BAB II FUNGSI-FUNGSI KHUSUS - FISIKA MATEMATIKA 2
BAB II
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Kelompok 4 :
Marlina Puji Rahayu (140210102018)
Dewi Nofi Ginanjar Rahayu (140210102034)
Dini Frihanderi Aprita (140210102077)
PENDAHULUAN
Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk
pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi
bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan
sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
FUNGSI FAKTORIAL
Untuk menentukan fungsi factorial
diambil bentuk integral tertentu:
∞ −
Untuk
∞ −
∞
> , maka:
= −
= −
=−
Bila kedua sisi diturunkan terhadap ,
maka:
∞
−
− ∞
∞
∞
−
−
− .
=
∞
−��
−
−
−
=
−
= −�−
= �−
Diturunkan lagi terhadap :
∞
∞
. − .
.
−
−
=
= − �−
�−
lanjutan.....
FUNGSI FAKTORIAL
Turunan berikutnya:
∞
.
−
=
∞
.
−
=
Secara umum:
Untuk
∞
.
∞
!
−
!
�+
= , maka
−
Untuk n=0, persamaan di samping menjadi:
=
�
−
.
−
∞
=−
= !
−∞
−
-(0-1)= 0!
−
1 = 0!
!
+
= !;
= , , , ,..
jadi 0!=1
= !
FUNGSI GAMMA
DEFENISI
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan
dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut
Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu
menyelesaikan integral-integral khusus yang sulit dalam
pemecahannya dan banyak digunakan dalam menyelesaikan
permasalahan di bidang fisika maupun teknik.
Fungsi Gamma dinyatakan oleh Γ
Γ
=
∞
−
−
Konvergen untuk n>0
= lim
→∞
yang didefinisikan sebagai :
−
−
Rumus rekursif dari fungsi gamma
Γ + = Γ
Persamaan di atas harga Γ(n) bisa ditentukan untuk semua n>0 bila nilai-nilai untuk
≤ ≤
Contoh soal:
1 . Hitunglah Γ
Jawab : Γ
menggunakan rumus rekursi
= Γ
2 . Hitunglah Γ ,
Jawab : Γ ,
+
=
Γ
=
menggunakan rumus rekursi
= Γ
, +
=
, Γ
,
FUNGSI GAMMA
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka;
Γ + = !
untuk n dan n>
B (p,q) =
Sifat:
� ,
∞
=�
+
,
−
+
dr
Bukti
�
,
=
−
−
Misal y = 1- x → x = 1 - y
=
=
−
−
=� ,
(terbukti)
−
−
−
−
−
• �
,
=
Γ
Γ
Γ
+
Dimana
Maka
Contoh soal :
1. Hitunglah
Jawab :
∞
−
jika x = 0 , y = 0
jika x = ∞ , y = ∞
∞
=
−
∞
=(
=
−
Γ
=
dx = dy
Misal : y = 3x
∞
=
=
∞
−
!
!
=
Γ
−
∞
−
−
−
−
2. Hitung
Jawab
Bentuk umum fungsi Beta �
= B (4,3)
=
=
=
Γ Γ
Γ +
! !
!
−
=
,
−
=
−
−
−
−
−
3. Hitunglah I =
Jawab
∞
+
dr
Bentuk umum fungsi beta yaitu B (p,q) =
dengan I =
∞
+
P–1=2→p=3
P+q=4→q=1
Jadi :
I = B (3,1)
=
=
=
Γ Γ
Γ +
Γ + Γ +
!
! !
=
!
dr , maka
∞
+
−
+
dr
Soal Latihan
1. Buktikan Γ
2. Hitunglah Γ
=1
3. Hitunglah Γ −
Γ
Γ
∞
4. Hitunglah
5. Hitung
−
dx
6. Hitung fungsi beta dari I =
7. Hitung fungsi beta dari I =
∞
+
7
dx
−
dx
Selanjutnya.....
Soal Latihan
8. Hitunglah
9. Hitunglah
10. Hitunglah
Γ
Γ ,
Γ ,
Γ 7
Γ
∞
−
11. Hitung fungsi Beta dari
12. Hitunglah
Γ
Γ
dx
−
1. Buktikan Γ
=1
Jawaban :
Diket: Γ
=1
Γ
=
∞
= lim
−
→∞
= lim −
→∞
= lim −
→∞
−
−
−
−
+
= lim
→∞
=
−
−
2. Hitunglah Γ
=....
