Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN
LOGNORMAL
(Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

ANITA PRATIWI

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012

i

RINGKASAN
ANITA PRATIWI. Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi
Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor). Dibimbing oleh ANANG
KURNIA dan LA ODE ABDUL RAHMAN.
Analisis regresi linier merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menduga
suatu peubah respon bila tersedia peubah penjelas yang memiliki hubungan linier dengan peubah
respon. Pendugaan terhadap nilai peubah respon yang tidak terambil sebagai contoh memerlukan
informasi peubah penjelas yang bersesuaian dari data populasi. Bila peubah respon merupakan

peubah yang ingin diduga total populasinya, maka dugaan total populasi dapat diperoleh dengan
menjumlahkan gugus data contoh dengan gugus data hasil dugaan. Penggunaan model regresi
linier akan menghasilkan penduga total populasi yang tidak berbias bila sebaran data peubah yang
digunakan menyebar normal. Namun pada data sosial dan ekonomi seperti saham dan pengeluaran
rumah tangga misalnya, seringkali pencilan kanan muncul. Transformasi logaritmik terhadap data
dapat memperbaiki kesimetrikan data dan mengatasi masalah ketidaknormalan. Proses
transformasi balik menyebabkan model regresi linier yang digunakan untuk menduga total
populasi dikoreksi. Model regresi linier terkoreksi ini dinamakan model Karlberg.
Untuk melihat kelebihan model Karlberg (M3) dalam pendugaan total populasi, dilakukan juga
pendugaan melalui dua metode lain yang sifatnya langsung. Kedua metode tersebut adalah
pendugaan melalui rataan contoh peubah asal (M1) dan pendugaan melalui nilai harapan sebaran
lognormal dari data hasil transformasi logaritmik (M2).
Melalui simulasi dengan karakteristik data bangkitan yang sama dengan data peubah
pengeluaran rumah tangga Kota Bogor hasil Susenas (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun
2007, diperoleh nilai ARB (Average of Relative Bias), RLMSE (Relative Mean Square Error),
MSE (Mean Square Error), dan AARB (Average of Absolute Relative Bias) dari penduga M3 yang
lebih baik dari penduga M1 dan M2 pada berbagai ukuran contoh. Berdasarkan nilai ARB,
penduga M3 dan M1 memiliki besar rataan bias relatif yang hampir sama. Berdasarkan nilai ragam
(RLMSE dan MSE), penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan nilai ragam terkecil, disusul
oleh penduga M1 dan penduga M2. Aplikasi ketiga metode pada pendugaan total pengeluaran

rumah tangga di kelurahan dalam Kota Bogor, kecamatan dalam Kota Bogor, dan Kota Bogor
menghasilkan M1 dan M3 sebagai dua penduga dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error)
terkecil. Namun demikian, pemilihan peubah penjelas menjadi penentu baiknya penduga M3.
Kata kunci: sebaran lognormal, total populasi, model Karlberg

i

PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN
LOGNORMAL
(Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

ANITA PRATIWI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012

i

Judul
Nama
NRP

: Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus:
Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)
: Anita Pratiwi
: G14080009

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Anang Kurnia
NIP : 19730824 199702 1001

La Ode Abdul Rahman, M.Si

Mengetahui,

Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si
NIP : 19650421 199002 1001

Tanggal lulus :

i

KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamiin, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang

telah memberikan rahmat dan karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi
dengan judul “Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus:
Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)” penulis rasakan sebagai proses
pembelajaran yang begitu menyeluruh tentang ilmu statistika. Dalam skripsi ini penulis mengkaji
proses pendugaan total populasi pada peubah dengan sebaran lognormal dengan harapan dari data
lokal yang ada dapat dimanfaatkan semaksimal mungkin dalam hal ini data KOR Survei Sosial
Ekonomi Nasional (Susenas) 2007 yang diselenggarakan Badan Pusat Statistik (BPS) setiap
tahunnya.
Penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan oleh penulis tidak lepas dari dukungan,
bimbingan, dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB.
2. Bapak Dr. Anang Kurnia dan Bapak La Ode Abdul Rahman, M.Si selaku dosen
pembimbing atas bimbingan dan ilmu yang diberikan.
3. Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen penguji luar yang telah memberikan
masukan dan arahan kepada penulis.
4. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama
penulis menempuh pendidikan di Departemen Statistika IPB serta seluruh staf
Departemen Statistika yang telah banyak membantu proses skripsi penulis.
5. Orangtua penulis tercinta, Taufik Hidayat dan Siti Rochani, atas doa keduanya yang tidak

pernah putus.
6. Abang tercinta, Taufan Dermawan beserta istri atas dukungannya, baik moril maupun
materi, selama penulis menempuh pendidikan di Statistika IPB. Juga adik tersayang,
Annuri Rosita dan Hanna Nur Tasia yang selalu menghibur dalam proses penulisan
skripsi ini.
7. Nursyita Purnami (untuk 4 tahun ini) dan I.D.G Richard Alan Amory atas kritik, saran,
dan semua hal yang pernah kita bagi.
8. Anni Fithriyatul Mas’udah dan Nuril Anwar selaku kawan satu bimbingan.
9. Statistika 44, 45, 46, dan B51 TPB IPB 2008.
10. Seluruh pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelesaian karya
ilmiah ini.
Penulis menghaturkan maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam karya
ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Bogor, September 2012

Anita Pratiwi

i

RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Bogor pada tanggal 7 Mei 1990 sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari
pasangan Taufik Hidayat dan Siti Rochani. Penulis menempuh pendidikan di SD Negeri Ciriung II
Cibinong (1997-2002), SMP Negeri 1 Bogor (2002-2005) dan SMA Negeri 1 Bogor (2005-2008).
Pada bulan Februari 2008 penulis dinyatakan lulus USMI IPB 2008 dengan Mayor Statistika.
Matematika Keuangan dan Aktuaria merupakan program minor yang dipilih penulis untuk
melengkapi program mayornya.
Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB, penulis bergabung dengan Himpunan
Keprofesian Gamma Sigma Beta (Himpro GSB IPB) sebagai Staf Departemen Survei dan Riset
(Masa Kepengurusan 2010/2011) dan Ketua Departemen Survei dan Riset (Masa Kepengurusan
2011/2012). Selain aktif dalam kepengurursan Himpro GSB IPB, penulis juga aktif dalam
berbagai kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Himpro GSB IPB dan BEM FMIPA. Selama
menempuh pendidikan di Statistika IPB penulis juga mendapatkan kesempatan untuk menjadi
asisten praktikum pada mata kuliah Metode Statistika, Metode Penarikan Contoh, dan Analisis
Data Kategorik. Penulis sempat bergabung dengan Lembaga Olah Data Statistics Centre pada
tahun 2010 kemudian keluar pada tahun 2011 dan hingga proses penyusunan skripsi ini penulis
bergabung dalam perusahaan riset pemasaran PT. Optima Solusi Indonesia sebagai junior research
executive (freelancer).

ii

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................ viii
PENDAHULUAN ...............................................................................................................
Latar Belakang ...............................................................................................................
Tujuan ............................................................................................................................

