Jika operasi perkalian dari R adalah komutatif, maka R disebut sebagai ring komutatif. Jika terdapat suatu unsur yang dinotasikan dengan 1 sedemikian hingga
untuk semua
, maka R disebut sebagai ring dengan unsur kesatuan, dan unsur 1 disebut sebagai unsur kesatuan. Selanjutnya apabila memungkinkan penulisan notasi
cukup dituliskan
saja.
Definisi 2.2 :
Suatu ring komutatif F dengan unsur kesatuan disebut sebagai field bilamana setiap unsur tak nol adalah unsur satuan.
Definisi di atas juga dapat dinyatakan sebagai berikut. Suatu field F adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner “+” dan “ ” sehingga
1. adalah suatu grup komutatif
2. adalah suatu semigrup
3. operasi perkalian adalah distributif terhadap penjumlahan, yakni untuk semua
dan
2.2 Ring Polinomial
Andaikan R adalah suatu ring komutatif. Himpunan R
[x] = {a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
; a
i
R dan n
Z
+
} disebut sebagai ring polynomial atas R dalam indeterminate x.
Pada definisi di atas, symbol x, x
2
, …, x
n
tidak menyatakan suatu variabel yang berasal dari ring R, tetapi symbol – symbol tersebut semata – mata hanyalah sebagai suatu
tempat penyimpanan yang pada suatu saat mungkin saja digantikan dengan unsur R. Dua unsur di R[x]
a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
dan b + b
1
x + b
2
x
2
+ … + b
m
x
m
dikatakan sama jika dan hanya jika a
i
= b
i
untuk semua bilangan bulat tak negatif i. Tentu saja pada definisi ini harus mengambil a
i
= 0 jika i n dan b
i
= 0 jika i m.
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya perhatikan suatu polynomial a
x = a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
di R[x]. Pada polynomial ini, bentuk a
k
x
k
disebut sebagai suku dari polynomial ax dan untuk setiap suku a
k
x
k
, k = 0,1,…,n, a
k
disebut sebagai koefisien dari x
k
. Derajat dari suatu polynomial ax adalah bilangan bulat positif terbesar n sehingga a
n
0. Dengan kata lain suatu polynomial ax = a
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
dikatakan berderajat s, jika a
s
0 dan a
n
0 untuk semua k s. Derajat dari ax ditunjukkan dengan dega, atau deg[ax]. Dega = 0 jika dan hanya jika ax adalah polynomial konstan constant polynomial yang tak nol,
yaitu, jika dan hanya jika ax adalah polynomial a
o
, untuk tak nol a R
. Bila ax adalah polynomial berderajat s, maka koefisien a
s
disebut sebagai koefisien utama leading coefisien dari ax. Polinomial ax dikatakan sebagai polynomial monic jika koefisien utamanya
adalah 1. Himpunan semua polynomial atas R ditunjukkan dengan R[x]. Selanjutnya akan dilakukan abstraksi dari konsep pembagian polynomial, yakni
konsep pembagian pada polynomial atas suatu field F. Teorema berikut ini memperlihatkan secara umum bahwa dapat dilakukan pembagian polynomial atas sebarang field F.
Teorema 2.1 :
Andaikan F adalah suatu field. Bila f x, gx
F [x] dengan gx
0, maka terdapat polynomial q
x dan rx di F[x] yang tunggal sehingga fx = gxqx + rx dengan rx = 0 atau derajat r
x lebih kecil dari derajat gx.
