Definisi 2.5 Masalah Nilai Batas MNB
Masalah Nilai Batas adalah Persamaan Diferensial yang dilengkapi data pada titik-titik batas domain.
B. Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.6 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat buah persamaan diferensial dan
buah fungsi yang nilainya tidak diketahui.
Sistem persamaan diferensial linear dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
� = � � + � �
+ … + � � +
�
� = � � + � �
+ … + � � +
� .
. 2.1
. � = � �
+ � � + … + �
� +
� dengan kondisi awal
�
� =
�
, � = , , … , . Solusi dari persamaan di atas adalah pasangan
buah fungsi yaitu � ,
� , … , � yang saling berkaitan satu sama lainnya terhadap
interval yang sama. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Titik Kesetimbangan
Dengan memperhatikan titik-titik kesetimbangan dari sistem persamaan diferensial 2.1 dapat membantu dalam menentukan apakah
titik-titik kesetimbangan stabil atau tidak.
Definisi 2.7 Titik Kesetimbangan
Nilai atau titik kesetimbangan adalah solusi dari persamaan
′
= ,
≡ atau = ≡ , untuk nilai sembarang .
Titik kesetimbangan
∗
dikatakan stabil jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan
sedemikian hingga | −
∗
| berlaku | � −
∗
| untuk setiap � .
D. Metode Euler
Definisi 2.8 Solusi Numeris
Solusi numeris merupakan hampiran aproksimasi dari solusi analisis. Berikut adalah Persamaan Diferensial tingkat satu :
� �
= �, � , ≤ � ≤ , =
2.2 Tahap awal penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan
titik-titik dalam jarak yang sama pada interval [ , ], yaitu dengan
menerapkan �
�
= + �ℎ, � = , , … , dengan ℎ menyatakan jarak antar titik yang dirumuskan oleh
ℎ =
−
. Metode Euler menghampiri turunan pertama di
� = �
�
dalam persamaan 2.2 dengan persamaan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� ′
=
�
� ≈
�+
−
�
�
�+
− �
�
=
�+
−
�
ℎ Pada saat
� = persamaan 2.2 dapat ditulis sebagai
�+
−
�
ℎ ≈ �
�
,
�
Jadi metode Euler mendapatkan barisan numerik {
�
}
�=
yang dinyatakan sebagai
=
�+
≈
�
+ ℎ �
�
,
�
, � = , , , … , − 2.3
Contoh 2.3
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
′
� = � − � + , � , = .
secara analitik. Penyelesaian:
Solusi persamaan diferensial homogen
′
� − � = dari persamaan diferensial nonhomogen di atas adalah
=
�
, sebab persamaan karakteristiknya yaitu
− = memiliki tepat satu akar = . Akan dicari solusi yang terkait dengan
� � = −� + dengan metode koefisien tak tentu.
Himpunan koefisien tak tentu dari −� + adalah {� , �, }.
Dibentuk kombinasi linear
�
= � + � + . Substitusi
�
ke persamaan diferensial awal menghasilkan � + = � + � + − � +
� + � − � + − = � −
� + −
� + − = � − Sehingga diperoleh
= , = , = Jadi
�
= � + � + Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
� = � +
�
� =
�
+ � + � + Diketahui
= . maka + = . jadi = − . . Akibatnya solusi persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah
� = − .
�
+ � + � + Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.1 di bawah ini.
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik
�
�
Analitik 0.5000
0.2 0.8293
0.4 1.2141
0.6 1.6489
0.8 2.1272
1.0 2.6409
1.2 3.1799
1.4 3.7324
1.6 4.2835
1.8 4.8152
2.0 5.3055
Dari penyelesaian di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di bawah ini.
Gambar 2.1 Grafik Hasil Perhitungan Analitik
Contoh 2.4
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
′
� = � − � + , � , = .
Menggunakan metode Euler dengan =
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5 4
4.5 5
t
y
Penyelesaian : Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu
ℎ =
−
= . Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh
�
�
= + � . = . �, � = , , … , yaitu
� = , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = .
Karena diketahui �, � = � − � + dan
= . Maka persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai
= .
�+
≈
�
+ .
�
− �
�
+ , � = , , , … , Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.2 di bawah ini.
Tabel 2.2 Hasil Peritungan Metode Euler
�
�
Euler 0.5000
0.2 0.7920
0.4 1.1184
0.6 1.4701
0.8 1.8361
1.0 2.2033
1.2 2.5560
1.4 2.8752
Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di bawah ini.
Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
t
y
1.6 3.1382
1.8 3.3179
2.0 3.3814
E. Metode Heun
