemo da je binarna relacija sirjektivna.

Kako su relacije iz A u B podskupovi skupa AxB , sa njima se mogu na prirodan način izvoditi operacije unije, presjeka i razlike. Tako za relacije R 1 ,R 2 AxB imamo relacije R 1 R 2 : ={(a, b)A x B | aR 1 b  aR 2 b }; R 1 R 2 : ={(a, b)AxB | aR 1 b  aR 2 b }, R 1 \R 2 :={(a, b)AxB | aR 1 b  a non R 2 b }, gdje je činjenica (a, b)R 2 označena sa ''a non R 2

b '' (čita se: a nije u relaciji R 2 sa b).

No, za datu relaciju R -1 AxB može se posmatrati inverzna binarna relacija R BxA koja se definira formulom R -1 :={(b, a)B x A | a R b}, odakle je: (  a , b)( b R –1 a a R b). Za binarne relacije R' AxB i R'' BxC može se definirati relacija R ''  R ' AxC (kompozicija binarnih relacija) ovako: aR ''  R 'c ( bB)(aR ' b  bR ''c), tj. R ''  R ' ={(a, c) | (bB)(a, b)  R '  (b, c)R ''}. Primjer 1.2.4. Ako je A : ={1, 2, 3, 4}, B : ={a, b, c}, C : ={x, y, z, d, e}, R ' : ={(1, a), (1, b), (2, b), (4, c)}, R '':={(a, x), (a, y), (b, e)}, onda je R''  R'={(1, x), (1, y), (1, e), (2, e)}.

Teorema 1.2.2. (o osobinama binarnih relacija). Neka su R 1 ,R 2 ,R 3 , R binarne relacije. Neka su A, B skupovi. Tada (pod uslovom da su sve binarne relacije koje se pojavljuju definirane) vrijedi:

(i) (R -1 ) = R; (ii) (R

2  R 1 ) = R 1  R 2 ; (iii) R 3  (R 2  R 1 ) = (R 3  R 2 )  R 1 ; (iv) R 2  R 1 (A) = R 2 (R 1 (A)), gdje je R 1 (A):={b  B | (a,b)  R za neki a  A } (tzv. R – slika u B skupa A); (v) R (A  B)= R(A)  R(B); (vi) R (A  B) R (A) R (B).

Dokaz : Ovdje ćemo dokazati svojstvo (ii), a ostala

svojstva se dokazuju analogno. Neka je R 1 S 1 xS 2 ,

R 2 S 2 xS 3 . Tada je (v. sl. 1.2.6): (c,a)(R -1

2  R 1 ) (a,c)R 2  R 1 

 (bS 2 )(a,b)R 1  (b,c)R 2

 (bS -1

2 ) (b,a) R 1  (c,b)R 2

(c,a)R -2

Sl. 1.2.6.

Definicija 1.2.4. Za binarnu relaciju  AxA kažemo da je:

(I) refleksivna akko  (aA) a  a (ekvivalentno:  A   );

(II) antirefleksivna akko  (aA) a non  a (ekvivalentno:  A =  ); (III) -1 simetrična akko (x  y y  x) (ekvivalentno:  =  );

(IV) -1 antisimetrična akko (x  y  y  x)  x = y (ekvivalentno:    = 

A ); (V) tranzitivna akko (x  y  y  z  xz ) (ekvivalentno:      ); (VI) jednoznačna akko presjek (lijevi presjek) relacije  (lijevi presjek binarne relacije  AxB elementom a  A definira se sa  (a):={b  B |(a,b)   }) bilo kojim

elementom a  A je ili prazan skup, ili jednočlan skup;

(VII) relacija ekvivalencije (relacija klasifikacije, ekvivalentnost) akko (I)  (III)  (V); (VIII) relacija pretporetka (praporetka, kvaziporetka) akko zadovoljava (I)  (V); (IX) 4 relacija parcijalnog poretka (relacija parcijalnog uređaja) akko (I)  (IV)  (V);

(X) relacija totalnog ili linearnog, ili savršenog poretka, ili totalnog uređaja akko (I)  (IV)  (V)  (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj.  (x,yA) (x  y)  (y  x ).

Relacije parcijalnog poretka i relacije totalnog poretka zovu se relacije poretka. Ako je  relacija poretka na skupu A, onda se u pravilu umjesto  stavlja simbol  (ili ) i umjesto

ab piše a  b (ili a  b) i čita se na jedan od načina: „a je ispred b”, „b je iza a”, „a je manje ili jednako od b ”, „a ne prelazi b”, „a je prethodnik za b” i sl. Umjesto a  b (odnosno

a b ) ponekad se piše i b a (odnosno b  a) /b veće ili jednako a/.

