5
BAB II LANDASAN TEORI
A. Fungsi
Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan
mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan,
sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat
didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf
kecil.
Definisi 2.1.1
Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan
∅.
Definisi 2.1.2
Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat satu elemen, yang disebut fx, dalam himpunan B.
Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak kosong. Himpunan A disebut daerah asal domain fungsi. Bilangan fx
adalah nilai f pada x dan dibaca “f dari x”. Daerah hasil range f adalah
himpunan semua nilai fx di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut
variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.
B. Limit
Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi
tidak pernah sampai kepada nilai tertentu. Dituliskan
L x
f
a x
lim
dan dikatakan “limit fx ketika x mendekati a
sama dengan L ”, jika kita dapat membuat nilai fx sembarang yang dekat
dengan L sedekat yang kita mau dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.2.2
Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan
bahwa limit fx untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan
L x
f
a x
lim
jika untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan yang berpadanan
sedemikian rupa hingga − bilamana 0 − .
Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah : jika
− maka −
Dituliskan
L x
f
a x
lim
dan dikatakan bahwa limit-kiri fx ketika x mendekati a [atau limit fx ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L
jika dapat dibuat fx sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.
Definisi 2.2.3 Definisi Limit Sisi-Kiri
L x
f
a x
lim
jika untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan yang
berpadanan 0 sedemikian rupa hingga
− bilamana − .
Dituliskan
L x
f
a x
lim
dan dikatakan bahwa limit-kanan fx ketika x mendekati a [atau limit fx ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan
L jika dapat dibuat fx sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih besar daripada a.
Definisi 2.2.4 Definisi Limit Sisi-Kanan
L x
f
a x
lim
jika untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan yang
berpadanan 0 sedemikian rupa hingga
− bilamana + .
Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu
sebagai berikut :
L x
f
a x
lim
jika dan hanya jika
L x
f
a x
lim
dan
. lim
L x
f
a x
Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit
lim x
f
a x
dan
lim x
f
a x
ada, maka : 1.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
a x
a x
a x
Hukum Penjumlahan 2.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
a x
a x
a x
Hukum Pengurangan 3.
lim lim
x f
c x
cf
a x
a x
Hukum Perkalian Konstanta 4.
lim .
lim lim
x g
x f
x g
x f
a x
a x
a x
Hukum Hasil Kali
5.
a x
a x
a x
x g
x f
x g
x f
lim
lim lim
Hukum Hasil Bagi
6.
n a
x n
a x
x f
x f
lim lim
, dengan bilangan bulat positif. Hukum Pemangkatan
7.
c c
a x
lim
8.
a x
a x
lim
9.
n n
a x
a x
lim
, dengan bilangan bulat positif. 10.
n n
a x
a x
lim , dengan bilangan bulat positif. Jika genap, anggap
bahwa 11.
n a
x n
a x
x f
x f
lim lim
, dengan bilangan bulat positif. Jika
genap, anggap bahwa
lim
x f
a x
Teorema 2.2.1
Jika pada waktu x dekat dengan a kecuali mungkin di a dan
limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka
. lim
lim x
g x
f
a x
a x
Bukti :
Limit dan ada untuk → , sehingga :
L x
f
a x
lim
dan
M x
g
a x
lim
L M
x f
x g
a x
lim
menurut Hukum Pengurangan limit Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan
L M
x f
x g
a x
lim
, sehingga untuk sembarang 0 terdapat
sedemikian sehingga − → − − − menurut definisi 2.2.2
Ambil =
− karena dari pernyataan awal, diperoleh 0 sedemikian sehingga
− → − − − −
Karena untuk setiap bilangan a maka diperoleh
− → − − − − − → − 0
− → Didapat
. Ini bertentangan dengan . Oleh karena itu,
ketidaksamaan adalah salah. Oleh karena itu
yaitu
. lim
lim x
g x
f
a x
a x
Teorema 2.2.2 Teorema Apit
Jika pada waktu dekat kecuali mungkin di dan
L x
h x
f
a x
a x
lim lim
maka
. lim
L x
g
a x
Bukti :
Misalkan 0 diberikan.
Karena
L x
f
a x
lim
, maka terdapat
1
0 sedemikian sehingga −
1
→ −
−
1
→ − +
Karena
L x
h
a x
lim
, maka terdapat
2
0 sedemikian sehingga −
2
→ − −
2
→ − +
pilih = min
1
,
2
. Jika
− maka 0 −
1
dan −
2
, sehingga −
+ − +
−
Oleh karena itu,
L x
g
a x
lim
C. Kontinuitas
Kategori