1
1
1

TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................................................
Pencilan .........................................................................................................................
Total Populasi .................................................................................................................
Sebaran Lognormal ........................................................................................................
Penduga Kemungkinan Maksimum .................................................................................
Model Penduga ...............................................................................................................

Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) ......................................................................

1
1
1
2
2
3
3

METODOLOGI ..................................................................................................................
Data ...............................................................................................................................
Metode ...........................................................................................................................

4
4
4

HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................................
Kajian Simulasi ...............................................................................................................

Aplikasi Data Riil Susenas 2007 ......................................................................................

6
6
8

KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................
Kesimpulan ....................................................................................................................
Saran ..............................................................................................................................

9
9
10

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................

10

LAMPIRAN ........................................................................................................................

11

viii

DAFTAR TABEL
Halaman
Peubah-peubah pada data riil ..................................................................................................4
Rata-rata parameter (2 dan ) dan indeks lognormal (LI) dari peubah logY.............................6
Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi ...................................................6
Penduga paramater (2 dan ), skewness, dan kurtosis pada peubah Y (pengeluaran rumah
tangga sebulan) ......................................................................................................................8
5 Penduga paramater (2 dan ) dan indeks lognormal (LI) peubah logY ....................................8
6 Ringkasan model bagi penduga M3 ........................................................................................9
7 Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007............................9
1
2
3
4

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Bentuk sebaran lognormal ......................................................................................................2
2 Diagram kotak dan garis parameter (a). 2, (b). , dan (c) indeks lognormal (LI) pada peubah
logY ......................................................................................................................................6
3 Contoh histogram peubah Y ....................................................................................................6
4 Contoh histogram peubah Z = logY .........................................................................................6
5 Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang digunakan ..7
6 Histogram peubah Y ...............................................................................................................8
7 Histogram peubah logY...........................................................................................................8
8 Diagram pencar X terhadap logY .............................................................................................9

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling ( ) vs pendekatan rata-rata luas kavling ( ) pada
kelurahan di Kota Bogor tahun 2007..................................................................................... 12
2 Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kecamatan di Kota Bogor tahun 2007 .............. 13
3 Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007 ............... 14
4 Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada
pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007................................... 16
5 Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada
pendugaan total pengeluaran rumah tangga di kecamatan di dalam Kota Bogor tahun 2007 ...17

1

PENDAHULUAN
Latar belakang
Total populasi merupakan salah satu
parameter yang seringkali dikaji oleh peneliti.
Beragam metode pendugaan muncul dan terus
berkembang. Metode yang paling sederhana
adalah metode pendugaan langsung di mana
pendugaan hanya memanfaatkan informasi
yang berasal dari peubah yang akan diduga
total populasinya. Pendugaan menjadi lebih
kompleks ketika mulai memanfaatan informasi
peubah lain. Pendugaan seperti itu disebut
dengan pendugaan yang bersifat tidak
langsung (berbasis model).
Analisis regresi linier merupakan salah
satu metode yang sering digunakan untuk
menduga suatu peubah respon bila peneliti
memiliki infomasi tentang peubah penjelas
yang memiliki hubungan linier dengan peubah
respon. Pendugaan terhadap nilai peubah
respon yang tidak terambil sebagai contoh
memerlukan informasi peubah penjelas yang
bersesuaian sehingga diperlukan data populasi
peubah penjelas. Bila peubah respon tersebut
merupakan peubah yang ingin diduga total
populasinya maka dugaan total populasi dapat
diperoleh dengan menjumlahkan gugus data
contoh dengan gugus data hasil dugaan.
Model regresi linier dapat menghasilkan
penduga total populasi yang tidak berbias bila
dibangun dari data peubah respon yang
menyebar normal. Kemunculan nilai pencilan
kanan pada data survei sosial ataupun ekonomi
seringkali terjadi sehingga asumsi kenormalan
tidak lagi terpenuhi. Keberadaan pencilan ini
menyebabkan penduga parameter pada model
regresi berbias sehingga penduga total
populasi pun berbias.
Transformasi logaritma natural terhadap
data dapat dilakukan untuk memperbaiki
kesimetrikan data dan mengatasi masalah
kenormalan. Proses transformasi balik
menyebabkan adanya pengoreksian pada
model regresi linier penduga total populasi.
Model
regresi
linier
terkoreksi
ini
diperkenalkan oleh Karlberg (2002). Model
Karlberg mampu menghasilkan penduga total
populasi terbaik dengan nilai bias yang jauh
lebih kecil dari model regresi linier yang
dibangun dari data yang tidak ditransformasi.
Penerapan model dalam pendugaan
parameter total populasi telah banyak
dilakukan, salah satunya adalah untuk
menduga total pengeluaran rumah tangga
suatu daerah di Indonesia. Keadaan ekonomi
masyarakat Indonesia yang belum merata
menyebabkan
beragamnya
kuantitas

kebutuhan hidup masyarakat sehingga
seringkali muncul pengeluaran rumah tangga
yang terlampau besar (pencilan kanan).
Model Karlberg mampu mengakomodasi
keberadaan pencilan seperti ini yang kemudian
menghasilkan penduga total populasi dengan
nilai bias dan ragam terkecil.
Tujuan
Penelitian ini dilakukan dengan tujuan
sebagai berikut :
1. Mengevaluasi karakteristik penduga total
populasi dari model Karlberg dengan
simulasi.
2. Melakukan pendugaan total populasi pada
data riil pengeluaran rumah tangga Kota
Bogor hasil Susenas 2007.

TINJAUAN PUSTAKA
Pencilan
Pencilan adalah amatan yang muncul
dengan nilai yang tidak konsisten bila
dibandingkan dengan data lain dalam gugus
data yang ada (Barnett & Lewis, diacu dalam
Karlberg 2002). Keberadaan amatan ini sangat
kecil
peluangnya.
Chambers
(1986)
menyatakan bahwa terdapat dua tipe dasar
pencilan. Tipe yang pertama adalah pencilan
yang representatif, yaitu sebuah elemen contoh
yang memang bagian dari populasi. Tipe
kedua adalah pencilan yang tidak representatif.
Pencilan tipe ini merupakan pencilan yang
terjadi akibat adanya kesalahan manusia, baik
dalam proses pengukuran maupun dalam
pengkodean.
Pencilan yang dimaksud dalam penelitian
ini adalah pencilan yang respresentatif.
Total Populasi
Bila yi merupakan nilai peubah acak
individu ke-i dari suatu populasi, maka total
populasi adalah (Karlberg 2002):
T = ∑Ni

= ∑ i ∈s

+ ∑ i ∈r

di mana gugus data s (berukuran n) merupakan
gugus data contoh yang diambil dari populasi
berukuran N, sedangkan gugus data r
(berukuran N-n) merupakan gugus data
komplemen dari gugus data contoh.
Pendugaan terhadap total populasi dapat
dilakukan melalui desain penarikan contoh
seperti direct sampling, inverse sampling, dan
quadrat sampling (Scheaffer et al. 1990).
Pendugaan dengan ketiga cara tersebut hanya
membutuhkan data contoh dari peubah yang