Bukti :
Dengan menggunakan induksi pada derajat polynomial fx akan diperlihatkan keberadaan polynomial qx dan rx. Jika fx = 0 atau derajat fx lebih kecil dari derajat gx, maka qx
dan rx diperoleh rx = fx dan qx = 0. Selanjutnya, andaikan fx berderajat n dan gx berderajat m dengan n m. Misalkan
f x = a
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
g x = b
+ b
1
x + b
2
x
2
+ … + b
m
x
m
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan teknik pembagian seperti di atas, misalkan h
x = fx – a
n
b
-1 m
x
n-m
g x
Sehingga hx = 0 atau derajat hx lebih kecil dari derajat fx. Dengan menggunakan asumsi pada induksi, untuk polynomial hx terdapat polynomial q
1
x dan r
1
x sehingga hx = g
xq
1
x + r
1
x dengan r
1
x = 0 atau derajat r
1
x lebih kecil dari derajat gx. Hal ini berakibat
f x = a
n
b
m -1
x
n-m
g x + hx
= a
n
b
m -1
x
n-m
g x + gxq
1
x + r
1
x = gx [a
n
b
m -1
x
n-m
+ q
1
x] + r
1
x Dengan mengambil qx = a
n
b
m -1
x
n-m
+ q
1
x dan rx = r
1
x, diperoleh f
x = gx qx + rx Dengan rx = 0 atau derajat rx lebih kecil dari derajat gx.
Selanjutnya akan diperlihatkan ekspresi fx = gx qx + rx adalah tunggal. Misalkan fx juga dapat ditulis sebagai fx = gx sx + tx dengan tx = 0 atau derajat tx
lebih kecil dari derajat gx. Perlihatkan bahwa g
x qx + rx = gx sx + tx Sehingga
g x [qx – sx] = tx – rx
Karena derajat tx – rx lebih kecil dari derajat gx, maka haruslah qx – sx = 0. Yakni, q
x = sx dan tentunya rx = tx. Polinomial qx disebut quotient dan rx disebut remainder sisa dalam pembagian
f x dengan gx. Jika fx, gx
F [x] dengan gx
0, maka fx dapat dibagi dengan gx atas F jika fx = gx qx untuk qx
F [x]. Jika fx dapat dibagi dengan gx atas F, maka
dapat dikatakan gx adalah faktor dari fx atas F. Suatu elemen c F
disebut akar atau pembuat nol dari polynomial fx
F [x] jika fc = 0.
Universitas Sumatera Utara
Akibat langsung dari teorema di atas diperoleh hasil sebagai berikut.
Akibat 2.1 :
Andaikan F adalah suatu field. Bila a F
dan fx F
[x], maka fa adalah sisa hasil bagi dari f
x oleh x– a.
Bukti :
Menurut teorema 2.1 untuk polynomial fx dan x– a terdapat polynomial qx, rx F
[x] sehingga fx = x– a qx + rx dengan derajat rx lebih kecil dari derajat x– a. Akibatnya
r x adalah suatu konstanta yang berada di F, sehingga fx = x– a qx + r. Karena fx
F [x], untuk x
F kita dapat memandang f sebagai suatu pemetaan f : F
F . Sehingga fx =
a– a qa + r, yakni sisa hasil bagi r = fa.
Akibat 2.2 :
Andaikan F adalah suatu field, dan misalkan a F dan f
x F
[x]. Unsur a adalah pembuat nol dari f
x jika dan hanya jika x – a adalah faktor dari fx.
Bukti :
Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka polynomial fx dapat ditulis sebagai f
x = x– a qx + rx dengan rx = 0 atau derajat dari rx adalah 0. Bila a pembuat nol dari fx maka
f a = 0 = a– a qx + r,
yang berakibat r = 0. Jadi x – a adalah faktor dari fx. Sebaliknya jika x – a adalah faktor dari fx, maka terdapat polynomial qx
F [x]
sehingga fx = x– a qx. Hal ini berakibat fa = a– a qa = 0qa = 0. Jadi a adalah pembuat nol dari fx.
Akibat 2.3 :
Bila F adalah suatu field, maka suatu polynomial di F [x] yang berderajat n
1 mempunyai paling banyak n akar.
