BAB I MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
A. Latar Belakang
Ronald Ross lahir pada tahun 1857 di India Utara. Selama cuti pada tahun 1894, Ross mulai mempelajari penyakit malaria. Ross bertemu
dengan Landon Patrick Manson, seorang spesialis kedokteran tropis, yang menunjukkan hasil penelitian mikroskop dokter Alphonse Laveran pada
tahun 1880 mengenai darah pasien penyakit malaria yang mengandung parasit. Manson mengasumsikan bahwa parasit bisa datang dari nyamuk.
Manson percaya bahwa manusia terinfeksi oleh parasit ketika minum air yang terkontaminasi oleh nyamuk. Dari 1895 sampai 1898, Ross
melanjutkan penelitian di India dan menguji ide Manson. Pada tahun 1897 Ross menemukan di dalam perut spesies nyamuk tertentu yang belum
pernah ia pelajari sebelumnya beberapa parasit serupa dengan yang diamati oleh Laveran. Ross menemukan parasit di kelenjar ludah nyamuk
Anopheles dan mencoba melakukan eksperimen untuk menginfeksi burung sehat dengan membiarkan nyamuk menggigit mereka. Ini
membuktikan bahwa malaria ditularkan oleh gigitan nyamuk dan bukan oleh konsumsi air yang terkontaminasi. Ross melakukan perjalanan ke
Afrika, Mauritius, dan daerah Mediterranea untuk mempromosikan pembasmian nyamuk. Metode ini berhasil di Mesir sepanjang terusan
1
Suez, sepanjangterusan Panama yang sedang dibangun, Kuba dan Malaysia. Ross mengklaim bahwa malaria bisa diberantas hanya dengan
mengurangi jumlah nyamuk. Pada tahun 1911, Ross mencoba untuk membangun model matematika dari penularan malaria untuk mendukung
klaimnya. Modelnya terdiri dari sistem dua persamaan diferensial. Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N: jumlah populasi manusia di daerah tertentu; I t: jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n: jumlah populasi nyamuk diasumsikan konstan; i t: jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b: frekuensi nyamuk menggigit; p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk setiap satu
gigitan; p
’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia setiap satu gigitan;
a : tingkat di mana manusia pulih dari malaria; m: tingkat kematian nyamuk per hari.
Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit bdt manusia dan
�−� �
adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p
’ terdapat bp’i
�−� �
� manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah
manusia yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� �
=bp’i
�−� �
− �. Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b dt
manusia, dan
� �
adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bpn-i
� �
� nyamuk baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt. Jadi,
� �
= � − �
� �
− �. Ross mencari nilai-nilai numerik untuk parameterdari modelnya. Ia
berasumsi bahwa : 1.
Kematian nyamuk adalah sedemikian rupa sehingga hanya sepertiga dari mereka yang masih hidup setelah sepuluh hari, jadi
−
= dan = log per hari; 2.
Setelah tiga bulan manusia masih terinfeksi, jadi
−
= dan = log per hari;
3. Satu dari delapan gigitan nyamuk setiap hari, jadi
−
= dan = log per hari;
4. Nyamuk yang terinfeksi biasanya tidak menular selama sepuluh
hari pertama setelah infeksi karena parasit harus melalui beberapa tahap transformasi. Karena sepertiga dari nyamuk bisa bertahan
sepuluh hari, Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar sepertiga
dari semua
nyamuk yang
terinfeksi yang
menularkan: �
′
= ; PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar seperempat dari
semua manusia yang terinfeksi yang menularkan: � = .
B. Rumusan Masalah
Kategori