2

ingin diduga total populasinya (Y). Pendugaan
dengan cara seperti ini sering disebut sebagai
metode pendugaan langsung (direct sampling).
Bila peneliti memiliki data populasi dari
suatu peubah lain (X) yang memiliki pengaruh
linier terhadap Y, ∈ dapat diduga melalui
model regresi linier antara X dan Y. Pendugaan
dengan cara seperti ini sering disebut sebagai
metode pendugaan tidak langsung (indirect
sampling).
Metode pendugaan total populasi melalui
sebuah model sering digunakan dan terus
berkembang. Pendugaan total populasi melalui
sebuah model bagi data Y yang menyebar
lognormal pertama kali diperkenalkan oleh
Thorburn (1991, diacu dalam Karberg 2002).
Sebaran Lognormal
Suatu peubah acak U dikatakan menyebar
lognormal bila transformasi V = logU
menyebar normal sehingga peubah acak
V~N(,2) memiliki fungsi kepekatan peluang
f(v):
f(v|,2) =

(

√



√



Melalui pemanfaatan persamaan E(U)
suatu sebaran dapat ditentukan apakah
menyebar lognormal atau tidak di mana nilai
harapan dari peubah asal yang ditunjukkan
dengan rataannya sama dengan bentuk dari
ruas kanan persamaan E(U) sehingga
diperoleh nilai sederhana indeks lognormal
(LI):
LI =
dimana:
= rataan peubah asal
= rataan peubah transformasi
logaritmik dari V = logU
2 = ragam peubah tranformasi
logaritmik dari V = logU
Semakin dekat indeks lognormal (LI)
dengan 1 menunjukkan bahwa data tersebut
menyebar lognormal.

; - < v < 

) /

dengan  (nilai tengah) dan 2 (ragam) adalah
parameter dari peubah acak V. Dengan
demikian fungsi kepekatan peluang untuk
sebaran lognormal bagi peubah acak
U~lognormal(,2) adalah:
f(u|,2) =

(

) /

u > 0 ; - <  <  ;  > 0
sedangkan fungsi peluang kumulatif bagi
peubah acak U adalah:

Gambar 1 Bentuk sebaran lognormal

Pr[U ≥ u] = ∫

Sebaran lognormal bersifat menjulur ke
kanan dengan nilai rataan lebih besar dari
median dan median lebih besar dari modus
(Mitzenmacher 2003).

(

√



) /

dt

dengan  dan 2 adalah parameter yang sama
dengan yang dimiliki peubah acak V = logU.
Bentuk sebaran dari peubah acak lognormal
dapat dilihat pada Gambar 1. Gambar 1
menunjukkan bentuk sebaran lognormal pada
nilai  yang sama ( = 0) dan 2 yang berbeda
(2 = 0.25, 0.5, 0.1) di mana semakin besar
nilai 2, semakin panjang ekor sebaran ke
kanan (data semakin menjulur ke kanan).
Nilai
harapan
dan
ragam
dari
Ulognormal(,2) adalah:
E(U) =
Var(U) =

–1

Penduga Kemungkinan Maksimum
Bila suatu peubah acak X mempunyai
fungsi kepekatan peluang f(x|Ө) dan y1, ... , yn
adalah contoh acak maka:
f(y|Ө) = ∏ni f( y i | Ө) ;Ө

dengan Ө adalah konstanta yang nilainya tidak
diketahui dan berada di dalam ruang
parameter.
Bila sejumlah contoh acak y1, ... , yn telah
diambil, nilai f(y1, ... , yn|Ө) akan bergantung
pada Ө. Fungsi ini dinamakan fungsi

3

kemungkinan dari Ө, dituliskan sebagai
berikut:

I (1) < ... < I (n)
dan

L(Ө| y1, ... , yn) = f(y1, .. ., yn |Ө)
{ I (1) < ... < I (n)} = s
Prinsip dari penduga kemungkinan
maksimum adalah mencari nilai Ө yang
memaksimumkan L(Ө| y1, ... , yn).
Penduga Kemungkinan Maksimum pada
Model Linier Normal
Bila peubah respon y1, ... , y1 adalah
observasi yang menyebar bebas, stokastik,
identik, dan normal N(,2) dengan peubah
penjelas X maka  adalah fungsi dari X di
mana:

 = h(X,)

y = X + 
dengan X adalah matriks berukuran (n x p), y
adalah vektor berukuran (n x 1), dan  adalah
vektor sisaan berukuran (n x 1).
Misalkan parameter Ө = (,2), maka
fungsi kemungkinan maksimumnya adalah
(Pawitan 2001):
L(Ө)=
sehingga diperoleh:
)
=(
= ∑ni

i

∑ni

−

i

−

′

i

adalah penduga kemungkinan maksimum bagi
parameter model linier.
Model Penduga
Bila terdapat peubah respon hasil
transformasi logaritmik Z = logY dengan
peubah penjelas i = (1 Xi1 ... Xik)’ maka dari
gugus data contoh s akan diperoleh:
s=

(1 ZI(1) ... ZI(n))’

dan
1
s

=

( )

⋮

( )

1
( )

⋮

( )

…
…

1

⋱

⋮

…

=

i

(

s

s)

j

dengan αij yang akan bernilai 0 bila n  .
Selanjutnya akan diperoleh penduga untuk
i∈r :
Zi =

i

E(Zi ) = i = E( i )
Var(Zi ) = Var ( i ) =
sehingga dari
diperoleh:
Yi = exp( i )exp

hasil


i

′

−

ij

dengan
adalah penduga tak bias yang
diperoleh melalui metode kemungkinan
maksimum dengan nilai harapan Zi dan ragam
Zi sebagai berikut:

Model linier normal ditulis sebagai:

n/

Matriks s s adalah matriks definit positif
sehingga untuk sepasang observasi dari gugus
data r diperoleh:

( )

( )

di mana I(i) adalah indeks fungsi contoh
untuk 1 ≤ i ≤ n sehingga:

(1 −

i

Var

i

= 2

transformasi

ii)

−

balik



Dengan asumsi bahwa
dan
saling
bebas (Casella & Berger 1990) dapat
dibuktikan bahwa Yi adalah pendekatan bagi
penduga tak berbias Yi. Dengan begitu model
penduga bagi total populasi adalah sebagai
berikut (Karlberg 2002):
T = ∑i∈s

+ ∑i∈r

T = ∑i∈s exp( i ) + ∑i∈r exp( Zi ) exp
ii)

−





(1 −

Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas)
Susenas merupakan salah satu survei yang
secara rutin dilaksanakan Badan Pusat
Statistik (BPS) setiap tahunnya. Hasil survei
dimanfaatkan oleh pemerintah pada khususnya
untuk merumuskan masalah perencanaan,
pemantauan atau evaluasi kekurangan serta
keberhasilan pembangunan sebagai bahan
penyusun kebijakan.
Sistematika pengambilan contoh data
Susenas adalah sebagai berikut:
1. Menentukan blok sensus.