Universitas Sumatera Utara
Bukti :
Andaikan fx adalah suatu polynomial berderajat n di F[x]. Akan diperlihatkan pernyataan di atas dengan menggunakan induksi pada derajat dari fx.
Andaikan fx adalah polynomial berderajat n = 1. Misalkan fx = ax + b, dengan a, b F
dan a 0. Akibatnya ab
-1
adalah akar dari fx. Sekarang andaikan fx berderajat n 1. Andaikan
adalah pembuat nol dari fx. Menurut akibat 2.1, fx dapat ditulis sebagai fx = x– a gx dengan gx adalah polynomial berderajat n – 1. Jika
adalah akar dari fx, maka
0 = f = – g . Karena
– , maka g = 0. Yakni
adalah pembuat nol dari g . Tetapi menurut hipotesis induksi g mempunyai banyak n – 1 akar. Sehingga f mempunyai paling banyak n
akar.
Definisi 2.3 :
Andaikan fx = a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
adalah suatu polynomial di Z [x]. Isi dari fx
didefinisikan sebagai pembagi persekutuan terbesar dari a x = a
, a
1
, …, a
n
. Suatu polynomial f
x Z
[x] dikatakan primitip jika isi dari fx adalah 1.
Contoh 2.2.1 : Isi dari polynomial fx = 6 + 4x + 10x
2
+ 18x
6
adalah 2, karena pembagi persekutuan terbesar dari 6, 4, 10 dan 18 adalah 2. Sementara isi dari polynomial gx = 3x + 9x
3
+ 4x
5
adalah 1. Sehingga gx adalah primitip.
Definisi 2.4 :
Untuk suatu polynomial monik f x dengan derajat tak nol atas field F, ring polynomial
modulo f x adalah himpunan semua polynomial dengan derajat lebih kecil dari fx,
bersama dengan penjumlahan dan perkalian polynomial modulo f x. Ring ini biasanya
ditunjukkan dengan F x
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, ax kongruens ke bx modulo fx, ditunjukkan dengan ax b
x modulo
, jika dan hanya jika terdapat cx dengan ax = cx fx + bx. Untuk setiap polynomial monik fx dengan derajat tak nol, misalkan Fx
yang menunjukkan himpunan kelas – kelas kongruens dari polynomial di F[x] modulo fx. Ini disebut ring
polynomial modulo f x. Ini adalah suatu ring yang terdiri dari semua polynomial dengan
derajat yang lebih kecil dari derajat fx.
Teorema 2.2 :
F x
adalah field jika dan hanya jika f x irreducible.
Bukti :
Misalkan I merupakan principal ideal fx. Andaikan fx reducible atas F, katakan fx = a
xbx dengan ax dan bx keduanya berderajat lebih rendah dari px. F[x]I bukan suatu field. Derajat polynomial tak nol di I harus paling sedikit sebesar degfx, jadi ax
I dan bx
I . Oleh karena itu I + ax dan I + bx keduanya elemen tak nol F[x]I. Tetapi
I + axI + bx = I + axbx = I + fx = I, elemen nol dari F[x]I. Disimpulkan, F[x]I memiliki pembagi nol sehingga F[x]I bukan field
bukan juga daerah integral. Ini membuktikan bahwa F[x]I suatu field, maka fx irreducible. Andaikan fx irreducible. F[x]I komutatif dan I + e adalah unsur kesatuan untuk
F [x]I dengan e unsure kesatuan dari F. Jadi ini mencukupi untuk membuktikan setiap
elemen tak nol dari F[x]I memiliki perkalian inverse di F[x]I. Ambil I + F[x] tak nol. Maka f
x I
, berarti rx bukan perkalian fx di F[x]. Karena fx irreducible, ini menyatakan secara tidak langsung bahwa fx dan rx memiliki pembagi bersama terbesar e. Oleh karena
itu e = fxux + rxvx untuk ux,vx F
[x]. Berarti e – rxvx = fxux I
, dan oleh karena I + e = I + rxvx = I + rxI + vx. Ini menunjukkan bahwa I + vx adalah
perkalian invers dari I + rx.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.5 :
Suatu elemen primitip dari field GF q adalah elemen
sehingga setiap elemen field kecuali nol dapat ditulis sebagai pangkat dari
. Contoh 2.2.2 :
Field GF5 2
1
= 2, 2
2
= 4, 2
3
= 3, 2
4
= 1 Dan dengan demikian 2 adalah elemen primitip dari GF5.