Jawaban:
Diket : Γ
Γ n+
Γ
=Γ
3. Hitunglah Γ −
Jawaban :
= n!
+
= !=
Diket : Γ −
Γ
Γ −
=
=
Γ −
−
Γ n+
=
=
Γ − +
−
Γ − +
−
−
=
Γ
Jawaban
4. Hitunglah
Jawaban :
Diket :
Γ
Γ
Γ
Γ
=
∞
−
=
→
5. Hitung
Γ
Γ
Jawab :
Misal
Γ
Γ
=
Jika
=
=
=∞
∞
=
=
=
−
∞
∞
Γ
dx
=
=
=∞
∞
=
−
−
=
−
∙ !=
−
!
7
=
∞
6. Hitung I =
Jawaban :
Diket :
−
=
+
=
=
+
=
=
,
+
=
7
dx
∞
+
−
+
=
=
Γ
,
! !
=
=
!
∙ ∙ !
=
Γ Γ
Γ +
!
!
−
7. Hitung I =
Jawaban :
,
−
=
−
=
,
=
=
=
=
−
−
−
,
−
,
=
=
Γ
Γ
Γ
+
Γ Γ
Γ +
=
=
=
Γ
! !
=
! !
!
! ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ !
=
8. Hitunglah
Γ
Jawaban :
Γ
Γ .
Γ .
=
=
.
Γ ,
Γ ,
!∙
.
.
.
.
9. Hitunglah
Jawaban:
. Γ .
.
. Γ .
Γ 7
Γ
=
Γ 7
Γ
∙
∙Γ
Γ
Jawaban
10. Hitunglah
Jawaban :
∞
Bentuk umum:
n-1=
n= +
n=
−
dx
∞
−
∞
−
dx
= Γ(n) dengan n =
−
= Γ(n)
= Γ( )
=
Γ
Jawaban
−
11. Hitunglah
Jawaban :
Bentuk Umum
−
−
=
−
=
,
=
=
=
−
,
=
−
,
−
,
=
Γ
Γ
Γ
+
=
! !
=
Γ
Γ
=
=
Γ
∙
Γ
+
=
! !
!
! ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
=
∙ !
Jawaban
Γ
12. Hitunglah
Γ
Jawaban:
Γ
Γ
=
=
=
∙
∙
∙
∙
Γ
=
Γ
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Kelompok 4 :
Marlina Puji Rahayu (140210102018)
Dewi Nofi Ginanjar Rahayu (140210102034)
Dini Frihanderi Aprita (140210102077)
PENDAHULUAN
Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk
pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi
bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan
sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
FUNGSI FAKTORIAL
Untuk menentukan fungsi factorial
diambil bentuk integral tertentu:
∞ −
Untuk
∞ −
∞
> , maka:
= −
= −
=−
Bila kedua sisi diturunkan terhadap ,
maka:
∞
−
− ∞
∞
∞
−
−
− .
=
∞
−��
−
−
−
=
−
= −�−
= �−
Diturunkan lagi terhadap :
∞
∞
. − .
.
−
−
=
= − �−
�−
lanjutan.....
FUNGSI FAKTORIAL
Turunan berikutnya:
∞
.
−
=
∞
.
−
=
Secara umum:
Untuk
∞
.
∞
!
−
!
�+
= , maka
−
Untuk n=0, persamaan di samping menjadi:
=
�
−
.
−
∞
=−
= !
−∞
−
-(0-1)= 0!
−
1 = 0!
!
+
= !;
= , , , ,..
jadi 0!=1
= !
FUNGSI GAMMA
DEFENISI
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan
dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut
Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu
menyelesaikan integral-integral khusus yang sulit dalam
pemecahannya dan banyak digunakan dalam menyelesaikan
permasalahan di bidang fisika maupun teknik.
Fungsi Gamma dinyatakan oleh Γ
Γ
=
∞
−
−
Konvergen untuk n>0
= lim
→∞
yang didefinisikan sebagai :
−
−
Rumus rekursif dari fungsi gamma
Γ + = Γ
Persamaan di atas harga Γ(n) bisa ditentukan untuk semua n>0 bila nilai-nilai untuk
≤ ≤
Contoh soal:
1 . Hitunglah Γ
Jawab : Γ
menggunakan rumus rekursi
= Γ
2 . Hitunglah Γ ,
Jawab : Γ ,
+
=
Γ
=
menggunakan rumus rekursi
= Γ
, +
=
, Γ
,
FUNGSI GAMMA
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka;
Γ + = !
untuk n dan n>
B (p,q) =
Sifat:
� ,
∞
=�
+
,
−
+
dr
Bukti
�
,
=
−
−
Misal y = 1- x → x = 1 - y
=
=
−
−
=� ,
(terbukti)
−
−
−
−
−
• �
,
=
Γ
Γ
Γ
+
Dimana
Maka
Contoh soal :
1. Hitunglah
Jawab :
∞
−
jika x = 0 , y = 0
jika x = ∞ , y = ∞
∞
=
−
∞
=(
=
−
Γ
=
dx = dy
Misal : y = 3x
∞
=
=
∞
−
!