4

2. Pemilihan blok sensus dan subblok sensus
(untuk blok sensus dengan jumlah rumah
tangga > 150 unit).
3. Pemilihan rumah tangga terpilih dalam
blok sensus dan subblok sensus.

luas lahan non pertanian
Kota Bogor*
TLP = total luas lahan pemukiman
Kota Bogor**
*)Sumber: Kecamatan dalam Angka 2008
**)Sumber: Bapedda Kota Bogor 2007

METODOLOGI

Peubah X dipilih berdasarkan nilai korelasi
pearson yang cukup besar, arah hubungan
yang sesuai, dan kemudahan untuk
memperoleh data. Rincian peubah-peubah
yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 1.
Lampiran 1 menunjukkan diagram pencar
rata-rata luas kavling di tiap kelurahan ( )
dengan i . Pola linier pada diagram pencar
menunjukkan bahwa i cukup baik untuk
menduga luas kavling pada rumah tangga yang
tidak terambil sebagai contoh.

Data
Data yang digunakan pada penelitian ini
terdiri dari data simulasi dan data riil.
Data Simulasi
Karakteristik
data
simulasi
yang
dibangkitkan sama dengan karakteristik data
contoh dari peubah pengeluaran rumah tangga
(Y) Kota Bogor hasil Susenas 2007 di mana
Y~lognormal(14.3,0.28).
Data simulasi dibangkitkan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Bangkitkan satu gugus data yang terdiri
dari:
a. XN(3.15,0.02) sebanyak N = 1000, X
sebagai peubah penjelas.
b. N(0,0.2) sebanyak N = 1000.
c. Tentukan 0 = 8 dan 1 = 2 kemudian
hitung Z di mana Z = 0 + 1X + .
d. Hitung
Y
=
eZ
sehingga
Y~lognormal(14.3,0.28).
2. Gugus data pertama terdiri dari 1000 X
(diperoleh dari langkah 1.a) dan 1000 Y
(diperoleh dari langkah 1.d).
3. Ulangi langkah satu sebanyak r = 2000 kali
sehingga diperoleh 2000 gugus data.
4. Hitung dan simpan T = ∑
dari setiap
gugus data yang dibangkitkan.
Data Riil
Data riil yang digunakan yaitu data peubah
pengeluaran rumah tangga (Y) dan luas
kavling (X) dari hasil Susenas Kota Bogor
tahun 2007. Keduanya berfungsi sebagai
sumber data sebagai contoh, i∈s dan i∈s .
Data tersebut dilengkapi oleh data pendekatan
luas kavling ( i ) sebagai sumber data peubah
penjelas untuk elemen yang tidak terambil
sebagai contoh, i∈r. Data pendekatan luas
kavling ( i ) diperoleh dari:
i

=

dimana:
i

=

LNPi

=

rata-rata
luas
kavling
kelurahan ke-i
luas lahan non pertanian
kelurahan ke-i*

LNP

=

Tabel 1 Peubah-peubah pada data riil
Peubah
Keterangan
X
Y
i

luas kavling (m2)
rata-rata pengeluaran per kapita
rumah tangga (rupiah)
rata-rata luas kavling kelurahan
ke-i (m2)

Metode
Pada penelitian ini dilakukan kajian
simulasi melalui simulasi berbasiskan model
(Model Based Simulation). Model Based
Simulation merupakan salah satu teknik
simulasi di mana peneliti menentukan terlebih
dahulu desain parameter, respon, dan meta
model (Stinstra 2006). Pada penelitian ini
digunakan parameter  0 = 8 dan 1 = 2, satu
peubah respon, dan regresi linier sederhana
sebagai meta model.
Kajian pada penelitian ini ditutup dengan
mengaplikasikan temuan dari simulasi pada
data survei yaitu data Susenas Kota Bogor
tahun 2007.
Simulasi Berbasiskan Model (Model Based
Simulation)
Langkah-langkah yang dilakukan dalam
simulasi berbasiskan model adalah sebagai
berikut:
1. Lakukan penarikan contoh acak tanpa
pengembalian dengan 4 kombinasi jumlah
contoh n (n = 15, 30, 50, 100) pada tiap
gugus data yang telah dibangkitkan.
2. Lakukan pendugaan total populasi
dengan tiga metode pendugaan:
a. Penduga M1:
T = ∑Ni

i

= ∑ i ∈s

i

+ ∑ i ∈r

i

5

dengan:
= ̂ = ∑ni

b.

i

Penduga M2:
T = ∑Ni

i

dengan:
∗

∗

∗

c.

i

= ∑ i ∈s
∗

= exp (

i

∗

+

+ ∑ i ∈r

∗

T = ∑Ni

i

)

= ̂ = ∑ni

b.

T = ∑Ni

dengan:

i

∗∗

= exp( i )exp

i

+ ∑ i ∈r

(1 −

∗∗

ii ) −

∗

i

= ∗∗ = i 
∗∗ = KTG dari pendugaan model linier
log( ) = i  + 
3. Evaluasi
terhadap T (berdasarkan 4
ukuran n dan 3 metode pendugaan) dengan
ukuran ARB (Average of Relative Bias),
RLMSE (Relative Mean Square Error),
MSE (Mean Square Error) dan AARB
(Average of Absolute Relative Bias).
Keempat ukuran untuk mengevaluasi
penduga parameter tersebut dihitung dari:
i

(

ARB = ∑

RLMSE = ∑

MSE = ∑

AARB = ∑

(

)

x 100%

(

)

i

∗
∗∗

x 100%

− T)

x 100%

4. Bandingkan keempat ukuran evaluasi
penduga parameter yang diperoleh dari
langkah 3 pada penggunaan n dan metode
pendugaan yang berbeda.
Aplikasi pada Data Riil Susenas Kota
Bogor 2007
Langkah-langkah yang dilakukan pada
aplikasi data riil Susenas 2007 adalah sebagai
berikut:
1. Eksplorasi data dan tentukan bentuk
sebaran dari peubah Y (pengeluaran rumah
tangga) dan logY

∗

c.

=

∗

= exp (

= E(log( i )) =

i

∗

+ ∑ i ∈r

+

∑ni

= Var(log( i ))

i

∗

∗

i

)
log( )

Penduga M3 (Model Karlberg):
T = ∑Ni

= ∑ i ∈s

i

dengan:

∗∗

+ ∑ i ∈r

i

= ∑ i ∈s

i

dengan:

Penduga M3 (Model Karlberg):
= ∑ i ∈s

i

Penduga M2:

= Var(log( i ))

i

= ∑ i ∈s

i

dengan:

= E(log( i )) = ∑ni log( )

T = ∑Ni
∗∗

2. Lakukan pendugaan total populasi pada
tingkat kota, kecamatan dan kelurahan
dengan tiga metode pendugaan:
a. Penduga M1:

i

= exp( i )exp

∗∗

i

+ ∑ i ∈r

(1 −

ii )

∗∗

−

i

∗∗

= ∗∗ = i 
= KTG dari pendugaan model linier
log( ) = i j  +  di mana log( )
menunjukkan log pengeluaran
rumah tangga pada rumah tangga
ke-j di kelurahan ke-i.
3. Lakukan evaluasi penduga dengan
menghitung RMSE (Root Mean Square
Error) sebagai akar dari:
i