Među relacijama iz definicije 1.2.4. po važnosti se ističu relacije ekvivalencije i relacije poretka. Prost primjer relacije ekvivalencije iz A u A jeste relacija jednakosti u A (tj. dijagonala  A ). Relacija paralelnosti u skupu pravih jedne ravni je relacija ekvivalencije, a i relacija sličnosti u skupu trougla je relacija ekvivalencije. Trivijalan primjer relacije ekvivalencije je i tzv. puna binarna relacija iz A u A , pri čemu se, općenito, pod punom binarnom relacijom iz A u B podrazumijeva binarna relacija  : =AxB (relacija  A je

prazna ili pusta binarna relacija).

Za relaciju  AxB i element aA definiramo skup  [a]: ={bB| a  b}. Ako je  AxA relacija ekvivalencije na skupu A, onda se  [a] zove klasa ekvivalencije elementa a u odnosu na relaciju  AxA. Umjesto  [a] pisaćemo tada i [a]  ili, prostije, [a ] kada znamo o kojoj je relaciji ekvivalencije riječ. Skup A|  svih klasa ekvivalencije zove se faktorski (ili količinski) skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije  . Npr., za relaciju paralelnosti u skupu pravih jedne ravni, faktorski skup je skup svih pravaca te ravni.

Ako je  tranzitivna i antisimetrična relacija na skupu X, onda se  zove relacija (parcijalnog poretka) na skupu X, a za X se kaže da je tom relacijom (parcijalno) uređen. U skladu sa ranije navedenim, relacija poretka obično se označava simbolom . Ako je  relacija (parcijalnog, odnosno totalnog) poretka u skupu X, onda ur eđeni par (X, ) nazivamo (parcijalno, odnosno totalno) uređen skup.

Ako je  relacija poretka (relacija totalnog poretka, odnosno relacija parcijalnog poretka) na X , onda joj možemo pridružiti relaciju strogog poretka (strogog totalnog poretka, odnosno

4 U definicijama pojmova: relacija parcijalnog poretka i relacija totalnog poretka ponekad se ne zahtijeva svojstvo refleksivnosti.

st rogog parcijalnog poretka, respektivno) na skupu X koja se obično označava sa < (ili  )i definira ovako:

x <y  (x y)  (x  y ).

def .

Lako se provjerava da je relacija strogog poretka antirefleksivna , antisimetrična i tranzitivna binarna relacija, te da relacija strogog totalnog poretka na X zadovoljava još i uslov trihotomije:

 (x, yX) (x < y  y<x  x = y).

Ako je < relacija strogog poretka (strogog totalnog ili strogog parcijalnog poretka) na skupu X , onda joj možemo pridružiti relaciju poretka (totalnog poretka ili parcijalnog poretka, respektivno) na X pomoću formule

x y  (x < y)  (x = y).

def .

Budu ći da važi jednostavna veza između relacije poretka  i relacije < strogog poretka na skupu X, pri osnovnim razmatranjima mo žemo upotrebljavati jedan ili drugi od tih pojmova.

Osnovni primjer relacije poretka u skupu R realnih brojeva jeste relacija nejednakosti (nejednakost) , definirana na uobi čajeni način: x y : „x je manje ili jednako od y”.

Ako je X  R, onda, ograničavajući relaciju  sa R na X, dobijemo relaciju poretka na skupu X, tj. (X,  ) je uređen skup. Specijalno, skupovi (Q, ), (Z, ), (N, ) su uređeni.

Općenito, za svaku relaciju   X x X, i za svaki podskup Y skupa X imamo relaciju   (Y x Y)  Y x Y za koju kažemo da je inducirana relacijom  na Y. Ako je  relacija

poretka na X, onda je inducirana relacija relacija poretka na Y. Otuda slijedi da za svaki uređen skup (X, ) i za svaki neprazan podskup Y od X imamo uređen skup (Y, ). Ako je pri tome skup (Y,  ) totalno uređen, onda se kaže da je to lanac skupa (X, ).

Ako je  relacija poretka na X, onda je i  -1 relacija poretka na X , pa iz uređenog skupa (X,  -1 ) dobijemo uređen skup (X,  ). Ovaj drugi uređaj zove se dualni uređaj prvoga. Za

uređen skup (X, ) koristi se oznaka (X,  ) za dualno uređenje skupa X.

