dari semua polynomial hx di F[x] sehingga h
i
= 0, i = 1, …, r. Maka C adalah cyclic codes
dengan generator polynomial gx = lcmf
1
x, …, f
r
x. Jelas bahwa cyclic codes C
dapat ditentukan dengan cara ini karena f
1
x dapat diambil sebagai factor yang irreducible
dari generator polynomial dari C dan
i
adalah akar dari f
1
x.
2.5 Generating Matrix dan Check Matrix
Suatu ideal I di R
n
= F[x] disebut principal ideal jika setiap elemen di I adalah
perkalian dari polynomial gx tertentu. Jika I adalah principal, maka I = {cxgx; cx di R
n
}. Ditunjukkan dengan I = . Suatu ring disebut principal ideal ring PIR jika setiap
ideal adalah principal.
Teorema 2.4 :
Jika C adalah ideal yaitu suatu cyclic code dengan panjang n di R
n
, misalkan gx adalah polynomial monik dengan derajat terkecil di C
. Maka gx tunggal dan C = .
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa R
n
adalah suatu P.I.R dan monic generator dengan derajat terkecil dari ideal adalah tunggal sekalipun ideal dapat memiliki generator lain.
Pertama ditunjukkan R
n
adalah PIR. Misalkan gx adalah polynomial monik dengan derajat terkecil di C dan misalkan ax polynomial lain di C. Dengan algoritma pembagian di
F [x], ax. Dengan definisi ideal rx di C. Tetapi ini menyangkal pilihan gx kecuali kalau
r x sama dengan nol sehingga ax = gxbx. Oleh karena itu R
n
adalah PIR. Jika gx dan hx adalah polynomial monik dengan derajat yang sama dan keduanya
di C, maka gx – hx adalah polynomial di C dengan derajat yang lebih rendah dari gx atau h
x. Ini tidak dapat terjadi jika gx memiliki derajat terkecil. Jadi gx adalah polynomial monik tunggal dengan derajat terkecil di C dan C =
.
Universitas Sumatera Utara
Teorema berikut memberitahukan bagaimana menemukan generator dari cyclic code.
Teorema 2.5 :
Jika C adalah suatu ideal, monic generator tunggal , gx, dari C dengan derajat terkecil
yang membagi x
n
– 1 dan sebaliknya jika polynomial gx di C membagi x
n
– 1, maka gx memiliki derajat terrendah di
.
Bukti :
Pertama andaikan bahwa gx adalah polynomial monik dengan derajat terkecil di C. Dengan algoritma pembagian di F[x], x
n
– 1 = axgx + rx dengan derajat rx lebih kecil dari derajat gx. rx = – axgx modulo x
n
– 1 dan jadi rx di . Ini kontradiksi kecuali
kalau rx sama dengan nol. Jadi gx membagi x
n
– 1. Sebaliknya, andaikan gx membagi x
n
– 1 dan bx di tetapi memiliki derajat
yang lebih rendah dari gx. Maka bx = cxgx + x
n
– 1dx di F[x] karena bx di C. Bagaimanapun, karena gx membagi x
n
– 1, gx membagi bx, ini kontradiksi. Polinomial monik gx dengan derajat terkecil di C disebut generator polynomial dari
C . Dengan teorema sebelumnya diketahui C =
dan gx membagi x
n
– 1.
Teorema 2.6 :
Jika derajat g x adalah n – k, maka dimensi dari C =
adalah k. Jika g x = g
+ g
1
x + g
2
x
2
+ … + g
n-k
x
n-k
, maka generator matrix dari C sebagai berikut.
k n-
1 k
n- 1
- k
n- k
n- 1
g ...
... ...
...
g g
g ...
... g
... g
g ...
g g
Bukti :
Vektor – vektor gx, gxx,gxx
2
, …, gxx
k -1
adalah linierly independent jika tidak maka terdapat elemen – elemen field a
i
, 0 i
k – 1, sehingga
a g
x
+ a
1
g
x
x + a
2
g
x
x
2
+ … + a
k-1
g
x
x
k-1
= a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
k-1
x
k-1
gx = 0.
Universitas Sumatera Utara
Tetapi hasil kali ini memiliki derajat lebih kecil dari n jadi ini tidak dapat menjadi 0 modulo x
n
– 1 kecuali kalau setiap a
i
adalah 0. Untuk melihat bahwa vektor – vektor ini span C, catatan bahwa sx di C dapat diekspresikan sebagai cxgx dengan derajat cx lebih kecil
dari atau sama dengan k – 1. Karena itu c
xgx = c + c
1
x + c
2
x
2
+ … + c
k-1
x
k-1
gx = c
g
x
+ c
1
g
x
x + … + c
k-1
g
x
x
k-1
Dari sini bahwa generator matrix dari C adalah matrix yang baris pertamanya adalah g
x, baris keduanya gxx, baris ketiga gxx
2
, …, hingga gxx
k -1
. Andaikan gx adalah generator polynomial dari cyclic code C. Diketahui bahwa gx
membagi gx membagi x
n
– 1 sehingga x
n
– 1 = gxhx. Jika gx memiliki derajat hx membagi x
n
– 1, ini adalah generator polynomial dari cyclic code C’ dengan dimensi n – k. memiliki dimensi n – k dan ini tentu sesuai jika hx generator polynomial dari
. g
xhx = 0 di R
n
tetapi ini tidak mengikuti dari ini bahwa inner product dari dua vector gx dan hx adalah 0. Pada kenyataannya tidak benar pada umumnya bahwa hx generator dari
. Jika x
n
– 1 = gxhx, dan gx adalah generator polynomial dari cyclic code C, maka h
x disebut check polynomial dari C.
2.6 Istilah Matrix