∗∗

MSEM1

=

MSEM2

=

(

)

(

)

+ (

−1 ∑
∗

∗

( − ) (
− 1)
∑
MSEM3 = ∑ ∈
∑ (
−
)
RR : =
x 100%

=

=

∗ (

∗∗

+

x 100%

dengan:
∑ni (
=
=

− 1)

)

(1 −

i

− ) ; untuk M1

; untuk M2
ii)

−

∗∗

; untuk M3

+

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

250

Tabel 2

200

Frequency

Kajian Simulasi
Informasi mengenai karakteristik data
simulasi dapat dilihat pada Tabel 2, Gambar 2,
Gambar 3, dan Gambar 4.
Rata-rata parameter (2,) dan
indeks lognormal (LI) peubah logY

150

100

50

0


0.2799

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

Y

14.3000

0.9998

Gambar 3 Contoh histogram peubah Y
90

a

b

c

0.32

80

1.0100
14.350

70

0.31
1.0075

60

Frequency

0.30

14.325
1.0050

0.29
0.28

40

1.0025

14.300

30

0.27

1.0000

0.26

50

20

14.275

10

0.9975
0.25

0

0.24

12.5

0.9950

14.250

13.0

13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

logY

0.23

Gambar 2 Diagram kotak garis parameter
(a). 2, (b). , dan (c). indeks
lognormal (LI) pada peubah logY
Tabel 2 menunjukkan bahwa dari 2000
ulangan pada simulasi diperoleh 2000 gugus
data populasi dengan rata-rata 2, , dan LI
masing-masing sebesar 0.28, 14.30, dan 0.99.
Ketiga nilai tersebut mendekati dugaan
parameter bagi data aktual pengeluaran rumah
tangga Kota Bogor (Tabel 5). Sementara itu
Gambar 2 menunjukkan rentang nilai untuk
masing - masing parameter: 0.24 ≤ 2 ≤ 0.32,

Gambar 4 Contoh histogram peubah logY
14.24 ≤  ≤ 0.32, dan 0.99 ≤  ≤ 1.01.
Contoh histogram bagi salah satu data
populasi bangkitan yang diambil secara acak
dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3 menunjukkan histogram bagi
peubah Y
yang belum ditransformasi,
memberikan bentuk sebaran yang menjulur ke
kanan. Gambar 4 merupakan histogram bagi
peubah hasil transformasi, logY, memberikan
bentuk histogram yang simetrik.
Hasil simulasi pada Tabel 3 menunjukkan
perolehan ARB di kisaran 0 pada ketiga

Tabel 3

Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi
Jumlah contoh
Ukuran
Metode
evaluasi
pendugaan
15
30
50

100

ARB (%)

M1
M2
M3

0.4918
1.5828
-0.0670

0.3681
0.9302
0.3261

0.2146
0.5198
0.2566

0.0493
0.2087
-0.0037

RLMSE (%)

M1
M2
M3

2.1215
2.2119
1.6767

1.0276
1.0452
0.7931

0.6149
0.6161
0.4629

0.2753
0.2760
0.2080

MSE

M1
M2
M3

7.40x1016
7.71 x1016
5.85 x1016

3.58 x1016
3.65 x1016
2.76 x1016

2.15 x1016
2.15 x1016
1.61 x1016

9.61 x1015
9.63 x1015
7.26 x1015

AARB (%)

M1
M2
M3

11.4707
11.6421
10.1984

8.0151
8.0765
7.1614

6.2951
6.3084
5.4516

4.1990
4.2054
3.6683

7

2.0000

2.5

1.5000

2

1.0000

1.5

0.5000

1

0.0000

0.5

-0.5000

0
15

30

50

100

15

30

(a)

50

100

(b)
14
12

1.00E+17
8.00E+16

10
8
6

6.00E+16
4.00E+16
2.00E+16

4
2

0.00E+00

0
15

30

50

100

15

(c)

30

50

100

(d)

Keterangan:
M1 (pendugaan melalui rataan contoh peubah asal)
M2 (pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal)
M3 (pendugaan melalui model Karlberg)
Gambar 5 Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang
digunakan: (a) ARB (Average of Relative Bias), (b) RLMSE (Relative Mean Square
Error), (c) MSE (Mean Square Error), (d) AARB (Average of Absolute Relative Bias)
penduga. Penduga M1 dan penduga M3
merupakan penduga dengan nilai ARB yang
lebih dekat dengan nol bila dibandingkan
dengan penduga M2. Nilai ARB yang
dihasilkan penduga M2 mendekati nol ketika
ukuran contohnya besar (n = 100).
Berdasarkan nilai RLMSE, penduga M3
menjadi penduga terbaik di mana pada setiap
ukuran contoh nilai RLMSE dari penduga M3
selalu lebih kecil dari dua penduga lainnya.
Berbeda dengan ARB, RLMSE yang
dihasilkan penduga M1 dan M2 cenderung
sama pada setiap ukuran contoh. Hal yang
sama juga terjadi pada nilai MSE di mana
penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan
nilai MSE terkecil pada berbagai ukuran
contoh, disusul oleh penduga M1 dan penduga
M2.
Melalui nilai RLMSE dan MSE pada
Gambar 5. (b) dan Gambar 5. (c) dapat kita
lihat adanya pola penggunaan ukuran contoh

terhadap ketiga metode pendugaan yang
digunakan. Pada kedua ukuran evaluasi
tersebut ketiga metode pendugaan mengalami
penurunan nilai seiring dengan bertambahnya
jumlah contoh yang digunakan, namun laju
penurunan RLMSE dan MSE yang terjadi
pada penduga M1 dan penduga M2 lebih besar
dari penduga M3. Hal ini menunjukkan bahwa
untuk penduga M1 dan M2 ukuran contoh
menjadi penentu kecilnya ragam dari penduga
total populasi yang dihasilkan. Hal tersebut
tidak berlaku bagi penduga M3. Bertambahnya
ukuran contoh memang menurunkan nilai
RLMSE dan MSE yang dihasilkan, namun
besarnya tidak signifikan. Hal tersebut
menunjukkan bahwa penduga M3 mampu
menghasilkan penduga total populasi dengan
nilai ragam terkecil pada ukuran contoh yang
kecil (n = 15).
Besaran RLMSE dan MSE berdampak
pada besaran ARB di mana keragaman dari

8

bagian atas dari kurva sebaran sangat runcing
atau leptokurtic. Statistik skewness dan
kurtosis menunjukkan bahwa peubah asal, Y,
jauh dari karakteristik sebaran normal.
Penduga parameter (2 dan ),
skewness, dan kurtosis peubah Y
(pengeluaran rumah tangga)