Neka je (X,  ) uređen (parcijalno uređen) skup i A neprazan podskup od X. Kažemo da je element m  X minoranta (rjeđe: donja međa) ili donje ograničenje skupa A u (X, ) ako za svaki a  A vrijedi m  a. Odmah slijedi d a najviše jedna minoranta skupa A pripada skupu

A . Kad takva minoranta postoji, ona se zove najmanji element skupa A. Najmanji element treba u opštem slučaju razlikovati od minimalnog (ili početnog) elementa a 0  A skupa A, koji se definira formulom

 (a  A) (a  a 0 a= a 0 ).

Skup A može da ima jedan ili više minimalnih elemenata a da nema najmanjeg elementa. Ako skup A ima najmanji element, onda je to, očito, jedini minimalni element skupa A. Za skup A kažemo da je ograničen (omeđen) odozdo (slijeva), ako postoji bar jedna minoranta skupa A u uređenom skupu (X, ).

Majoranta , najveći element i maksimalni element skupa A u odnosu na (X, ) definira se kao minoranta, najmanji element i minimalni element skupa A u odnosu na dualno uređenje (X,  ). Za skup A u (X,  ) kažemo da je ograničen (omeđen) odozgo (zdesna), ako postoji bar jedna majoranta skupa A. Ako je A  X ograničen odozdo i odozgo, tj. ako postoje Majoranta , najveći element i maksimalni element skupa A u odnosu na (X, ) definira se kao minoranta, najmanji element i minimalni element skupa A u odnosu na dualno uređenje (X,  ). Za skup A u (X,  ) kažemo da je ograničen (omeđen) odozgo (zdesna), ako postoji bar jedna majoranta skupa A. Ako je A  X ograničen odozdo i odozgo, tj. ako postoje

Skup svih minoranti skupa A u (X,  ) može da ima najveći element. Tada je taj element jedinstven i zove se donja međa ili infimum skupa A u (X, ), a obično se označava sa inf A. Element inf A ( X) ima ova dva svojstva: (i) inf A je minoranta skupa A; (ii) za svaku minorantu m skupa A vrijedi m inf A.

Ako infimum postoji onda je posve određen (tj. jedinstven je) budući da kad bismo imali dva elementa m 1 ,m 2  X sa osobinama (i), (ii), vrijedilo bi (m 1 m 2 )  (m 2 m 1 ), a odatle slijedi da je m 1 =m 2. Ako za neki skup A (  X) postoji najmanji element (min A), onda je

očito inf A = min A.

Ako skup majoranti skupa A u (X, ) nije prazan i ima najmanji element, onda je ovaj element jedinstven i zove se gornja međa ili supremum skupa A u (X, ), a obično se označava sa sup A. Ako za neki skup A postoji najveći element, max A u (X, ), onda je očito sup A = max A.

U uređenom skupu (X, ) važnu ulogu imaju podskupovi oblika:

1) [a,b] = {x  X | a  x  b} (  X), a  b, koji se zovu segmenti skupa X,

2) (a,b) (= < a,b > = ] a,b [ ) = { x  X | a< x < b} (  X), a < b, koji se zovu intervali skupa X,

3) [a, . ), (a, ), ( , b] i ( , b) gdje je npr. [a, ) = {x  X | a  x}(  X),

Ako je A  X, uvode se još i oznake [a,b] = [a,b]  A (  A), te analogno i oznake (a,b] A , (a,b) A , itd. Za totalno uređen skup (X, ) kaže se da je dobro uređen ako svaki neprazan podskup A (  X ) ima minimalni element. Primijetimo da je taj minimalni element ujedno i najmanji element skupa A , budući da je (X, ) totalno uređen skup. Npr. skup N prirodnih brojeva je dobro uređen uobičajenom relacijom  ( „manje ili jednako”).

U skupu N, kao što ćemo kasnije detaljno i obrazložiti, vrijedi aksiom (princip) totalne ( matematičke) indukcije: Ako podskup S skupa N ima ove dvije osobine:

(i) Minimalni element skupa N pripada skupu S, tj. 1 S; (ii)  (n  N) (n  S  n + 1  S );

onda je S = N.

Uslov (ii) može se u ovom slučaju zamijeniti uslovom (koji je u opštem slučaju jači od zahtjeva (ii)) (ii’)  (n N) ((m < n mS)   ). n S

Sa tako pojačanim uslovom (ii) imamo princip transfinitne indukcije: Ako podskup A dobro uređenog skupa (X, ) ima svojstva:

a) Minimalni element skupa X pripada skupu A;

 x b) (  X) ( (y < x y  A ) x  A ),

onda je A = X.