Jadi, adalah elemen primitip dari F jika setiap elemen tak nol di F adalah pangkat
dari . Suatu elemen primitip di field dengan q elemen memiliki order q – 1. Tidak selalu
akar dari polynomial irreducible adalah elemen primitip. Suatu polynomial irreducible yang memiliki elemen primitip sebagai akar disebut polynomial primitip.
Dengan menemukan irreducible polynomial berderajat n atas GFp, pembentukan field berhingga dengan p
n
elemen dapat dilakukan. Contoh, pembentukan field dengan 16 elemen, atau GF24, menggunakan polynomial fx = x
4
+ x
3
+ 1. Misalkan adalah akar
dari fx, f =
4
+
3
+ 1 = 0, sehingga
4
=
3
+ 1.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Representasi GF 2
4
Bentuk Pangkat Bentuk n - Tuple
Bentuk Polinomial 0000
1 1000
1 0100
2
0010
2 3
0001
3 4
1001 1 +
3 5
1101 1 +
+
3 6
1111 1 +
+
2
+
3 7
1110 1 +
+
2 8
0111 +
2
+
3 9
1010 1 +
2 10
0101 +
3 11
1011 1 +
2
+
3 12
1100 1 +
13
0110 +
2 14
0011
2
+
3
Dengan menentukan setiap pangkat dari , mempermudah menentukan invers dari
suatu elemen dan mengalikan dua elemen. Contoh, invers dari
3
+ 1. Karena
3
+ 1 =
4
dan
4 11
=
15
= 1 sehingga
3
+ 1
–1
=
11
=
3
+
2
+ 1.
Teorema 2.3 :
Misalkan m x adalah minimal polynomial dengan elemen di finite field GFpr. Maka yang
fakta – fakta berikut diperoleh : 1. mx irreducible.
2. Jika adalah akar dari polynomial f
x dengan koefisien – koefisien di GFp, maka m
x membagi fx. 3. mx membagi
r
p
x = x.
4. Jika mx adalah primitip, maka derajatnya adalah r. Dalam suatu kasus derajat mx r
.
Universitas Sumatera Utara
Bukti :
1. Jika mx irreducible, maka mx = axbx dan m = 0, salah satunya ax atau bx adalah 0 menyangkal fakta bahwa mx adalah polynomial dengan derajat terkecil
dengan sebagai akar.
2. Dengan algoritma pembagian, fx = axmx + rx dengan derajat rx lebih kecil dari derajat mx. Karena f = m = 0, r = 0 dan karena derajat rx lebih kecil
dari derajat mx, rx sama dengan 0. 3. Ini mengikuti dari 2 karena suatu elemen di GFp
r
adalah akar dari persamaan
r
p
x = x.
4. Karena di GFp
r
dan GFp
r
adalah r – dimensional vector space atas GFp, himpunan 1,
, …,
r
adalah linierly independent dan juga memenuhi persamaan derajat lebih kecil
dari atau sama dengan r. Jika mx adalah primitip membangkitkan semua GFp
r
dan juga mx memiliki derajat r. Jika fx adalah polynomial berderajat m, reciprocal polynomial dari fx didefinisikan
menjadi x
m
f x
-1
. Jika fx = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a
0,
reciprocal polynomialnya sama dengan a
x
n
+ a
1
x
n-1
+…+ a
n.
2.3 Mengubah Codeword dalam Bentuk Polinomial