Tabel 4

Skewness

1.42x10
Tabel 5

12

6

1.93x10

Kurtosis

2.43

10.48

Penduga parameter (2 dan ) dan
indeks lognormal (LI) peubah logY

0.2871

14.3223

1.0057

160
140

Frequency

120
100
80
60
40
20
0
1500000

3000000

4500000

6000000

7500000

9000000

10500000

Y

Gambar 6 Histogram peubah Y
120

100

80

Frequency

dugaan total populasi yang dihasilkan (yang
ditunjukkan oleh RLMSE dan MSE) akan
mempengaruhi lokasi ARB di sekitar 0.
Semakin kecil nilai RLMSE dan MSE,
semakin dekat rataan bias (ARB) dengan 0.
Penduga M1 dan penduga M2 menjadi dua
penduga terbaik pada berbagai ukuran evaluasi
karena keduanya merupakan penduga tak
bias bagi
∈ . Penduga M2 merupakan
bentuk umum dari penduga M3 namun dengan
besar ragam yang belum terkoreksi.
Ketika informasi mengenai peubah
penjelas dimiliki dengan kualitas peubah
penjelas yang baik (ditunjukkan oleh korelasi
yang kuat terhadap Y), metode pendugaan
secara tidak langsung seperti pada penduga
M3 misalnya, menghasilkan penduga total
populasi yang lebih baik daripada pendugaan
secara langsung (penduga M1 dan M2
misalnya). Salah satu kelemahan metode
pendugaan langsung adalah nilai ragam yang
besar bila diterapkan pada ukuran contoh yang
kecil.
Sedangkan
pendugaan
dengan
pemanfaatan peubah penjelas secara statistik
memiliki
sifat
“meminjam
kekuatan”
(borrowing strength) dari hubungan antara
peubah respon dengan peubah penjelas
(Kurnia 2009). Penggunaan model sebagai
penduga tidak langsung pada total populasi
menyebabkan tingkat kesalahan pendugaan
terdistribusi tidak hanya pada kesalahan
pengacakan (random error), tetapi juga pada
kesalahan model (model error). Pada data
simulasi, tingkat kesalahan model (model
error) kecil karena X memang didesain
memiliki korelasi dengan logY. Hal tersebut
menyebabkan penduga M3 menghasilkan
penduga total populasi dengan nilai ARB,
RLMSE, MSE, dan AARB yang paling kecil
bila dibandingkan dengan dua metode
pendugaan lain.

60

40

20

0
13.2

13.8

14.4

15.0

15.6

16.2

logY

Aplikasi Data Riil Susenas 2007
Deskripsi data Susenas Kabupaten Bogor
2007 dapat dilihat pada Tabel 4 dan Tabel 5.
Sementara bentuk sebaran data peubah
pengeluran rumah tangga Kota Bogor (Y) dan
logY dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar
7.
Tabel 4 menunjukkan statistik bagi peubah
pengeluaran rumah tangga Kota Bogor.
Pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor
memiliki ragam Rp. 1,42 milyar dan rata-rata
sebesar Rp. 1,93 juta. Statistik skewness
sebesar 2.43 (skewness > 0), menunjukkan
bahwa peubah Y positive skew (menjulur ke
kanan). Sementara itu nilai kurtosis sebesar
10.48 (kurtosis > 3), menunjukkan bahwa

Gambar 7 Histogram peubah logY
Gambar 6 dan Gambar 7 menunjukkan
bentuk sebaran dari peubah Y dan peubah
logY. Bentuk histogram pada Gambar 6
menjulur ke kanan sedangkan bentuk
histogram pada Gambar 7 simetrik. Hal ini
menunjukkan bahwa tranformasi logaritmik
pada data aktual pengeluaran rumah tangga
Kota Bogor (Y) mampu memperbaiki
kesimetrikan data.
Kota Bogor terdiri dari 6 kecamatan dan 68
kelurahan. Seluruh kecamatan terambil
sebagai contoh pada Susenas 2007 dengan
rincian sebanyak 32 kelurahan terpilih dan

9

total 608 rumah tangga menjadi responden.
Peubah penjelas yang dipilih pada aplikasi
data riil adalah luas kavling (X). Korelasi
pearson yang dihasilkan oleh peubah logY
dan X sebesar 0,502 dan besarnya korelasi
signifikan pada taraf nyata
5%.
Pola
hubungan antara peubah logY dan X dapat
dilihat pada Gambar 8 sedangkan ringkasan
model bagi penduga M3 dapat dilihat pada
Tabel 6.
16.5
16.0
15.5

logY

15.0
14.5
14.0
13.5
13.0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

X

Gambar 8 Diagram pencar X terhadap logY
Tabel 6 Ringkasan model bagi penduga M3
Penduga
Nilai
p-value

R-Sq

14.0125
0.0024
25.183%

0.0000
0.0000

Secara umum penduga total pengeluaran
rumah tangga di Kota Bogor yang dihasilkan
oleh ketiga metode pendugaan tidak saling
berjauhan. Penduga M1 menjadi penduga
dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error)
terkecil, disusul oleh penduga M3 dan M2.
Nilai R-Sq pada model penduga M3 menjadi
indikasi besarnya nilai RMSE yang dihasilkan.
Hasil pendugaan total pengeluaran rumah
tangga Kota Bogor dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7 Hasil pendugaan total pengeluaran
rumah tangga di Kota Bogor tahun
2007
Metode
RMSE
M1
M2
M3

3.96723x1012
3.93323x1012
4.11436x1012

9.884x109
226.143x109
14.516x109

dan penduga M3 menjadi dua penduga yang
menghasilkan nilai RMSE terkecil.
Pada pendugaan di tingkat kecamatan,
penduga M3 memberikan hasil terbaik dengan
RMSE terkecil di Kecamatan Bogor Timur,
Kecamatan Bogor Utara, dan Kecamatan
Bogor Tengah. Hubungan linier yang kuat
antara peubah
luas kavling dengan
pengeluaran rumah tangga terjadi pada ketiga
wilayah tersebut. Sementara itu, pendugaan di
tingkat kelurahan menunjukkan hasil yang
hampir sama. Pada kelurahan dengan nilai
korelasi antara X dan logY yang cukup besar
cenderung menghasilkan penduga M3 dengan
nilai RMSE yang lebih kecil dari RMSE yang
dihasilkan penduga M1 dan penduga M2.
Perbandingan antara penduga M3 dan M1
sebagai dua penduga terbaik dapat dilihat pada
ukuran evaluasi RR : . Nilai RR : yang
lebih besar dari 1 menunjukkan bahwa
penduga M3 menghasilkan penduga total
populasi dengan presisi yang lebih baik dari
penduga M1.
Pada aplikasi data riil Susenas 2007 Kota
Bogor, penduga M3 menghasilkan penduga
total populasi dengan nilai RMSE terkecil bila
nilai R-Sq yang dihasilkan model Karlberg
cukup besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa
pemilihan peubah penjelas yang digunakan
untuk membangun model Karlberg sangat
mempengaruhi ragam dari penduga total
populasi yang dihasilkan.
Informasi mengenai sebaran sisaan dari
model penduga pada pendugaan total
pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor dan
kecamatan di dalam Kota Bogor dapat dilihat
pada Lampiran 4 dan Lampiran 5. Melalui
histogram secara sederhana dapat kita lihat
bahwa sisaan baku yang dihasilkan penduga
M3 memberikan bentuk sebaran yang cukup
simetrik. Pencaran logY duga (prediksi)
terhadap sisaan yang dihasilkan model dari
penduga M3 juga bersifat acak dengan pita
mendatar, menunjukkan ragam sisaan yang
homogen. Kedua informasi
tersebut
menunjukkan bahwa transformasi logaritmik
mampu memperbaiki pola sisaan yang
dihasilkan pada pendugaan tidak langsung
seperti pada penduga M3.

