50
{ 3.9
B. Transformasi Model Gerak Satelit pada Solusi Khususnya
1. Menentukan solusi khusus sistem gerak satelit
Dengan memisalkan ,
, , dan
adalah fungsi atas waktu maka sistem 3.9 dapat ditulis menjadi
{ 3.10
Langkah selanjutnya adalah mencari solusi khusus dari sistem 3.10.
Lemma 3.1. Jika
dan , dengan
adalah konstanta maka sistem 3.10 akan mempunyai solusi khusus yaitu
Bukti:
dengan mensubstitusikan dan kedalam sistem 3.10
maka diperoleh
51
karena maka dan dengan berupa
konstanta merupakan solusi khusus dari sistem gerak satelit 3.10. Selanjutnya dilakukan proses transformasi untuk mempermudah
dalam menganalisa sistem gerak satelit. 2.
Transformasi sistem gerak satelit pada solusi khususnya Transformasi sistem 3.10 dilakukan dengan memisalkan suatu
vektor baru. diketahui bahwa dan merupakan solusi khusus
dari sistem 3.10 maka vektor baru yang diambil adalah
Berdasarkan diatas maka diperoleh
sebagai berikut 3.11
3.12 3.13
52
dengan mensubstitusikan kedalam
maka diperoleh
3.14 Persamaan 3.11, 3.12, 3.13 dan 3.14 diatas dapat dirubah kedalam
bentuk matriks menjadi
[ ]
[ ]
[ ] [
] [ ] [
]
[ ] [
] [ ] [
] [ ]
3.15
Berdasarkan persamaan 2.27 matriks 3.15 dapat dipandang sebagai suatu sistem linear
dengan
[ ] [
] 3.16
Selanjutnya akan dilakukan transformasi output dari sistem gerak satelit. Misalkan
adalah pengukuran terhadap jarak antara pusat satelit dengan pusat bumi dan
sebagai pengukuran sudut yang dibentuk dari pergerakan satelit yang dapat diukur sedemikian sehingga
53
juga dapat diukur, maka output gerak satelit dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
sebagai berikut
[ ]
[ ] [ ] 3.17
dengan [ ]
3.18
C. Kestabilan Model Gerak Satelit
Berdasarkan teorema 2.1 jika maka titik
ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik, dan apabila ada
maka dikatakan tidak stabil untuk beberapa
. Selanjutnya akan dicari tipe kestabilan dari sistem 3.16.
Pertama-tama akan dicari persamaan karakteristik dari matriks .
[ ]
3.16
Berdasarkan definisi 2.5 dan persamaan 2.9 maka diperoleh persamaan karateristik dari matriks
| | | |
dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama diperoleh
| | | |
54
| | |
| | |
| | | |
| | 3.19
Persamaan 3.19 dapat difaktorkan menjadi sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks
adalah
√ 3.20
dari persamaan 3.20 diperoleh 4 buah nilai eigen yang
memiliki sedemikian sehingga tipe kestabilan dari
sistem dinamik satelit tidak dapat ditentukan dengan menggunakan nilai eigen. Oleh karena itu selanjutnya akan diselidiki keterkontrolan dan
keteramatan satelit.
D. Keterkontrolan Model Gerak Satelit
Kategori