Besar dari ∆ dapat dituliskan sebagai berikut :
∆ = ∆ = + ∆ − Misalkan
= ∆ , sehingga ∆ menyatakan besarnya kurva =
perubahan tinggi kurva jika berubah sebesar ∆ =
.
Kemiringan suatu garis singgung = di suatu titik adalah turunan
; yakni ′ di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah
′
∆ . Karena =
∆ , maka tinggi dari garis singgung adalah
′
. Padahal
=
′
, sehingga menyatakan besarnya garis
singgung tinggi garis singgung jika berubah sebesar ∆ =
.
E. Nilai Maksimum dan Minimum
Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu
fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang
dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.
Definisi 2.5.1
Fungsi f mempunyai maksimum mutlak atau maksimum global di c jika untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan
disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum mutlak di c jika
untuk semua x di D dan bilangan disebut
nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai ekstrim f.
Definisi 2.5.2
Fungsi f mempunyai maksimum lokal atau maksimum relatif di c jika bilamana x dekat c
[
ini berarti bahwa untuk semua
di dalam suatu selang terbuka yang mengandung ]. Secara serupa, f mempunyai minimum lokal di c jika
bilamana x dekat c.
Teorema 2.5.1
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup , , maka f mencapai nilai
maksimum mutlak fc dan minimum mutlak fd pada suatu bilangan c dan d dalam
, .
Bukti : Fungsi f kontinu pada selang tertutup
, sehingga menurut definisi 2.3.3 fungsi f kontinu pada
, yaitu kontinu di setiap titik dalam , , kontinu kanan di a yaitu
lim a
f x
f
a x
, dan kontinu kiri di b yaitu
lim b
f x
f
b x
Di sini daerah asal fungsi f adalah , .
Karena f kontinu pada , sehingga untuk c di interval , didapat
. lim
c f
x f
c x
Oleh karena itu, ada , , dan untuk di interval , . Karena
semua bilangan itu merupakan bilangan real, maka menurut sifat-sifat urutan
bilangan real terdapat
1
di mana
1
untuk sepanjang interval
, dan terdapat
2
di mana
2
untuk sepanjang interval
, . Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di
daerah asal f yaitu dalam selang tertutup , .
Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup
, maka fungsi itu bisa jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di
, .
Teorema 2.5.2 Teorema Fermat
Jika mempunyai maksimum atau minimum lokal di dan jika
′
ada maka
′
= 0.
Bukti : Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi
2.5.2, jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat
ke 0, dengan h positif atau negatif, maka +
oleh karena itu, + − 0
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah ketidaksamaannya tetap.
Oleh karena itu, jika 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
+ −
Dengan mengambil limit kanan karena 0 kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
lim lim
h h
h c
f h
c f
menurut teorema 2.3.1
lim
h c
f h
c f
h
′
ada, sehingga
h c
f h
c f
c f
h
lim
ada. menurut definisi 2.4.1 Oleh karena itu,
h c
f h
c f
c f
x
lim
=
lim
h c
f h
c f
h
menurut syarat keberadaan limit
lim
h c
f h
c f
c f
x
c
f
Sekarang untuk Kedua ruas ketidaksamaan
+ − 0 dapat dibagi dengan bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
Oleh karena itu, jika 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
+ −
Dengan mengambil limit kiri karena 0 kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
lim lim
h h
h c
f h
c f
menurut teorema 2.3.1
lim
h c
f h
c f
h
′
ada, sehingga
h c
f h
c f
c f
h
lim
ada. menurut definisi 2.4.1 Oleh karena itu,
h c
f h
c f
c f
x
lim
=
lim
h c
f h
c f
h
menurut syarat keberadaan limit
lim
h c
f h
c f
c f
x
c
f
Didapat
c
f
dan
c
f
sehingga
′
= 0.
Andaikan f mempunyai minimum lokal di c. Menurut definisi 2.5.2, jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h
positif atau negatif, maka +
oleh karena itu, + − 0
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah ketidaksamaannya tetap.
Oleh karena itu, jika 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
+ −
Dengan mengambil limit kanan karena 0 kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
lim lim
h h
h c
f h
c f
menurut teorema 2.3.1
lim
h c
f h
c f
h
′
ada, sehingga
h c
f h
c f
c f
h
lim
ada. menurut definisi 2.4.1
Oleh karena itu,
h c
f h
c f
c f
x
lim
=
lim
h c
f h
c f
h
menurut syarat keberadaan limit
lim
h c
f h
c f
c f
x
c
f
Sekarang untuk Kedua ruas ketidaksamaan
+ − 0 dapat dibagi dengan bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
Oleh karena itu, jika 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
+ −
Dengan mengambil limit kiri karena 0 kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
lim lim
h h
h c
f h
c f
menurut Teorema 2.3.1
lim
h c
f h
c f
h
′
ada, sehingga
h c
f h
c f
c f
h
lim
ada. menurut definisi 2.4.1 Oleh karena itu,
h c
f h
c f
c f
x
lim
=
lim
h c
f h
c f
h
menurut syarat keberadaan limit
lim
h c
f h
c f
c f
x
c
f
Didapat
c
f
dan
c
f
sehingga
′
= 0.
Definisi 2.5.3
Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal f sedemikian sehingga
c
f
atau
c f
= tidak ada.
Dalam bentuk bilangan kritis, Teorema Fermat tadi dapat dinyatakan ulang sebagai berikut :
Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah bilangan kritis f.
Berikut ini adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak, metode ini disebut Metode Selang Tertutup.
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi kontinu pada selang tertutup
, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1. Cari nilai f pada bilangan kritis f di dalam
, 2.
Cari nilai f pada titik-titik ujung selang 3.
Yang terbesar di antara nilai dari langkah 1 dan 2 adalah nilai maksimum mutlak ; yang terkecil di antara nilai-nilai ini adalah nilai
minimum mutlak.
F. Integral