KESIMPULAN DAN SARAN
Pendugaan total pengeluaran rumah tangga
pada tingkat kecamatan (Lampiran 2) dan
kelurahan (Lampiran 3) memberikan hasil
yang tidak jauh berbeda dengan pendugaan
total populasi pada tingkat kota. Penduga M1

Kesimpulan
Pendugaan total populasi melalui model
Karlberg (M3) pada data bangkitan dengan
sebaran lognormal memberikan hasil yang
lebih baik bila dibandingkan dengan metode

10

pendugaan langsung, yaitu dengan rataan
contoh peubah asal (M1) dan nilai harapan
sebaran lognormal (M2). Keunggulan utama
dari model penduga adalah kemampuannya
dalam memberikan penduga total populasi
yang baik pada ukuran contoh yang kecil.
Pada aplikasi data Susenas 2007 di Kota
Bogor dengan n = 608, M1 memiliki RMSE
yang paling kecil dibandingkan dengan
metode pendugaan lain. Hal tersebut terjadi
karena sifat penduga M1 yang tidak bias dan
didukung oleh ukuran contoh yang besar.
Pada pendugaan total populasi di tingkat
kelurahan dengan ukuran n yang kecil (n = 16
hingga n = 32), M3 tidak selalu menjadi
penduga total populasi dengan RMSE terkecil.
Namun begitu, model Karlberg pada penduga
M3 mampu memperbaiki kekurangan pada
penduga total populasi. Perbaikan terjadi pada
besar ragam (RMSE) yang tidak sebesar
penduga M1 dan penduga M2. Namun begitu,
peubah penjelas yang digunakan pada penduga
M3 akan menentukan kualitas penduga total
populasi yang dihasilkan. Secara umum,
semakin besar korelasi yang antara X dan
logY, semakin baik penduga total populasi
yang dihasilkan.
Saran
Saran untuk penelitian selanjutnya
adalah:
1. Melakukan simulasi pada berbagai nilai
parameter (2,) sebaran lognormal serta
besaran korelasi () antara peubah X dan
logY.
2. Melakukan koreksi lebih lanjut terhadap
ragam dari model Karlberg.
3. Melakukan
pendugaan
dengan
pendekatan sebaran lain yang juga

mampu
data.

mengakomodasi kemenjuluran

DAFTAR PUSTAKA
Casella G & Berger R. 1990. Statistical
Inference. California: Duxbury Press.
Chambers R. L. 1986. Outliers Robust Finite
Population Estimation. Journal of the
American Statistical Association, Vol. 81,
No. 396, pp. 1063-1069.
Karlberg F. 2002. Population Total Prediction
Under a Lognormal Superpopulation
Model. Biostatistics and data Management,
R & D Sweden, Pharmacia Corp SE-112
87:53-79.
Kurnia A. 2009. Prediksi Terbaik Empirik
untuk Model Transformasi Logaritma di
dalam Pendugaan Area Kecil dengan
Penerapan pada Data Susenas [Disertasi].
Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor.
Mitzenmacher M. 2003. A Brief History of
Generative Models for Power Law and
Lognormal Distributions. Division of
Engineering and Applied Sciences Harvard
University 1-4.
Pawitan Y. 2001. In All Likelihood: Statistical
Modelling and Inference Using Likelihood.
New York: Oxford University Press Inc.
Scheaffer R. L., Mendenhall W, & Ott L.
1990. Elementary Survey Sampling 4th ed.
Boston: PWS-KENT Publishing Company.
Stinstra E. D. 2006. The Meta-Model
Approach For Simulation-Based Design
Optimization [Thesis]. Tilburg University,
Geboren, Deutsch.

11

LAMPIRAN

12

Lampiran 1

Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling ( ) vs pendekatan rata-rata luas
kavling ( ) pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007

350

300

Xbar

250

200

150

100

50
50

100

150

200

Xi

250

300

350

13

Lampiran 2 Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kecamatan di Kota Bogor tahun 2007
Metode pendugaan
Kecamatan

N

M1

n
M1

M3

M2
RMSE*

M2

RMSE*

M3

Bogor Selatan
39050 144 5.91x1010
2.59x109
5.88x1010
2.77x1010
6.03x1010
10
9
10
10
Bogor Timur
18594
48
4.06x10
3.59x10
4.13x10
3.05x10
3.45x1010
Bogor Utara
35187 112 7.02x1010
3.84x109
7.01x1010
3.99x1010
7.09x1010
10
9
10
10
Bogor Tengah
24256
64
5.75x10
6.59x10
5.63x10
4.80x10
4.29x1010
Bogor Barat
41753 128 8.69x1010
3.45x109
8.72x1010
4.09x1010
1.19x1011
9
10
10
10
3.73x10
8.64x10
4.32x10
8.63x1010
Tanah Sareal
46314 112 8.59x10
*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian.
Keterangan:
N
n
M1
M2
M3
RMSE
:

R-Sq

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

:

RMSE*
3.34x109
2.13x109
3.35x109
3.28x109
1.61x1010
4.17x109

R-Sq
0.305
0.811
0.607
0.640
0.538
0.292

13.96
13.62
14.03
13.87
14.11
14.17

0.0014
0.0051
0.0029
0.0029
0.0027
0.0011

9.33%
65.77%
36.83%
40.94%
29.00%
8.51%

0.776
1.690
1.149
2.007
0.215
0.896

populasi rumah tangga
jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh
pendugaan melalui rataan contoh peubah asal
pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal
pendugaan melalui model Karlberg
Root Mean Square Error
Relative RMSE penduga M1 terhadap M3
penduga korelasi X terhadap Z
penduga
penduga
koefisien determinasi