!
=
Γ
−
∞
−
−
−
−
2. Hitung
Jawab
Bentuk umum fungsi Beta �
= B (4,3)
=
=
=
Γ Γ
Γ +
! !
!
−
=
,
−
=
−
−
−
−
−
3. Hitunglah I =
Jawab
∞
+
dr
Bentuk umum fungsi beta yaitu B (p,q) =
dengan I =
∞
+
P–1=2→p=3
P+q=4→q=1
Jadi :
I = B (3,1)
=
=
=
Γ Γ
Γ +
Γ + Γ +
!
! !
=
!
dr , maka
∞
+
−
+
dr
Soal Latihan
1. Buktikan Γ
2. Hitunglah Γ
=1
3. Hitunglah Γ −
Γ
Γ
∞
4. Hitunglah
5. Hitung
−
dx
6. Hitung fungsi beta dari I =
7. Hitung fungsi beta dari I =
∞
+
7
dx
−
dx
Selanjutnya.....
Soal Latihan
8. Hitunglah
9. Hitunglah
10. Hitunglah
Γ
Γ ,
Γ ,
Γ 7
Γ
∞
−
11. Hitung fungsi Beta dari
12. Hitunglah
Γ
Γ
dx
−
1. Buktikan Γ
=1
Jawaban :
Diket: Γ
=1
Γ
=
∞
= lim
−
→∞
= lim −
→∞
= lim −
→∞
−
−
−
−
+
= lim
→∞
=
−
−
2. Hitunglah Γ
=....
Jawaban:
Diket : Γ
Γ n+
Γ
=Γ
3. Hitunglah Γ −
Jawaban :
= n!
+
= !=
Diket : Γ −
Γ
Γ −
=
=
Γ −
−
Γ n+
=
=
Γ − +
−
Γ − +
−
−
=
Γ
Jawaban
4. Hitunglah
Jawaban :
Diket :
Γ
Γ
Γ
Γ
=
∞
−
=
→
5. Hitung
Γ
Γ
Jawab :
Misal
Γ
Γ
=
Jika
=
=
=∞
∞
=
=
=
−
∞
∞
Γ
dx
=
=
=∞
∞
=
−
−
=
−
∙ !=
−
!
7
=
∞
6. Hitung I =
Jawaban :
Diket :
−
=
+
=
=
+
=
=
,
+
=
7
dx
∞
+
−
+
=
=
Γ
,
! !
=
=
!
∙ ∙ !
=
Γ Γ
Γ +
!
!
−
7. Hitung I =
Jawaban :
,
−
=
−
=
,
=
=
=
=
−
−
−
,
−
,
=
=
Γ
Γ
Γ
+
Γ Γ
Γ +
=
=
=
Γ
! !
=
! !
!
! ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ !
=
8. Hitunglah
Γ
Jawaban :
Γ
Γ .
Γ .
=
=
.
Γ ,
Γ ,
!∙
.
.
.
.
9. Hitunglah
Jawaban:
. Γ .
.
. Γ .
Γ 7
Γ
=
Γ 7
Γ
∙
∙Γ
Γ
Jawaban
10. Hitunglah
Jawaban :
∞
Bentuk umum:
n-1=
n= +
n=
−
dx
∞
−
∞
−
dx
= Γ(n) dengan n =
−
= Γ(n)
= Γ( )
=
Γ
Jawaban
−
11. Hitunglah
Jawaban :
Bentuk Umum
−
−
=
−
=
,
=
=
=
−
,
=
−
,
−
,
=
Γ
Γ
Γ
+
=
! !
=
Γ
Γ
=
=
Γ
∙
Γ
+
=
! !
!
! ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
=
∙ !
Jawaban
Γ
12. Hitunglah
Γ
Jawaban:
Γ
Γ
=
=
=
∙
∙
∙
∙
Γ
=
Γ