13

14

Lampiran 3 Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007
Metode pendugaan
Kec
Kelurahan
N
n
M1
M2
M1
RMSE*
M2
RMSE*
M3
RMSE*
9
8
9
9
9
Mulyaharja
6.59x10
4.82x10
2.44x10
6.61x10
2.44x109
3335 16 4.83x10
9
8
9
8
9
Genteng
1.84x10
1.91x10
8.07x10
2.03x10
2.32x108
1458 16 1.89x10
Kertamaya
1083 32 1.36x109 8.18x107 1.37x109 4.75x108 5.64x109 3.57x109
9
3.03x108 3.70x109 1.33x109 3.60x109 3.2 x108
Bogor Harjasari
2686 16 3.68x10
9
Selatan Pakuan
2.14x108 2.04x109 1.03x109 2.19x109 4.74x108
1490 16 2.00x10
9
Batutulis
4.81x108 4.66x109 1.79x109 4.10x109 3.95x108
2768 16 4.66x10
9
Empang
1.34x109 9.80x109 5.39x109 7.59x109 8.47x108
4236 16 9.76x10
9
1.03x109 6.29x109 3.32x109 5.37x109 4.93x108
Cikaret
3823 16 6.35x10
9
1.76x108 1.84x109 8.10x108 1.93x109 1.65x108
Sindangsari
1652 16 1.82x10
Bogor
9
Katulampa
7.07x108 7.13x109 2.77x109 8.97x109 3.87x109
4657 16 7.11x10
Timur
10
Baranangsiang
6.24x108 2.37x1010 2.57x109 2.44x1010 2.97x109
6029 16 2.36x10
9
8.21x108 8.51x109 4.31x109 8.50x109 6.01x108
Bantarjati
5082 32 8.54x10
10
Tegal Gundil
1.22x109 1.12x1010 6.02x109 1.45x1010 2.89x109
5930 16 1.10x10
10
1.24x109 1.10x1010 5.84x109 9.98x109 1.27x109
3058 16 1.08x10
Bogor Cimahpar
9
Utara Cibuluh
1.06x109 7.93x109 4.69x109 8.29x109 9.84x108
4692 16 7.78x10
9
Kedunghalang
8.59x108 8.25x109 3.80x109 1.12x1010 1.66x109
4440 16 8.17x10
9
Ciparigi
7.70x108 8.08x109 3.07x109 8.31x109 6.33x108
4691 16 8.06x10
9
Gudang
2.80x108 2.25x109 9.94x108 2.20x109 2.33x108
1920 16 2.26x10
9
8.63x108 6.91x109 4.23x109 6.94x109 9.09x108
Bogor Tegal Lega
4339 16 6.75x10
9
Tengah Babakan
1.22x109 9.89x109 4.66x109 7.42x109 6.91x108
1886 16 9.88x10
9
Panaragan
2.74x108 2.65x109 1.12x109 2.55x109 3.45x108
1740 16 2.63x10
9
2.25x108 3.21x109 9.26x108 3.24x109 3.18x108
Pasirmulya
966 16 3.20x10
Bogor
9
Pasirjaya
5.20x108 7.11x109 2.22x109 7.28x109 5.65x108
4189 16 7.08x10
Barat
10
Gunungbatu
1.10x109 1.02x1010 4.91x109 1.19x1010 1.42x109
4328 16 1.01x10
*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian.

M3
0.28
0.31
0.45
0.23
0.13
0.49
0.66
0.71
0.64
0.20
-0.08
0.52
0.42
0.34
0.54
0.60
0.61
0.19
-0.28
0.74
0.09
0.05
0.29
0.57

:

13.79
13.79
13.71
13.98
13.89
14.07
13.64
13.74
13.32
14.02
15.24
14.01
13.99
14.35
13.76
13.95
14.05
13.81
14.48
14.75
14.10
14.92
14.17
14.14

0.0033
0.0016
0.0039
0.0006
0.0010
0.0011
0.0109
0.0035
0.0050
0.0022
-0.0002
0.0022
0.0056
0.0021
0.0047
0.0051
0.0025
0.0009
-0.0036
0.0018
0.0003
0.0002
0.0014
0.0037

R-Sq
7.81%
9.34%
19.98%
5.24%
1.62%
23.81%
43.88%
49.73%
40.57%
4.04%
0.67%
27.34%
17.45%
11.48%
28.76%
36.58%
36.87%
3.63%
7.88%
55.17%
0.89%
0.28%
8.41%
32.05%

0.270
0.796
0.023
0.943
0.452
1.216
1.585
2.081
1.062
0.183
0.210
1.366
0.422
0.973
1.078
0.516
1.217
1.202
0.949
1.759
0.796
0.707
0.920
0.772
14

15

Lampiran 3 (lanjutan)
Metode pendugaan
M1
M2
M1
RMSE*
M2
RMSE*
M3
9
8
9
Menteng
6.64x10
6.42x10
3.76x109 7.53x109
3363 16 6.20x10
Cilendek Barat 3396 16 6.57x109 6.00x108
6.66x109 2.83x109 8.57x109
Bogor
9
8
Marga Jaya
2.91x10
2.54x109 1.03x109 3.20x109
1159 16 2.55x10
Barat
9
8
Situgede
2.01x10
2.81x109 7.76x108 1.90x109
1833 16 2.81x10
9
8
Curugmekar
4.33x10
4.17x109 1.81x109 4.62x109
2287 16 4.14x10
10
9
Kedungwaringin 5103 16 1.44x10
1.07x10
1.44x1010 4.56x109 1.33x1010
9
8
Kebonpedes
6.88x10
9.16x109 4.28x109 8.46x109
5577 32 9.10x10
10
9
1.08x10
1.26x1010 3.95x109 1.26x1010
7097 16 1.26x10
Tanah Kedungbadak
9
8
Sareal Sukadamai
6.38x10
7.54x109 2.84x109 5.22x109
3066 16 7.48x10
9
8
Kayumanis
4.36x10
4.27x109 2.03x109 4.71x109
2974 16 4.22x10
9
8
Mekarwangi
5.69x10
6.21x109 2.41x109 6.14x109
4879 16 6.18x10
*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian.
Kec

Kelurahan

Keterangan:
N
n
M1
M2
M3
RMSE
:

R-Sq

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

N

M3

n

RMSE*
1.09x109
1.64x109
2.98x109
1.38x109
5.16x108
1.26x109
6.43x108
9.66x108
6.61x108
5.41x108
5.57x108

0.50
0.40
0.18
-0.07
0.46
0.32
0.38
0.13
0.64
0.48
0.25

:

13.89 0.0035
14.16 0.0032
14.38 0.0010
14.25 -0.0006
14.03 0.0028
14.59 0.0015
14.00 0.0025
14.28 0.0006
13.91 0.0033
13.89 0.0011
13.89 0.0005

R-Sq
25.24%
16.03%
3.37%
0.49%
21.01%
10.20%
14.42%
1.71%
41.14%
22.61%
6.48%

0.606
0.366
0.098
0.146
0.839
0.851
1.069
1.122
0.965
0.806
1.021

populasi rumah tangga
jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh
pendugaan melalui rataan contoh peubah asal
pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal
pendugaan melalui model Karlberg
Root Mean Square Error
Relative RMSE penduga M1 terhadap M3
penduga korelasi X terhadap Z
penduga
penduga
koefisien determinasi
15

16

Lampiran 4

(a) Histogram sisaan baku dan (b) Diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari
penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor
tahun 2007

70

5

60

4
3

Sisaan baku

Frequency

50

40

30

20

2
1
0
-1

10

-2
-3

0
-2

-1

0

1

Sisaan baku

(a)

2

3

4

14.0

14.5

15.0

Prediksi

(b)

15.5

16.0

17

Lampiran 5

Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga
M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di: (a) Kecamatan Bogor
Selatan, (b) Kecamatan Bogor Timur, (c) Kecamatan Bogor Utara, (d)
Kecamatan Bogor Tengah, (e) Kecamatan Bogor Barat, dan (f) Kecamatan
Tanah Sareal

35

3

30

2
1

Sisaan baku

Frequency

25

20
15

0
-1

10

-2

5

-3
-4

0
-3

-2

-1

0

1

2

3

14.0

14.1

14.2

Sisaan